§ 1.3 Среднее и действующее значения синусоидально изменя­ющейся величины. Под средним значением синусоидально изменяющей­ся величины понимают ее среднее значение за полпериода. Среднее зна­чение тока

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 13

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

т. е. среднее значение синусоидального тока составляет 2/л = 0,638 от амплитудного. Аналогично, £_ср = 2 Е_т /п; U_cp =2U„,/ я.

Широко применяют понятие действующего значения синусоидально изменяющейся величины (его называют также эффективным или сред­неквадратичным). Действующее значение тока

Следовательно, действующее значение синусоидального тока равно 0,707 от амплитудного. Аналогично

£ = £„,/72 и U = U_ml&.

Можно сопоставить тепловое действие синусоидального тока с теп­ловым действием постоянного тока, текущего то же время по тому же сопротивлению.

Количество'теплоты, выделенное за один период синусоидальным током,

'\Ri²dt = RliL о ^z

Выделенная за то же время постоянным током теплота равна Rl^ Т.

Приравняем их:

Таким образом, действующее значение синусоидального тока / чис­ленно равно значению такого постоянного тока, который за время, рав-

ное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество теп­лоты, что и синусоидальный ток.

Большинство измерительных приборов показывают действующее зна­чение измеряемой величины**.

§ 3.3 Коэффициент амплитуды и коэффициент формы. Коэффи­циент амплитуды к_а — это отношение амплитуды периодически изме­няющейся функции к ее действующему значению. Для синусоидального тока

Л_а=/„// = >/2.

Под коэффициентом формы к$ понимают отношение действующего значения периодически изменяющейся функции к ее среднему за полпе­риода значению. Для синусоидального тока

§ 3.4 Изображение синусоидально изменяющихся величин векто­рами на комплексной плоскости. Комплексная амплитуда. Комплекс действующего значения. Комплексная плоскость, на которой можно изобразить комплексные числа, дана на рис. 3.2. Комплексное число

имеет действительную (вещественную) и мни­мую части. По оси абсцисс комплексной плос­кости откладывают действительную часть ком­плексного числа, а по оси ординат — мнимую часть. На оси действительных значений ставим + I, а на оси мнимых значений + j (у ~ V-T).

Из курса математики известна формула Эй­лера

Комплексное число е^;а изображают на комплексной плоскости век­тором, численно равным единице и составляющим угол а с осью веще­ственных значений (осью + 1). Угол а отсчитываем против часовой стрелки от оси + 1. Модуль функции

| е^{7 a} | = у cos' a + sin² a = I.

'* Действующее значение измеряют приборами электромагнитной, электродинамичес­кой и тепловой систем. Принцип действия измерительных приборов различных систем изучают в курсе электротехнических измерений.

Для несинусоидальных периодических токов * у2. кф х 1.11. Это отклонение косвенно свидетельствует о том. насколько иссииусоидаяьный ток отличается от синусо­идального.

Проекция функции е^уа на ось + 1 равна cos а, а на ось +у равна sin а. Если вместо функции е^уа взять функцию 4^е</а» то

4 е^{; а} = l_m cos а + j 4 sin а.

Ha комплексной плоскости эта функция, так же как и функция е^уа, изображается под углом а к оси + 1, но длина вектора будет в 1_т раз больше.

Угол а в формуле (3.8) может быть любым. Положим, что а = со t + ц/, т. е. угол а изменяется прямо пропорционально времени. Тогда

4 е^{7 (w} '^+ч/) = I_m cos(o) t + у) + j I_m sin(w t + ц>).

Слагаемое I_m cos(w t + ц/) представляет собой действительную часть (Re) выражения 4 e^y(w/+v)

l_m cos(co/ + у) - Re /_л/

а функция 4 sin(co t + ц/) есть коэффициент при мнимой части (Im) вы­ражения 4 e^y{<1)'^+v)

i = /_пг sin(co/ + ig) = Im 4 e^y(<a'^+v).

Таким образом, синусоидально изменяющийся ток 7 (ср. (3.1) и (3.11)) можно представить как 1m 4 e^y(wf+'^|/) или, что то же самое, как проек­цию вращающегося вектора 4 _e^y(“'^+v) на ось + j (рис. 3.3).

