Закон полного тока в интегральной форме для любой среды принято записывать в виде

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 13

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Л. А. Бессонов

Теоретические основы электротехники
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
ЦЕПИ

УЧЕБНИК ДЛЯ БАКАЛАВРОВ

12-е издание, исправленное и дополненное

Допущено Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебника для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям подготовки дипломированных
специалистов «Электротехника, электромеханика и электротехнологии»,
«Электроэнергетика», «Приборостроение»

2013

Москва ■ Юрайт ■ 2016

УДК 621.3.013(078.5)

ББК 31.21я73

ББ Б53

Автор:

Бессонов Лев Алексеевич — доктор технических наук, профессор, с 1955 по 2000 г. заведовал кафедрой «Теоретические основы электротех­ники» Московского государственного института радиотехники, электро­ники и автоматики (технический университет).

Рецензенты:

Миронов В. Г. — доктор технических наук, профессор, заслуженный дея­тель науки РФ;

Бутырин П. А. — доктор технических наук, профессор, член-корреспон­дент Российской академии наук.

Бессонов, Л. А.

Б53 Теоретические основы электротехники. Электрические цепи : учебник для бакалавров / Л. А. Бессонов. — 12-е изд., исправ. и доп. — М. : Изда­тельство Юрайт, 2016. — 701 с. — Серия : Бакалавр. Углубленный курс.

ISBN 978-5-9916-3210-2

Рассмотрены традиционные и новые вопросы теории линейных и нелинейных электрических цепей. К традиционным относятся методы расчета токов и напря­жений при постоянных, синусоидальных, импульсных и других видах воздейст­вий, теория двух- и четырехполюсников, электрические фильтры, электрические и магнитные линии с распределенными параметрами, расчет переходных процес­сов классическим, операторным методами, методом интеграла Дюамеля, обобщен­ных функций, методом пространства состояний, преобразования Фурье, аналого­вый и цифровой сигналы, основы теории сигналов, цифровые фильтры, имити­рованные элементы и их применение, преобразование Брутона, преобразование Гильберта, установившиеся и переходные процессы в нелинейных электрических цепях, устойчивость различных видов движений, субгармонические колебания.

К числу новых вопросов, включенных в курс, относятся физические причины, условия возникновения и каналы действия нелинейной, неявно выраженной обратной связи в нелинейных электрических цепях переменного тока, приводящие к возникновению в них колебаний, получивших название «странные аттракторы», метод расчета установившегося режима работы обобщенной цепи переменного тока с учетом высших гармоник, использующий принцип диакоптики, макрометод расчета переходных процессов в мостовой выпрямительной схеме с предвключен- ным сопротивлением в цепи переменного тока, магнитотранзисторный генератор напряжения типа меандра, основные положения вейвлет-преобразования сигна­лов, новый подход к составлению уравнений для приращений при исследовании устойчивости периодических процессов в нелинейных цепях с источником сину­соидальной ЭДС, позволяющей простым путем свести уравнение для приращений к уравнению Матье, и ряд других новых вопросов.

По всем вопросам курса даны примеры с подробными решениями. В конце каждой главы — вопросы и задачи для самопроверки. Соответствует Федераль­ному государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования третьего поколения.

Для студентов и преподавателей высших учебных заведений, инженеров, аспи­рантов и научных работников электротехнических и близких к ним специальностей.

УДК 621.3.013(078.5)

ББК 31.21я73

© Бессонов Л. А., 2011

© ООО «Издательство Юрайт», 2016

ПРЕДИСЛОВИЕ

Двенадцатое исправленное и дополненное издание учебника по курсу «Теоретические основы электротехники» Л. А. Бессонова образуют два тома. Первый том — «Электрические цепи», второй — «Электромагнитное поле». Курс ТОЭ является базовым курсом, на который опираются многие профилирующие дисциплины высших технических учебных заведений.

Учебник соответствует программе курса ТОЭ, утвержденной Министерством образования и науки Российской Федерации. В него включены самые последние разработки по теории цепей и по теории электромагнитного поля.

