§ 4.18 Построение дуги окружности по хорде и вписанному углу. Из курса геометрии известно, что вписанным углом называют угол, вершина которого находится на окружности, а стороны являются хордами.

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 12

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирает­ся. Так, Z.ABC = ц/ (рис. 4.18, а) измеряется дугой ADC/2, a Z.ADC — дугой АВС/2. Сумма ЛАОС + ЛА ВС - тс.

Угол Z.EDC дополняет до л угол Z^DC, поэтому Z.EDC - ф.

Какое бы положение ни занимала точка D в интервале от А до С, угол между продолжением хорды AD (т. е. линией DE) и хордой DC остается неизменным и равным

Угол между продолжением хорды АС и касательной (полукасательной) к окружности в точке С также равняется углу V-

Центр окружности О находится на пересечении перпендикуляра к середине хорды и перпендикуляра к касательной (рис. 4.18, б).

Из изложенного следует, что если заданы хорда и вписанный угол ЧА то для нахождения центра окружности необходимо:

1 ) восставить перпендикуляр к середине хорды;

2 ) под углом V к продолжению хорды провести прямую, которая бу­дет являться касательной к окружности;

3 ) восставить перпендикуляр к касательной; пересечение перпендику­ляра к хорде и перпендикуляра к касательной даст центр окружности.

4 4.19. Уравнение дуги окружности в векторной форме записи. Построения, аналогичные построениям на рис. 4.18, а, могут быть вы­полнены и на комплексной плоскости. В этом случае все хорды, напри­мер, СА, DA, DC являются векторами.

На комплексной плоскости (рис. 4.18, в) совместим хорду СА - F с осью + 1. Если угол ф > 0, то от продолжения хорды его откладывают против часовой стрелки; если угол откладывают по часовой стрелке.

Обозначим DA-G и CD=H. Тогда

G + Н -F.

Вектор Н опережает вектор G на угол У- Пусть модуль вектора Н будет в к раз больше модуля вектора G. Тогда

(4.68)

Если к - 0, то /7 = 0 и G - F. При к = ъ Н -F и G = 0. Подста­вив (4.68) в (4.67), получим

(4.69)

Уравнение (4.69) называют уравнением дуги окружности в вектор­ной форме записи.

При изменении коэффициента А от 0 до со меняются оба вектора G и Я, но так, что угол ф между ними остается неизменным, а сумма векторов равна вектору F. Конец вектора G скользит по дуге окружно­сти, хордой которой является вектор F. Поэтому можно сказать,_что дуга окружности является геометрическим местом концов вектора G.

Рабочей частью окружности, или рабочей дугой, является та часть окружности, которая по отношению к хорде лежит по обратную сторону от полу касательной (рабочая дуга на рис. 4,18, в вычерчена сплошной линией, нерабочая — штриховой линией).

Рабочая дуга меньше половины окружности при | уj < 90° и больше половины окружности при | ц/1 > 90°.

5 4.20. Круговые диаграммы. Из § 3.4 известно, что синусоидально изменяющиеся функции времени (токи, напряжения) могут быть изоб­ражены векторами на комплексной плоскости. Если процесс в электри­ческой цепи описывается уравнением, по форме тождественным уравне­нию (4.69), то геометрическим местом концов вектора тока (напряжения), выполняющего в уравнении электрической цепи те же функции, что и вектор G в уравнении (4.69), является окружность.

Под круговой диаграммой тока или напряжения понимают дугу окружности, являющуюся геометрическим место концов вектора тока (напряжения) при изменении по модулю какого-либо сопротивления элек­трической цепи и сохранении неизменными остальных сопротивлений, частоты и ЭДС источников энергии.

С помощью круговых диаграмм производят графический анализ ра­боты электрических цепей.

6

4.21. Круговая диаграмма тока двух последовательно соединен­ных сопротивлений. Пусть к источнику ЭДС подключены последо­вательно Z_} = и Z = ze^7<p (рис. 4.19). Сопротивление Z₍ неиз­менно, a Z может меняться лишь по модулю, так что угол ф остается постоянным. Ток в цепи

• •

где Е! Zj = I_k - ток в цепи при коротком замыкании сопротивления Z.

Обозначим ф-ф, ^ф. Тогда

(4.71)

Уравнение (4.71) тождественно (4.69). Роль вектора F выполняет ком­плекс 7_t; роль коэффициента к — отношение z/z.; роль G — вектор 7. При изменении z вектор 7 будет скользить по дуге

окружности, хордой которой является 1_к.