Исторически сложилось так, что в радиотех­нической литературе за основу обычно принима­ют не синусоиду, а косинусоиду и потому пользу­ются формулой (3.10).

С целью единообразия принято на комплекс­ной плоскости изображать векторы синусоидаль­но изменяющихся во времени величин для момен­та времени w t - 0. При этом вектор

_ > /у _ /

т ^с ~ ¹ т * ~^Jni>

где 4— комплексная величина, модуль которой равен /_П1; у— угол, под которым вектор 1_т проведен к оси + 1 на комплексной плоскости, равный начальной фазе.

Величину 1_п, называют комплексной амплитудой тока /. Комплекс­ная амплитуда изображает ток i на комплексной плоскости для момента времени со t = 0. Точка, поставленная над током / или напряжением О, означает, что эта величина во времени изменяется синусоидально.

Поясним сказанное. Пусть ток / - 8 sin(a) t + 20°) А. Запишем выраже­ние для комплексной амплитуды этого тока. В данном случае 1_т =8 А, \у = 20^в. Следовательно, 4=8е^у20°А. Пусть комплексная амплитуда тока 4 = 25 е^-'³⁰’ А.

Запишем выражение для мгновенного значения этого тока. Для пере­хода от комплексной амплитуды к мгновенному значению умножим j_m на е^70>' и возьмем коэффициент при мнимой части от полученного про­изведения (см. формулу (3.11)):

i = Im 25 e^{j 30}° е^7ш' = Im 25 е’^{7 (ш /}‘³⁰’⁾ = 25 sin(со t ~ 30°).

Под комплексом действующего значения тока или комплексом тока (комплексным током) / понимают частное от деления комплексной амплитуды на 41:

Пример 29. Записать выражение комплекса действующего значения тока /_т=8е^/20А.

Решение. Комплекс действующего значения тока / = 8 е^{7 :о}°/V2 = 5,67 е^{7 20}° А.

§ 3.5 Сложение и вычитание синусоидальных функций времени на комплексной плоскости. Векторная диаграмма. Положим, что не­обходимо сложить два тока (/, и /₂) одинаковой частоты. Сумма их дает некоторый ток той же частоты:

' = 'i + z₂;

/'i = /_1л, sin(co t + у/,); /₂ = /_2ff)sin(oz + y/₂);

i = I_т sin(oj t + yr).

Требуется найти амплитуду 1_т и начальную фазу у/ тока i. С этой

целью ток изобразим на комплексной плоскости (рис. 3.4) вектором !\т • е' *'. ^{а ток} <2 — вектором /. = е⁷”.

Геометрическая сумма векторов /_||н и /_2<я даст ком­плексную амплитуду суммарного тока /_д| = [_т e^7V. Амплитуда тока 1,„ определяется длиной суммарно­го вектора, а начальная фаза у — углом, образован­ным этим вектором и осью + 1.

Для определения разности двух токов (ЭДС, напряжений) следует на комплексной плоскости про­извести не сложение, а вычитание соответствующих векторов.

Обратим внимание на то, что если бы векторы /_)/п, 1_2т и 1_т стали вращаться вокруг начала координат с угловой скоростью о, то взаимное рас­положение векторов относительно друг друга оста­лось бы без изменений.

Векторной диаграммой называют совокупность векторов на комплекс­ной плоскости, изображающих синусоидально изменяющиеся функции времени одной и той же частоты и построенных с соблюдением правиль­ной ориентации их относительно друг друга по фазе. Пример векторной диаграммы дан на рис. 3.4.

§ 3.6 Мгновенная мощность. Протекание синусоидальных токов по участкам электрической цепи сопровождается потреблением энергии от источников. Скорость поступления энергии характеризуется мощностью. Под мгновенным значением мощности, или под .мгновенной мощностью, понимают произведение мгновенного значения напряжения и на участке цепи на мгновенное значение тока i, протекающего по этому участку:

P = ui, (3.14)

где р — функция времени.