В учебник «Электрические цепи» кроме традиционных вопросов теории электрических цепей — свойств цепей, их топологии, методов расчета токов и напряжений при постоянных, синусоидальных, периодических несинусоидальных, многофазных, импульсных воздействиях, теории двухполюсников, четырехполюсников и многополюсников, резонансных явлений, частотных характеристик, цепей со взаимоиндукцией, теории графов, электрических фильтров k, т и RC-типа, линий с распределенными параметрами, различных методов расчета переходных процессов (классического, операторного, интеграла Дюамеля по мгновенным значениям величин и по огибающим, метода пространства состояний, метода обобщенных функций), частотных преобразований цепей, преобразований Фурье, цепей с переменными во времени параметрами, включены следующие новые вопросы: свойства нелинейных цепей постоянного и переменного тока и методы их расчета в установившихся и переходных процессах работы, вопросы устойчивости автоколебаний и периодических процессов под воздействием периодических вынуждающих сил, субгармонические колебания, фазовая плоскость, случайные процессы.

В книге рассмотрены также основы теории сигналов, аналоговый, цифровой и аналитический сигналы, преобразования Фурье цифровых сигналов, дискретная свертка, цифровые фильтры, обобщенные формулы для расчета переходных процессов в линиях с распределенными параметрами при произвольных сопротивлениях генератора и нагрузки и многократных отражениях, магнитные линии с распределенными параметрами, имитированные элементы электрических цепей и их применение, преобразование Гильберта, преобразование Брутона, основы устойчивости сложных типов движений, электромоделирование, переходные процессы в цепях с управляемыми источниками напряжения и тока с учетом их нелинейных и частотных свойств, в цепях с термисторами, в электромеханических системах, передаточные функции активных RC-фильтров и методика их расчета.

Кроме перечисленных выше в настоящем, двенадцатом издании рассмотрены следующие новые вопросы, отсутствовавшие во всех предыдущих изданиях учебника: работа часто встречающихся на практике мостовых выпрямительных схем с элементами RL и RC в цепи выпрямленного тока, анализ работы магнитотранзисторного генератора прямоугольного напряжения в виде меандра, теория линейного активного автономного четырехполюсника применена к расчету нелинейных цепей с двумя нелинейными элементами в двух удаленных друг от друга ветвях схемы; объяснено, почему в нелинейных электрических цепях переменного тока возможно возникновение большого числа различных типов движений; для цепи с двумя разнохарактерными нелинейностями выведены формулы для определения условий перехода от предыдущих типов движений к последующим. Рассмотрены физические причины, условия возникновения и каналы действия внутренней нелинейной, неявно выраженной обратной связи, приводящей к автомодуляции и хаосу (к странным аттракторам) в нелинейных электрических цепях переменного тока.

Причины возникновения этих явлений и каналы действия внутренней нелинейной обратной связи пояснены на конкретных схемах. Странные аттракторы в нелинейных цепях переменного тока сопоставлены с автоколебаниями в нелинейных цепях с источниками постоянной ЭДС, показано, в чем между ними есть сходство и в чем различие, рассмотрен математический критерий Фейгенбаума возникновения хаоса в нелинейных недиссипативных системах, конвергентные и неконвергентные электрические цепи, дуальные нелинейные цепи. Предложен макрометод расчета переходных процессов в мостовой выпрямительной схеме с предвключенным сопротивлением в цепи переменного тока. Изложен аналитический метод расчета нелинейных цепей переменного тока, позволяющий, используя принцип диакоптики, проводить расчет токов и напряжений в обобщенной цепи с учетом высших гармоник. В раздел синтеза цепей включен синтез четырехполюсников по передаточной функции с помощью схем с операционным усилителем в цепи обратной связи. Раздел теории сигналов дополнен основными положениями вейвлет- преобразования сигналов. Раздел исследования устойчивости различных видов движений дополнен методом исследования устойчивости периодических процессов в линейных электрических цепях с переменными во времени параметрами, находящихся под воздействием синусоидальной ЭДС, основанным на сведении уравнений для приращений к уравнению Матье. Предложен и иллюстрирован примером новый подход к составлению уравнений для приращений при исследовании устойчивости периодических процессов в нелинейных цепях с источником синусоидальной ЭДС, позволяющий учесть влияние на устойчивость четных гармоник и простым и удобным путем привести уравнение для приращений к уравнению Матье. Рассмотрен метод исследования устойчивости работы рекурсивных цифровых фильтров.