На круговой диаграмме рис. 4.20 вектор ЭДС на­правлен по оси + 1. Ток -Ё/х_}е^/ч>> отстает от ЭДС Ё на угол ф_Р Для определенности построим диаграмму при ф <0. Выберем масштаб токов: пусть отрезок ас в масштабе выражает собой модуль тока 7_а.. Отрезок da характеризует модуль тока 7, отрезок cd в соответствии с уравнением (4.71) — мо­

дуль произведения 7— с⁷'¹*. Отложим по направле- нию 1_к отрезок ае в произвольном масштаое т_:, выражающий модуль постоянного сопротивления z_t (z_l ~ает.).

Из точки е под углом - ф к линии ае проводим прямую ef которая является (как будет показано далее) линией модуля переменного сопро­тивления z при отсчете отточки е. На ней в масштабе нанесем деле­

ния для измерения z.

Из подобия треугольников a de и aef следует

Следовательно, отрезок ef в масштабе т. определяет модуль пере­менного сопротивления z.

Проекция / на направление Ё (отрезок ag) в масштабе m_p = Emi измеряет активную мощность:

Р = ag т = ag Е = ag Е—-Е1 cos <p; — —-costp.

ad ad aq

Проекция / на направление, перпендикулярное Ё (отрезок ah), в мас­штабе т_р определяет реактивную мощность:

Q~ ah т_р = ah Е (1 / ad) = Е 1 sin q>.

§ 4.22 Круговая диаграмма напряжения двух последовательно соединенных сопротивлении. Умножив обе части уравнения (4.71) на Zj = zj е^уф| и учтя, что i Z_} = C’_:i, получим

(4.72)

“__РЛФ-Ф1)

-I

Уравнение (4.72) свидетельствует о том, что геометрическим место концов вектора (?.| является дуга окружности, хорда которой Ё.

§ 4.23 Круговая диаграмма тока активного двухполюсника. Ток

в цепи нагрузки Z_H = 2₁₍е'^ф" активного двухполюсника (рис. 3.30, а)

(4.73)

1 4- ">1 _еЛФи-<₽вх )

где Z_BX =z_BX е^7Фв' — комплексное входное сопротивление двухполюсни­ка по отношению к зажимам ab выделенной ветви.

Из уравнения (4.73) следует, что при изменении модуля сопротивле­ния нагрузки z_H ток /_н скользит по дуге окружности.

Пример 53. В схеме (рис. 4.19) Ё = 120 В; Z_{= R\~ 24 Ом; сопротивление Z — чис­то емкостное, модуль его изменяется от 0 до оо. Построить круговые диаграммы тока и напряжения на сопротивлении Z_}.

Решение. Ток = 120/24 - 5 А Выберем масштаб для токов (т, = 1.39 А/см) и напряжений (т_г/ = 26 В / см).

Найдем угол

Ф = ф - ф, = -90^й - 0° = -90°.

На рис. 4.21 построены круговая диаграмма тока на токе !_к как на диаметре и круго­вая диаграмма напряжения на ЭДС Ё как на диаметре. Масштаб для сопротивлений т. = 13 Ом/см. Для любого значения сопротивления z по диаграмме находим юк / и на­пряжение и._л. Так, при z = 9.5 Ом / = 4,65 A. U_:} = 111,5 В.

Пример 54. Построить геометрическое место концов вектора тока / неразветвлен- ной части схемы (рис. 4,22) и графически исследовать возможность возникновения резо­нансных режимов при следующих данных: £ = 30 В; £₂ = 6Ом; .V₍-=8Om; £] = 3 0м; X j изменяется от 0 до со.

Решение. Ток Д в схеме остается неизменным: /₂ ~ 30/(6 -j8) = 3e^{j53 10} А. Он на 53° 10' опережает ЭДС £ (рис. 4.23).

Вектор тока /, при изменении .V/ меняется так, что коней его скользит по дуге ок­ружности. диаметром которой является вектор тока: /ц = £/£₍ = )0 А. гв/ = 2,65 А/см.

Ток в неразветвленной части схемы / = /, + /₂. Геометрическим местом его является так­же дуга окружности а 12 Ь. В режимах, соответствующих точкам / и 2, ток / совпадает по фазе с ЭДС £. Следовательно, в этих режимах в схеме имеет место резонанс токов.

Выберем масштаб сопротивлений т. =2Ом/см. Графически найдем Х₍ для точек / и 2. Для точки 2 Xу ~ 0,8 Ом. для точки / Л'/ = 10,6 Ом. При этом ток J = 11,1 и 2.4 А.