Перед тем как приступить к изучению основ расчета сложных цепей синусоидального тока, рассмотрим соотношения между токами и напря­жениями в простейших цепях, векторные диаграммы для них и кривые мгновенных значений различных величин. Элементами реальных цепей синусоидального тока являются резисторы, индуктивные катушки и кон­денсаторы. Протеканию синусоидального тока оказывают сопротивление резистивные элементы (резисторы) — в них выделяется энергия в виде теплоты — и реактивные элементы (индуктивные катушки и конденса­торы) — они то запасают энергию в магнитном (электрическом) поле, то отдают ее. Рассмотрим поведение этих элементов.

§ 3.7 Резистивный элемент в цепи синусоидального тока. Как говорилось в § 1.7, резистивный элемент— это идеализированный схем­ный элемент, учитывающий выделение теплоты в том или ином элемен­те реальной электрической цепи. Его характеризуют зависимостью напряжения и на нем от протекающего по нему тока i (вольт-амперной характеристикой) или сопротивлением R = и!I. На схемах его изобража­ют, как и резистор, в виде прямоугольника (рис. 3.5, а). Положительные направления отсчета и и i совпадают.

Пусть

i -1„, sinoit.

По закону Ома,

и -iR = R !_т sin со/ = U_m sin со/; (3.15)

U_m = * С

Векторная диаграмма комплекса тока / и совпадающего с ним по фазе комплекса напряжения U показана на рис. 3.5, б.

На рис. 3.5, в даны кривые мгновенных значений тока i, напряжения и и мощности

в

Рис. 3.5

Мгновенная мощность р имеет постоянную составляющую ” и U_m ²

составляющую —^!n^~^SL cos2got, изменяющуюся с частотой 2о. Потреб­ляемая от источника питания за время dt энергия равна р dt.

§ 3.8 Индуктивный элемент в цепи синусоидального тока. Индук­тивный элемент позволяет учитывать явление наведения ЭДС изменяю­щимся во времени магнитным потоком и явление накопления энергии в магнитном поле реальных элементов электрической цепи. Его характери­зуют зависимостью потокосцепления V оттока i (вебер-амперной харак­теристикой) или индуктивностью L = ц//Л На электрических схемах ин­дуктивный элемент изображают, как показано на рис. 3.6, а. На схеме замещения реальную индуктивную катушку можно представить в виде последовательно соединенных индуктивного и резистивного элементов.

Выделим индуктивный элемент (рис. 3.6, а). Положительные направ­ления тока i через него, ЭДС самоиндукции e_L и напряжение на нем и_оЬ указаны на рис. 3.6,'а.

Если / - I_m sin со/, то

di

е_{ = -L — = -(£> L !_т CQStot = w L I_m sinfo)l - 90°). dt

Определим разность потенциалов между точками а и Ь. При переме­щении от точки b к точке а идем встречно ЭДС е_{, поэтому

, di

4>_a=4>h~^eL ^И =Va-4>h= ~^е!. = ^L~T

В дальнейшем напряжение на индуктивном элементе будем обозна­чать u_L или, просто, и без индекса

(3.16)

e₍* U и

_ 7375^^=w L

a L b 1+1

a &L' б

Следовательно,

и = со L I_m sin(co / + 90°) = (/„, sin(©/+ 90°); U_m- со L l_m. (3.17)

Произведение со А обозначается X,, называется индуктивным сопро­тивлением и измеряется в омах (Ом):

X I — со L.

Таким образом, индуктивный элемент (индуктивная катушка, у кото­рой R ~ 0) при синусоидальном токе обладает сопротивлением, модуль которого X_l =&L прямо пропорционален частоте а (см. (3.17)) — на рис. 3.6, б вектор напряжения 0 опережает вектор тока / на 90°. Ком­плекс ЭДС самоиндукции Ё, находится в противофазе с комплексом напряжения 0.

Графики мгновенных значений /, и, р изображены на рис. 3.6, в.

Мгновенная мощность

p-ui = U„, cosco/ /_п, sin со/ - ^^п' sin 2 со z

проходит через нулевое значение, когда через нуль проходит либо i, либо и. За первую четверть периода, когда и и i положительны, р также поло­жительна. Площадь, ограниченная кривой р и осью абсцисс за это вре­мя, представляет собой энергию, которая взята от источника питания на
создание энергии магнитного поля в индуктивной катушке. Во вторую четверть периода, когда ток в цепи уменьшается от максимума до нуля, энергия магнитного поля отдается обратно источнику питания, при этом мгновенная мощность отрицательна. За третью четверть периода у ис­точника снова забирается энергия, за четвертую отдается и т. д. Следо­вательно, энергия периодически то забирается индуктивной катушкой от источника, то отдается ему обратно.