Как и в предыдущих изданиях, весь материал учебника разделен на обязательный для изучения студентами всех специальностей, в учебном плане которых имеется курс ТОЭ или родственный курс с несколько иным названием (этот материал является ядром курса и набран нормальным шрифтом), и на специальный, или дополнительный, который в неодинаковой степени необходим студентам различных специальностей (выделен петитом). Какую часть специального материала рекомендуется изучить студенту, зависит от специфики института, факультета и кафедры.

Известно, что теория усваивается легче и прочнее, когда она по ходу изложения сопровождается решением задач на рассматриваемые темы. Исходя из этого, во всех главах и приложениях автор приводит решения с пояснениями достаточно полных комплектов задач по всем основным вопросам всех глав и приложений. Кроме того, в конце каждой главы приведены вопросы и задачи для самопроверки.

После изучения данного курса студенты должны:

знать

— как традиционные, так и новые вопросы теории линейных и нелинейных цепей;

— основы теории сигналов;

— работу мостовых выпрямительных схем с элементами RL и RC в цепи выпрямленного тока;

— синтез электрических цепей;

— теорию линейного активного автономного четырехполюсника;

— разновидности магнитных цепей и построение их вебер- амперных характеристик;

— принципы работы биполярного и полевого транзисторов;

— характеристику направленных и ненаправленных графов;

— дискретные сигналы;

— частотные преобразования и преобразования цифровых сигналов;

уметь

— принимать условия для определения характеристик электри­ческих и магнитных цепей;

— использовать методы анализа и расчета для различных про­цессов в целях постоянного и переменного итога и построения схем электрических цепей;

владеть

— навыками решения задач по всем основным темам теории электрических цепей.

Выражаю благодарность официальному рецензенту книги доктору технических наук, профессору Московского энергетического института (государственный университет) В. Г. Миронову за обстоятельную рецензию и полезные замечания, способствовавшие улучшению книги. Благодарю моих товарищей по работе в Московском государственном институте радиотехники, электроники и автоматики (технический университет) кандидата технических наук, доцента А. В. Штыкова и доцента С. Э. Расовскую за помощь в подготовке книги к изданию и за высказанные ими замечания по рукописи, учтенные мной.

Автор

Гчава первая

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

К ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

§ 1.1. Электромагнитное поле как вид материи. Под электромаг­нитным полем понимают вид материи, характеризующийся совокупнос­тью взаимосвязанных и взаимообусловливающих друг друга электриче­ского и магнитного полей. Электромагнитное поле может существовать при отсутствии другого вида материи — вещества, характеризуется непрерыв­ным распределением в пространстве (электромагнитная волна в вакууме) и может проявлять дискретную структуру (фотоны). В вакууме поле рас­пространяется со скоростью света, полю присущи характерные для него электрические и магнитные свойства, доступные наблюдению.

Электромагнитное поле оказывает силовое воздействие на электриче­ские заряды. Силовое воздействие положено в основу определения двух векторных величин, описывающих поле: напряженности электрического поля Е (В/м) и индукции магнитного поля В (Тл = В с/м²). На заряд q (Кл), движущийся со скоростью v~ в электрическом поле напряжен­ности Е и магнитном поле индукции В, действует сила Лоренца F = q E + q[v В}.

Электромагнитное поле обладает энергией, массой и количеством движения, т.е. такими же атрибутами, что и вещество. Энергия в едини­це объема, занятого полем в вакууме, равна сумме энергий электриче-

- ч ^£о£² '

скои и магнитной компонент поля и равна Ж_эм =—--------------- +------- , здесь

_{ ^{2 2}Ро

с₀ =---------------- — электрическая постоянная, Ф / м; ц₀ = 4л-10'⁷— маг-

4Я-9-10

нитная постоянная, Гн / м. Масса электромагнитного поля в единице объе­ма равна частному от деления энергии поля W_эм на квадрат скорости распространения электромагнитной волны в вакууме, равной скорости света. Несмотря на малое значение массы поля по сравнению с массой вещества, наличие массы поля указывает на то, что процессы в поле являются процессами инерционными. Количество движения единицы объема электромагнитного поля определяется произведением массы единицы объема поля на скорость распространения электромагнитной волны в вакууме.