§ 4,24. Круговая диаграмма напряжения четырехполюсника. Пусть напряжение на входе четырехполюсника на рис. 4.2, а неизменно по модулю, фазе и частоте, а нагруз­ка Z₂ = г₂ с'^Фг на выходе его изменяется только по модулю, так что характеризующий ее угол ф₂ остается постоянным. В этом случае для тока /₂, напряжения (Д, тока /₍ мо­гут быть построены круговые диаграммы. Сначала рассмотрим круговую диаграмму тока /₂. С этой целью схему четырехполюсника (рис. 4.2, а), исключая нагрузку Z₂, заменим активным двухполюсником и по методу эквивалентного генератора найдем ток /₂ в ветви рд:

(4.74)

где U_рчк — напряжение между точками р и д при размыкании ветви рд; Z_BXM = Z2_Kc^J^^1K — входное сопротивление по отношению к зажимам рд при короткозам­кнутых зажимах мп (в схеме на рис. 4.2. а к зажимам тп присоединен источник ЭДС). Разделив числитель и знаменатель правой части (4.74) на 7_ъхр<{=7_гк и учтя, что /Z_2>t = /_2к, где /_2к — ток короткозамкнутой ветви рд, получим

(4.75)

Из уравнения (4.75) следует, что вектор тока /₂ скользит по дуге окружности, хордой которой является ток /_2к.

Построим круговую диаграмму тока Д на входе четырехполюсника. Из предыдущего (см. формулу (2.25)) известно, что при изменении сопротивления в одной из ветвей ли­нейной электрической цепи два тока в любых двух ветвях этой цепи связаны соотноше­нием 1„=а + Ы„. Следовательно, ток /, может быть линейно выражен через ток ;

• 9

/] = а + b /₂.

Определим коэффициенты а и Ь. Если ветвь рд разомкнута, то /₂ =0 и /₍ = /_)х. При этом из (4.76) найдем о = /_2х. Если ветвь рд короткозамкнутая, то ^{= и} А ⁼ Ак- Поэтому

Ак “ Ах ⁺ Aix-

Отсюда

(4.78)

Подставив (4.77) и (4.78) в (4.76), получим

Уравнение (4 79) свидетельствует о том, что геометрическим .местом концов вектора тока /| также является дуга окружности. Хордой ее является разность /_1и -/_]х; вектор /_1х смещает начало отсчета.

Аналогичным образом строят круговую диаграмму напряжения. Так. если в какой-то схеме изменяется по модулю сопротивление Z, =2_ге'^ф2 в одной, например второй, ветви, то для напряжения на участке ab этой схемы можно записать выражение, анало*

UobK-Ugb*

| 4. ~2 _е/('₽2 "Фп > г_2к

где С'_пА< — напряжение на зажимах ab при z₂ = °°; ^'аЬк — напряжение на зажимах ab при з₂ =0; Z_2k =?2_Ke-'^<₽I* — выходное сопротивление схемы относительно зажимов, к которым присоединено сопротивление Z₂.

Формула (4.80) выведена на основании выражения U_a/t - a, +h. /₂ и (4.74).

Пример 55. Построить круговую диаграмму тока Д схемы (рис. 4.24, а), в которой Л7 =5 0м; Я = 5Ом; £ _ 100 В. Нагрузкой четырехполюсника является индуктивное сопротивление X_t, которое может изменяться от 0 до ».

Решение. Найдем ток холостого хода при разомкнутой выходной ветви:

/_1х =E/(R~jX_c) = 100/(5-у5) = 14,15е^>45° А.

Определим ток короткого замыкания при коротком замыкании нагрузки:

~-------- — = )2,82e^/7|°^2t> А.

/?(-73Н

*-м<-

Рассчитаем входное сопротивление Z_2ti со стороны зажимов pq при коротком замы­кании зажимов тп:

Zn_K = е'^ф2‘ = -JX_C + -^-^Л-⁽■ - = 7.8е“⁷⁷’’²⁰' Ом.

Следовательно. <р_2х = -71’20'. Угол у = <р₂ - <р₂₍. = 90° - (-71°20’) = 161®20‘.

Круговая диаграмма тока /_} построена на рис. 4.24. б. Хордой окружности является разность /|_к-/_1х. Угол ч/>0, поэтому для определения положения касательной он отло­жен от продолжения хорды против часовой стрелки. Диаграмма носит несколько необыч­ный характер: рабочая часть дуги занимает почти целую окружность.