Падение напряжения на реальной индуктивной катушке равно сумме напряжений на L и на R (рис. 3.6, д). Как видно из этого рисунка, угол между напряжением U на катушке и током / равен 90°-8, причем tg8 == RI&L - \/Qjгде Q_{ — добротность реальной индуктивной ка­тушки. Чем больше тем меньше 8.

§ 3.9 Емкостный элемент в цепи синусоидального тока. Емкост­ный элемент — это идеализированный схемный элемент, позволяющий учесть протекание токов смещения и явление накопления энергии в элек­трическом поле реальных элементов электрической цепи. Его характери­зует зависимость заряда q от напряжения и (кулон-вольтная характерис­тика) или емкость C-q/u. Графическое изображение емкостного элемента такое же, что и изображение конденсатора (рис. 3.7, а). Поло-

жительные направления отсчета и и i совпадают. Если приложенное к кон­денсатору напряжение и не изменяется во времени, то заряд q = С и на

Равенство (3.26) позволяет определить напряжение на конденсаторе через ток по конденсатору. Ток через реальный конденсатор, пластины которого разделены твердым или жидким диэлектриком, в котором име­ются тепловые потери, обусловленные вязким трением дипольных моле­кул и другими причинами, в расчете можно учесть по схеме (рис. 3.7, г). Результирующий ток / = /, + /₂.

Ток опережает 0 на 90°, а ток /₂ совпадает с U по фазе (рис. 3.7, Э). Угол 8 называют углом п от ерь’. tg8 = I/(?_c, где Q_c — доб­ротность конденсатора, tg 8 зависит от типа диэлектрика и от частоты и изменяется от нескольких секунд до нескольких градусов.

§ 3.10

Умножение вектора на у и -у. Пусть есть некоторый вектор А - A (рис. 3.8). Умножение его на у дает вектор, по модулю рав­ный А, но повернутый в сторону опережения (против часовой стрелки), по отношению к исходному вектору А на 90°. Умножение Л на -у по­ворачивает вектор А на 90° в сторону отставания (по часовой стрелке) также без изменения его модуля. Чтобы убедиться в этом, представим век­торы у и -у в показательной форме:

(3.27)

(3.28)

(3.29)

-Л у Ле^7Ф" е"⁷⁹⁰° = Ле⁷⁽^’⁹°^О). (3.30)

Из (3.29) следует, что вектор у Л, по модулю равный Л, составляет с осью комплексной плоскости угол (р_а+ 90°, т. е. повернут против часо­вой стрелки на 90° по отношению к вектору Л. Согласно (3.30) умноже­ние вектора Л на -у дает вектор, по модулю равный Л, но повернутый по отношению к нему на 90° по часовой стрелке.

§ 3.11 Основы символического метода расчета иепей синусои­дального тока. Очень широкое распространение на практике получил символический, или комплексный, метод расчета цепей синусоидально­го тока.

Сущность символического метода расчета состоит в том, что при синусоидальном токе можно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений и являющихся дифференциальными уравнениями (см., например, (3.31)), к алгебраическим уравнениям, составленным от­носительно комплексов тока и ЭДС. Этот переход основан на том, что в уравнении, составленном по законам Кирхгофа для установившегося про­цесса, мгновенное значение тока Z заменяют комплексной амплитудой тока /_да; мгновенное значение напряжения на резисторе сопротивлением

Метод называют символическим потому, что токи и напряжения заме­няют их комплексными изображениями или символами. Так, R 1_т — это изображение или символ падения напряжения i R\ j со L I_m— изобра­жение или символ падения напряжения жение или символ падения напряжения на конденсаторе ~ р б/.

§ 3.12 Комплексное сопротивление. Закон Ома для цепи синусо­идального тока. Множитель R + j cd L-(j/тС) в уравнении (3.32) представляет собой комплекс, имеет размерность сопротивления и обо­значается числом Z. Его называют комплексным сопротивлением'.