Электрическое и магнитное поля могут быть изменяющимися и неизменными во времени. Неизменным в макроскопическом смысле элек­трическим полем является электростатическое поле, созданное совокуп­ностью зарядов, неподвижных в пространстве и неизменных во време­
ни. В этом случае существует электрическое поле, а магнитное отсутст­вует. При протекании постоянных токов по проводящим телам внутри и вне их существуют электрическое и магнитное поля, не влияющие друг на друга, поэтому их можно рассматривать раздельно. В изменяющемся во времени поле электрическое и магнитное поля, как упоминалось, взаи­мосвязаны и обусловливают друг друга, поэтому их нельзя рассматри­вать раздельно.

§ 1.2. Интегральные и дифференциальные соотношения между основными величинами, характеризующими поле. Электромагнитные поля могут быть описаны интегральными или дифференциальными со­отношениями. Интегральные соотношения относятся к объему (длине, площади) участка поля конечных размеров, а дифференциальные — к участку поля физически бесконечно малых размеров. Они выражают­

ся операциями градиента, дивергенции, ротора (раскрытие операции grad, div и rot в различных системах координат см. во втором томе книги). В макроскопической теории поля описывают свойства поля, усредненные по бесконечно малому физическому объему и во времени. Этот объем, в отличие от математически бесконечно малого объема, может содержать большое число атомов вещества. Дифференциальные уравнения макроскопической теории поля не описывают поля внутри атомов, для чего, как известно, служат уравнения квантовой теории поля.

В электростатическом поле поток вектора напряженности электрического поля Е через

замкнутую поверхность (рис. 1.1) равен свободному заряду <?_св6, находя­щемуся внутри этой поверхности, деленному на е₀ е_г (теорема Гаусса):

= (1.1)

где dS — элемент поверхности, направленный в сторону внешней нор­мали к объему; е_г — относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика.

В дифференциальной форме теорему Гаусса записывают так:

= (L2)

(Рсвб — объемная плотность свободного заряда, Кд / м³).

Переход от (1.1) к (1.2) осуществляют делением обеих частей (1.1) на объем Г, находящийся внутри поверхности 5, и стремлением объема V к нулю. _

Физически div Е означает исток вектора в данной точке.

В электростатическом и стационарном электрическом полях на заряд q действует сила F = qE. Отсюда следует, что Е может быть определе­на как силовая характеристика поля Е = limF/g. Если q под действием сил поля переместится из точки 1 в точйу*⁰ 2 (рис. 1.2), то силы поля совершат работу A = q\^Edl, где dl — элемент пути из 1 в 2.

Под разностью потенциалов U_t2 меж­ду точками 1 и 2 понимают работу, совер­шаемую силами поля при переносе заряда <7=1 Кл из точки 7 в точку 2,

2
77_]2=<p₁-<p₂=j£<7/; (1.3)

,, ¹ Рис. 1.2

17_|2 не зависит от того, по какому пути происходило перемещение из точки 1 в точ­

ку 2. Выражению (1.3) соответствует дифференциальное соотношение

£ = -grad<p. (1.4)

Градиент <р (gradcp) в некоторой точке поля определяет скорость изменения <р в этой точке, взятую в направлении наибольшего его возрас­тания. Знак минус означает, что Е и gradcp направлены противоположно.

Электрическое поле называют потенциальным, если для него §Edl =0. Электрическое поле поляризованного диэлектрика описыва­ется вектором электрического смещения (индукции)

D = e₀£ + P, (1.5)

где Р — поляризованность диэлектрика, равная электрическому момен­ту единицы объема поляризованного диэлектрика.