Для определения положения конца вектора из конца вектора /_)х через точку на линии X_t, соответствующую заданному значению Л'_?, проводят прямую до пересече­ния с рабочей частью дуги окружности. При X_t =5 Ом ток Ц опережает ЭДС Е на 90’.

§ 4.25. Линейные диаграммы. Под линейными диаграммами понимают диаграммы, в которых геометрическим местом концов вектора тока (напряжения) является прямая линия. По существу, линейная диаграмма является частным случаем круговой, поскольку прямая есть дуга окружности с бесконечно большим радиусом.

Пример 56. Построить геометрическое место концов вектора тока в схеме на рис. 4.25, а при изменении Х₍-. Напряжение U_af)= const, /?, и Х_{ неизменны.

Реше н не. На рис. 4.25, б изображаем вектор й_аЬ. Вектор тока /, отстает от него

а б

Рис. 4.25

на угол <p = arctgX_L/Я].

Ток /₂ опережает на 90°. Геометрическим местом концов вектора тока / = /₍ + /₂ будет прямая линия pq. Она и является линейной диаграммой тока /.

Вопросы для самопроверки

I. Запишите шесть форм записи уравнений четырехполюсника, покажите для них по­ложительные направления отсчета токов и напряжений и поясните, в каких случаях каж­дая форма записи имеет преимущества перед остальными. 2. Какие четырехполюсники называют взаимными, невзаимными, симметричными и несимметричными? 3. Как опыт­ным путем определить коэффициенты Z-, К-. Н-, G-, 5-форм записи? 4. Каким обра­зом. зная коэффициенты одной формы записи, определить коэффициенты другой формы? 5. Прокомментируйте схемы замещения пассивных четырехполюсников. 6. Какое соеди­нение четырехполюсников называют регулярным? 7. Что понимают под Z_c} и Z_c2 несим­метричного четырехполюсника и как их определить через коэффициенты Я, 5. С, D и через входные сопротивления? 8. Что понимают под повторным сопротивлением четырех­полюсника? 9. Запишите уравнения для симметричного четырехполюсника через гипер­болические функции. 10. Запишите уравнения для несимметричного четырехполюсника через гиперболические функции. 11. Что понимают под постоянной передачи симметрич­ного и под мерой передачи несимметричного четырехполюсников? 12. В каких единицах измеряют затухание? Как эти единицы связаны между собой? 13. Охарактеризуйте свой­ства конвертора, инвертора и гиратора. 14. Дайте характеристику операционному усили­телю как элементу электрической цепи. 15. Каким расчетным схемным эквивалентом может быть замещен ОУ? 16. Охарактеризуйте свойства управляемых источников напря­жения и тока. 17. Покажите, что схема на рис. 4.12 может выполнять функции гиратора. 18. Поясните, почему схема на рис. 4.14 может выполнять функции ИНУТ, схема на рис. 4.15, а — функции ИНУТ. схема на рис. 4.15, о — функции ИТУН. а схема на рис. 4.15, в — функции конвертора отрицательного сопротивления. 19. В схеме на рис. 4.Ц Z₂ = Z₄ - Z_s = R. Какими следует взять Z| = Zj, чтобы входное сопротивление схемы Z_AH было отрицательным, чисто резистивным и пропорциональным 1 /се*’? 2Q. Ка­ким следует взять сопротивление Z₂ = Z₄ в схеме на рис. 4.11 (Z, = Z₃ = Z₅ = R). чтобы входное сопротивление схемы Z_л1! было отрицательным, чисто резистивным и пропор­

циональным о)²? 21. Какой четырехполюсник называют активным автономным и какой активным неавтономным? 22. Запишите систему уравнений многополюсника в У-форме и поясните, как определить его У^- и Y_pr- параметры. 23. Дайте определения активного автономного и активного неавтономного многополюсника. 24. Запишите уравнение дуги окружности в векторной форме и поясните его. 25. Сформулируйте условия, при которых можно строить круговую диаграмму. В чем преимущества исследований цепей с помощью круговых диаграмм? 26. Поясните последовательность построения круговой диаграммы двухполюсника и четырехполюсника. 27. Как определить рабочую часть дуги окружнос­ти? 28. Как определить масштаб на линии переменного сопротивления? 29. При каком условии круговая диаграмма переходит в линейную? 30. Решите задачи 6.4; 6.9; 6.13; 6.23; 6.35; 6.38.

Глава пятая