Как и всякий комплекс, Z можно записать в показательной форме. Модуль комплексного сопротивления принято обозначать через г. Точку над Z не ставят, потому что принято ставить ее только над такими комп­лексными величинами, которые отображают синусоидальные функции времени.

Уравнение (3.32) можно записать так:

Разделим обе его части на 72 и перейдем от комплексных амплитуд 1_п) и Ё_т к комплексам действующих значений / и Ё:

I = EIZ.

Уравнение (3.35) представляет собой закон Ома для цепи синусоидаль­ного тока.

В общем случае Z имеет некоторую действительную часть R и неко­торую мнимую часть j X :

Z = R + j X,

где R — активное сопротивление; X — реактивное сопротивление. Для схемы (рис. 3.9) реактивное сопротивление

X = d)L

§ 3.13 Комплексная проводимость. Под комплексной проводимос­тью У понимают величину, обратную комплексному сопротивлению Z:

Единица комплексной проводимости — См (Ом^-1). Действительную часть ее обозначают через g, мнимую — через Ь.

Так как

§ 3.15 Работа с комплексными числами. При расчете цепей переменного тока при­ходится иметь дело с комплексными числами: сопротивление участка цепи или цепи в целом — это комплекс, проводимость — комплекс; ток, напряжение, ЭДС — комплексы. Для нахождения тока по закону Ома нужно комплекс ЭДС разделить на комплекс сопро­тивления.

Из курса математики известно, что комплексное число можно представить в трех формах записи: алгебраической — а + jb, показательной — се^7Ч> и тригонометричес­кой— с coscp + y csin<p.

Сложение двух и большего числа комплексов удобнее производить, пользуясь алгеб­раической формой записи. При этом отдельно складываются их действительные и мни­мые части:

(с?! + j Ь\) + (а₂ + j Ь₂) + (а₃ - j b₃) = (Qj + а₂ + а₃) + у (6, + Ь₂ - Ь₃).

Деление и умножение комплексных чисел целесообразно производить, пользуясь по­казательной формой записи. Например, нужно разделить комплекс q е^7Ф1 на комплекс с₂ е^r9i. В результате деления будет получен комплекс

г - ^{С| еУФ|} -

с₂ С₂

Модуль результирующего комплекса с₃ равен частному от деления q на с₂, а аргу­мент фз - ф] - ф₂.

При умножении двух комплексов q e^7<?1 и с₂ е'^ф2 результирующий комплекс

с₄ е⁷^ = q е'^ф| с₂ е^7Ф2 =q с₂ е^7(ф,+ф2>.

При расчетах электрических цепей часто возникает необходимость в переходе от ал­гебраической формы записи комплекса к показательной или наоборот

Пусть задано комплексное число a + j b = с е^7Ф. Здесь c~\a²+b²-_y tg(p = i/a; a = ccos<p; 6 = csinip.

Чтобы не совершить ошибку при записи показательной формы комплекса, рекомен­дуется сначала качественно изобразить заданный в алгебраической форме комплекс на комплексной плоскости, что позволит правильно выразить угол ф между осью + 1 и век­тором. Углы, откладываемые против часовой стрелки от оси + I. считают положительны­ми, по часовой стрелке — отрицательными.

Пример 30. Перевести в показательную форму следующие комплексы: а) 3+2у; б) 2 + Зу; в) 4-5у: г) -6-2у; д) -0.2 + 0,4у; е) 10-у0.8.

Решение пояснено на рис. 3.12. а - е\ а) з ₊ 2 у = Збе'³³⁴⁰• б) 2 + Зу = 3.6е'⁵⁶^; в) 4-5 у = 6,4 е">⁵¹^; г) -₆-2у= 6,32 с'^{7 |6Г25}' = 6.32 с'¹⁹⁸‘^3S'; д) -0,2 + 0,4 у = 0.448 е⁷’¹⁶'³⁵'; е) 10-у0.8 = 10 е*^{7 4}°‘^,°'.

§ 3.16 Законы Кирхгофа в символической форме записи. По пер­вому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений то­ков, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю:

2л=о.