В стационарном неизменном во времени электрическом поле в про­водящей среде в смежные моменты времени распределение зарядов оди­наково, поэтому для этого поля справедливо определение разности потенциалов по формуле

2
(7_|2 = \Ed~l.

।

Внутри источника постоянной ЭДС результирующая напряженность электрического поля £_рез равна векторной сумме потенциальной (ку- лоновой) составляющей £_пот и сторонней составляющей £_стор :

£ = £ + £ ■
рез *^пот ^стор’

£_СТОр разделяет заряды внутри источника; она обусловлена химически­ми, электрохимическими, тепловыми и другими процессами неэлектро­
статического происхождения и направлена встречно Ё_пт. Внутри источ­ника ЭДС при е(/), являющейся функцией времени, напряженность элек­трического поля имеет две составляющие: £_стор и £_пот, но £_стор, разде­ляющая заряды внутри источника, обусловлена электромагнитными про­цессами, а не перечисленными выше. В электромагнитном поле могут протекать электрические токи. Под электрическом током понимают направленное (упорядоченное) движение электрических зарядов. Ток в некоторой точке поля характеризуется плотностью 8 (А/м^?). Известны три вида тока: ток проводимости (плотностью 8_пр), ток смещения (плот­ностью 8_СМ) и ток переноса (плотностью 8_пер). Ток проводимости про­текает в проводящих телах под действием электрического поля, плотность его пропорциональна Е:

8_пр = у£, (1.6)

где у — удельная проводимость проводящего тела, Ом^-|-м^-1. В метал­лах ток проводимости представляет собой упорядоченное движение свободных электронов, в жидкостях — движение ионов.

Плотность тока смещения в диэлектрике равна производной по вре­мени от вектора электрического смещения D = е₀Ё + Р.

dE ,

Слагаемое s₀----------- составляющая тока смещения, обусловленная из­

менением во времени напряженности поля £ в вакууме. Под вакуумом’' в курсе ТОЭ будем понимать не просто сверхразреженную среду, не пустоту, где ничего нет, а мировую материальную среду с особыми свой-

’’ Из чего состоят вакуум и электрические заряды, создающие в нем ток смещения, какие в вакууме и в самих зарядах происходят физические процессы и по каким зако­нам — достоверно пока неизвестно.

Изучение процессов в вакууме в настоящее время проводится по нескольким направ­лениям. Наиболее известны два из них. Первое направление исследования (первая гипо­теза) основывается на квантовой теории и на теории относительности [Физическая энциклопедия. Т. 5. 1998. С. 317; БСЭ. 3-е изд. Т. 27. С. 337]. Второе направление иссле­дований [Ацюковский В.А. Общая эфиродинамика. М/. Энергоатомиздат. 1990] основыва­ется на предположении о том, что процессы в микромире вакуума подчиняются всем из­вестным в настоящее время законам макромира газовой динамики реального вязкого сжи­маемого газа и что ограничение скорости различных физических процессов в физи­ческом вакууме величиной скорости света З Ю⁸ м/с справедливо только для электромаг­нитных процессов и не справедливо для гравитационных.

Согласно первому направлению исследования под вакуумным состоянием понимают состояние поля, в котором оно вовсе не имеет частиц (квантов), когда его энергия, оста­ваясь огромной, минимальна. В этом состоянии электромагнитные и другие виды полей испытывают флюктуации, при которых в вакууме рождаются электронно-позитронные пары.

Эти пары ведут себя как связанные заряды и под действием электрического поля смещаются, подобно тому как смещаются связанные заряды в диэлектрике. Процесс смещения электронно-позитронных пар под действием электрического поля называют поляризацией вакуума.