Подставим вместо 1_к в (3.43) l_k e^J<al и вынеся e^J(al за скобку, полу­чим е^7Сй/ = 0. Так как е-^/ш/ не равно нулю при любом г, то

(3.44)

Уравнение (3.44) представляет собой первый закон Кирхгофа в сим­волической форме записи.

Для замкнутого контура сколь угодно сложной электрической цепи синусоидального тока можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений токов, напряжений и ЭДС.

Пусть замкнутый контур содержит п ветвей и каждая А-ветвь в общем случае включает источник ЭДС е_к> резистор R_k, индуктивный L_k и емкостный С_к элементы, по которым протекает ток i_k. Тогда, по второ­му закону Кирхгофа,

Но каждое слагаемое левой части уравнения в соответствии с § 3.12 можно заменить на 1_к 7._к, а каждое слагаемое правой части — на Е_к. Поэтому уравнение (3.45) переходит в

п П

к=\ к = 1

Уравнение (3.46) представляет собой второй закон Кирхгофа в сим­волической (комплексной) форме записи.

§ 3.17 Применение к расчету цепей синусоидального тока мето­дов, рассмотренных в главе «Электрические цепи постоянного тока». Для анализа и расчета электрических цепей постоянного тока разрабо­тан ряд методов и приемов, облегчающих решение по сравнению с решением системы уравнений при непосредственном использовании за­конов Кирхгофа. Из гл. 2 известно, что к числу таких методов относятся методы контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генера­тора и т. д. Известно также, что окончательные расчетные формулы этих методов получают в результате выводов, в основу которых положены первый и второй законы Кирхгофа.

Поскольку первый и второй законы Кирхгофа справедливы и для це­пей синусоидального тока, можно было бы записать уравнения для мгно­венных значений величин цепей синусоидального тока, перейти от них к уравнениям в комплексах и затем повторить вывод всех формул гл. 2 для цепей синусоидального тока. Понятно, что проделывать выводы за­ново нет необходимости.

В том случае, когда отдельные ветви электрической цепи синусоидаль­ного тока не связаны между собой магнитно, все расчетные формулы гл. 2 пригодны и для расчета цепей синусоидального тока, если в этих формулах вместо постоянного тока / подставить комплекс тока 7, вмес­то проводимости g — комплексную проводимость Y, вместо сопротивле­ния R — комплексное сопротивление Z и вместо постоянной ЭДС Е — комплексную ЭДС Ё.

Если же отдельные ветви электрической цепи синусоидального тока связаны друг с другом магнитно (это имеет место при наличии взаимо­индукции), то падение напряжения на каком-либо участке цепи зависит не только от тока данной ветви, но и от токов тех ветвей, с которыми данная ветвь связана магнитно. Расчет электрических цепей синусоидаль­ного тока при наличии в них магнитно-связанных ветвей приобретает ряд особенностей, которые не могут быть учтены, если в формулах гл. 2 не­посредственно заменить Е на Ё, R на Z и g на Y. Особенности расчета магнитно-связанных цепей рассмотрены в § 3.36.

§ 3.18 Применение векторных диаграмм при расчете электриче­ских цепей синусоидального тока. Ток и напряжения на различных уча­стках электрической цепи синусоидального тока, как правило, по фазе не совпадают. Наглядное представление о фазовом расположении раз­личных векторов дает векторная диаграмма токов и напряжений. Ана­литические расчеты электрических цепей синусоидального тока рекомен­дуется сопровождать построением векторных диаграмм, чтобы иметь возможность качественно контролировать эти расчеты.

Качественный контроль заключается в сравнении направлений различ­ных векторов на комплексной плоскости, которые получают при анали­тическом расчете, с направлением этих векторов, исходя из физических соображений. Например, на векторной диаграмме напряжение U, дол­жно опережать ток 7 на 90°, а напряжение U_c — отставать от тока 7 на 90°.

Если аналитический расчет дает результаты, не совпадающие с таки­ми очевидными положениями, то, следовательно, в него вкралась ошиб­ка. Кроме того, векторную диаграмму часто используют и как средство расчета, например в методе пропорциональных величин.

ПримерЗ!. В схеме (рис. 3.13. а) е ~ 141 stnco/ В; /?]=ЗО.ч; /?,=20м;

£ = 0,00955 Гн. Угловая частота (в = 314 рад/с.

Определить ток и напряжение на элементах цепи.

Решение. Запишем уравнение для мгновенных значений

/(??] + R₂) + £ — = е.

di

Перейдем от него к уравнению в комплексах:

/ (Л₍ + /?₂) + J (й L / = £ или / Z = £.

где Z = R'+R₂+ усо£ = 3 + 2 + /314-0,00955 = 5 + 3/ = 5.82е'³¹’.

Комплекс действующего значения ЭДС £ = 141/V2 =100 В.

Ток 7 = £/Z = 100/5,8 е^{7 3|}’ = 17.2е’'^3,° А.

Напряжения на U = LJ_al> = 1 R_t = 51,6е“^у31 В; на Л₂ (J _Ri =U - I R₂~ В, Hai U_L = U_cd =_у<о£/=3у-17,2е^^эр=51_;6е/^59в B.

Векторная диаграмма изображена на рис. 3.13, б. Вектор £ направлен по оси + I.

Вектор тока / отстает от него на 31°.

Пример 32. Решить задачу примера 31 методом пропорциональных величин.

Решение. Зададимся током в цепи в 1 А и направим его на векторной диаграмме (рис. 3.13, в) по оси + I (7 = I). Напряжение на R_} совпадает по фазе с током и численно раано 1-3 = 3 В. Напряжение на R₂ также совпадает с током и равно 2 В. Напряжение на L равно 3 В и опережает ток на 90°. Из прямоугольного треугольника следует, что при токе / = I А на входе £ = ^5² + 3² = 5,82 В. Так как на входе действует ЭДС в 100/5,82 = 17,2 раза больше, то все токи и напряжения должны быть умножены на коэф­фициент 17,2. На рис. 13.3, в все векторы повернуты на 31^е против часовой стрелки по сравнению с соответствующими векторами на рис. 3.13. б. Ясно, что взаимное располо­жение векторов на диаграмме при этом не изменилось.

Пример 33. В цели (рис. 3.14, a) R = 4 Ом; о = 10⁵ рад/с. Определить емкость хон* денсатора С, если £ = 10 мВ; / =2 мА.

а б

Рис. 3.14

Решение. Комплексное сопротивление цепи Z^R-jl&C, его модуль •]r² + (I/соС)² . По закону Ома 1 = Е/~, отсюда z = у = 10-10"³/2-10”³ = 5Ом. Следовательно, Х_с = ]/<оС = 7г² - £² = 7э² - 4² = 3 Ом; С = l/(10^s -3) = 3.33 мкФ.

Векторная диаграмма изображена на рис. 3.14, б.

Пример 34. На участке ab разветвленной цепи (рис. 3.15, а) параллельно включены индуктивное X₍=aL и активное сопротивление Л, численно равное Х₍. Показание амперметра 4₂=5А. Определить показание амперметра Л₃, полагая сопротивления амперметров настолько малыми, что их можно не учитывать.

а б

Рис. 3.15

Решен ие. На рис. 3.15, б качественно построим векторную диаграмму. Напряже­ние U_ah совпадает по фазе с током /₂. Ток /, отстает от тока /₂ на 90° и равен ему по величине. Ток в неразветвленной части схемы /₃ = /₍ + /₂. Модуль тока /₃ = 5 >/2 - 7,07 А. Амперметр А^ покажет 7,07 А.

Пример 35. Построить векторную диаграмму токов и напряжений для схемы на рис. 3.16, о, если А=1А, Я| = ЮОм, oL^IOOm, 1/оС = 14,1 Ом, со£₃ = 20Ом, /?₃ « 2.5 Ом.

Рис. 3.16

Решение. Обозначим токи и примем положительные направления для них в соот­ветствии с рис. 3.16, а. Выберем масштаб для токов m_f = 0,5 А/см и для напряжений m_v = 4В/см. Ток / направим по оси + 1 (рис. 3.16, б). Падение напряжения 0^ =10В в по фазе совпадает с током Падение напряжения в индуктивном сопротивлении a>L также равно 10 В, но опережает ток / на 90°. Геометрическая сумма 0^+0ц по мо­дулю равна 10^2 =14,1 В. Емкостный ток /₂ опережает это напряжение на 90°. Модуль тока /₂ =14,1/14,1 = 1 А. . . .