ствами. В течение многих столетий эту среду называли эфиром, а в по­следние десятилетия ее стали именовать физическим вакуумом, самим названием подчеркивая, что она обладает физическими свойствами. Сла­гаемое dPIdt обусловлено изменением поляризованности во времени (изменением расположения связанных зарядов в диэлектрике при изме­нении Е во времени). В качестве примера тока смещения может быть назван ток через конденсатор. Ток переноса вызывается движением элек­трических зарядов в свободном пространстве. Примером тока переноса может служить ток в электронной лампе. Если положительный заряд объемной плотности р₊ движется со скоростью v₊ и отрицательный заряд объемной плотности р_ со скоростью v_, то плотность тока пе­реноса в этом поле 5_пер = р₊ v₊ + р_ v_ в явном виде не зависит от напря­женности Е в данной точке поля. Если в некоторой точке поля одновре­менно существовали бы все три вида тока, то полная плотность тока $пол ⁼ $п_Р ⁺⁵см ⁺$пер- Для большинства задач ток переноса отсутствует.

Ток — это скаляр алгебраического характера. Полный ток через по­верхность S’ равен

/пол=/8пол^. (1.8)

.S'

Если в электромагнитном поле выделить некоторый объем, то ток, вошедший в объем, будет равняться току, вышедшему из объема, т. е.

/8_ПОЛ^5=0, (1.9)

где dS — элемент поверхности объема, он направлен в сторону внеш­ней по отношению к объему нормали к поверхности. Последнее уравне­ние выражает принцип непрерывности полного тока: линии полного тока представляют замкнутые линии, не имеющие ни начала, ни конца. Элек-

Вторым основным процессом в вакууме является испускание фотона свободным элек­троном (позитроном) с последующим его поглощением другим или тем же электроном за очень короткое время Д/, равное, примерно, КГ²¹ с. За это время заряды перемещаются на расстояние Ах. Процесс называют виртуальны.», а сами заряды — виртуальными.

Для каждой пары виртуальных частиц выполняется закон сохранения заряда, но в рамках соотношения неопределенностей наблюдаются местные нарушения закона сохра­нения энергии и закона сохранения импульса. Эти нарушения состоят в том, что каждая виртуальная частица во время ее существования обладает разбросом энергии ЛИ' >ЫЛ1 и разбросом импульса Лт>И/Лх, где постоянная Планка h = 6,626-10"³⁴ Дж-с.

Согласно второму направлению исследования вакуума, в нем образуются тороидальные вихри уплотненного эфира, обладающие огромной кольцевой и тороидальной скоростью. Эти вихри и являются электрическим зарядами. Тороидальная составляющая винтового движения создает магнитное поле, кольцевая — электрическое. Знак заряда зависит от того, является ли вихревое движение по отношению к кольцевому лево- или правовинтовым. Фотон — это двухрядная цепочка линейных (не кольцевых) вихрей, в которой вихри одного ряда вращаются в одну сторону, а другого ряда — в противоположную. Во втором направлении исследования установлено, что плотность физического вакуума численно равна величине электрической постоянной с₀ = 8,86-10" ² кг/м³ (Фарад/м в системе МКСА — эквивалент кг / м³ в системе МКС).

Носителями тока электрического смещения в физическом вакууме согласно первому направлению исследования вакуума являются электронно-позитронные пары, согласно второму — свободные электрические заряды (электроны и протоны).

трические токи неразрывно связаны с магнитным полем. Эта связь в неферромагнитной среде определяется интегральной формой закона пол­ного тока

^Hdl = ^dl = I_non- (1.10)

' Mo

циркуляция вектора напряженности магнитного поля Н (А/м) по зам­кнутому контуру равна полному току /_пол, охваченному этим контуром; dl — элемент длины контура (рис. 1.3). Таким образом, все виды токов, хотя и имеют различную физическую природу, обладают свойством со­здавать магнитное поле. В неферромагнитной среде магнитная индукция

В = ^Н. (1.11)

Ферромагнитные вещества обладают спон­танной намагниченностью. Характеристикой ее является магнитный момент единицы объема ве­щества J (его называют намагниченностью). Для ферромагнитных веществ

В = р₀(Н +J) = n₀V_rH = ц_а/7, (1.12)

где ц_а— относительная и абсолютная маг­

нитная проницаемость, соответственно.

Напряженность магнитного поля в ферромагнитной среде

Н = — -J (1.13)

Но

равна разности двух векторных величин: В/ц₀ и J.