Ток в неразветвленной части цепи равен геометрической сумме токов: /₃ = / + /₂. Модуль его равен - 0,8 А (найден графически). Падение напряжения на сопротивлении Я} равно 2 В и совпадает по фазе с током /₃. Падение напряжения на индуктивности А) опережает ток 7₃ на 90° и численно равно 0,8 20 = 16 В. Напряжение на входе схе­мы равно ЭДС и составляет около 18,3 В.

Пример 36. Решить задачу, обратную рассмотренной в примере 35. В схеме рис. 3.16. а опытным путем найдены значения токов /, /₂ и /₃ (в ветви схемы включи­ли амперметры и записали их показания), / = I А, /₂ = 1 А. /₃ = 0,8 А и определены три напряжения: напряжение на входе схемы (У = Е = 18,ЗВ, напряжение на конденсаторе UС = 14,1 В (оно же напряжение на первой ветви) и напряжение на третьей ветви (на Я₃ и Ly) Uy *16 В. Напряжения были определены путем подключения вольтметра пооче­редно к зажимам а и е, а и с, е и с.

По опытным данным (по значениям трех токов и трех напряжений) построить вектор­ную диаграмму.

Решение. На ряс. 3.16, в отложим эехтор (/<-. по модулю равный 14,1 В. Для со­поставления с рис. 3.16, б расположим его на диаграмме так же, как он расположен на рис. 3.16, б.

Изобразим на диаграмме ток /₂. Он на 90° опережает напряжение О? и по модулю равен 1 А. После этого построим на диаграмме токи и /₃. воспользовавшись тем. что три тока (/,, /₂ и /₃) образуют замкнутый треугольник (см. рис. 3.16, 5).

Для построения треугольника по трем сторонам (т. е. фактически для определения третьей вершины его) из конца вектора тока (из одной вершины треугольника) проведем дугу радиусом, равным току /₍, а из начала вектора тока /, (т. е. из второй вершины треугольника) проводим дугу радиусом, равным току /₃.

Точка пересечения этих дуг дает искомую третью вершину треугольника, т. е. точку, в которой оканчиваются векторы токов /₃ и После того как на диаграмме определено положение вектора тока /₃, можно изобразить на ней векторы напряжения £/₃ и ЭДС Ё.

Напряжения 0_с, 0у и ЭДС Ё также образуют замкнутый треугольник. Его постро­ение осуществляется аналогично построению треугольников токов.

Из конца вектора 0^ проводим дугу радиусом, равным 0₃. а из начала вектора 0₍— дугу радиусом, равным Е. Дуги пересекаются в точках ей/

Так как напряжение 0 у представляет собой падение напряжения от токд /₃ на последовательно соединенных R₃ и L₃, то оно по фазе должно опережать ток /₃, а не отставать от него.

Поэтому из точек е и /выбирают точку е (если бы выбрали точку/ то в этом случае напряжение Оу — штриховая линия на рис. 3.16, в — отставало бы от тока /₃, а не опе­режало его).

В заключение отметим, что в треугольнике токов дуги тоже пересекаются в двух точ­ках. но вторая (лишняя) точка на рис. 3.16. в не показана.

§ 3.19 Изображение разности потенциалов на комплексной плос­кости. Потенциалы цепи переменного тока являются комплексными чис­лами. На комплексной плоскости комплексное число можно изображать либо точкой, координаты которой равны действительной и мнимой час­тям комплексного потенциала, либо вектором, направленным от начала координат к данной точке плоскости.

На рис. 3.17 представлены два вектора, изображающие собой комп­лексные потенциалы: = -2 + 5 у и = 4 + у.

По определению, разность потенциалов й_аь =Фа“Фл =-6 + 4 У; и_аЬ изобразится вектором, направленным от b к а. Первый индекс у напряжения (в нашем примере ин­декс а) указывает, к какой точке следует на­править стрелку вектора напряжения. Есте­ственно, что й_Ьа - -0_аЬ.

§ 3.20 Топографическая диаграмма. Каждая точка электрической схемы, в кото­рой соединяются элементы схемы, имеет свое значение комплексного потенциала.