Закон полного тока в интегральной форме для любой среды принято записывать в виде

Р?<"=Л,ол (1.14)

или в дифференциальной форме

rot Н = у £ + (1.15)

dt

Запись (1.15) закона полного тока получили из (1.14), поделив обе части его на площадь AS, охваченную контуром интегрирования, устремив AS к нулю и учтя плотность тока смещения dD _ч

----- . Физически ротор (rot) характеризует d t . ...

поле в данной точке в отношении способности к образованию вихрей.

Плотность тока переноса в правой части последнего уравнения не учтена, так как он обычно отсутствует в задачах, решаемых с помо­щью этого уравнения. Магнитный поток через некоторую поверхность S

(рис. 1.4) определяют как поток вектора В через эту поверхность:

<b = \BdS. (1.16)

s

Поток Ф — это скаляр алгебраического характера, измеряется в ве­берах (Вб = В с). Если поверхность S замкнутая и охватывает объем К, то поток, вошедший в объем, равен потоку, вышедшему из него, т. е.

fBc/S = O. (1.17)

Это уравнение выражает принцип непрерывности магнитного потока. Линии магнитной индукции — это замкнутые линии.

В 1831 г. М. Фарадей сформулировал закон электромагнитной индук­ции: ЭДС е_инд, наведенная в некотором одновитковом контуре изменя­ющимся во времени магнитным потоком, пронизывающим этот контур, определяется выражением

. - - (1Ф

^еинд ⁼ ^_madl = (1.18)

dt

где Ё_инд — индукционная составляющая напряженности электрическо­го поля. Знак минус обусловлен пра­вой системой отсчета: принято, что положительное направление отсче­та для ЭДС и направление потока при его возрастании связаны прави­лом правого винта (рис. 1.5).

Если контур многовитковый (ка­тушка с числом витков w), то

d'V

(119) dt

Здесь Т — потокосцепление катушки, равное сумме потоков, пронизы­вающих отдельные витки катушки,

Т =ф, ₊ф₂ +... + Ф_и„ (1.20)

Если все витки w пронизываются одинаковыми потоками Ф, то

Т = и'Ф,

где Т— результирующее потокосцепление, оно может создаваться не только внешним по отношению к данному контуру потоком, но и соб­ственным потоком, пронизывающим контур, при протекании по нему тока. В проводнике длиной dl, пересекающем магнитные силовые ли-

Они сформулированы в 1873 г. Дж. Максвеллом в его «Трактате об электричестве и магнетизме». Их называют уравнениями Максвелла или уравнениями макроскопической электродинамики.

Уравнение (1.24) означает, что вихревое магнитное поле создается то­ками проводимости и токами смещения. Уравнение (1.25) свидетельству­ет о том, что изменение магнитного поля во времени вызывает вихревое электрическое поле. Уравнение (1.26) — что магнитная индукция в нефер­ромагнитной среде не имеет истоков и уравнение (1.27) — что истоком линий Ё являются свободные заряды. Частные производные в уравнени­ях (1.24) и (1.25) учитывают, что уравнения записаны для неподвижных тел и сред в выбранной системе координат.

Джеймс Максвелл обобщил и дополнил работы предшествующих уче­ных А. Ампера, М. Фарадея, Д. Генри, Э. Ленца, Г. Гельмгольца, ввел понятие об электрическом смещении в диэлектрике, о токе смещения в диэлектрике и создал систему уравнений (1.24)—(1.27), с помощью кото­рых могут быть исследованы процессы в изменяющихся во времени элек­тромагнитных полях и электрических цепях.

§ 1.3. Подразделение электротехнических задач на цепные и по­левые. Задачи, с которыми приходится встречаться на практике, могут быть подразделены на две большие группы. Первая группа — цепные задачи. Они могут быть решены с помощью уравнений поля в интеграль­ной форме. В этой группе используются понятия «ток», «магнитный по­ток», «электрическое» и «магнитное напряжение», «потенциал», «ЭДС», «МДС» (магнитодвижущая сила), «резистивное», «индуктивное» и «ем­костное сопротивление». Для решения задач второй группы — полевых задач — применяют уравнения поля в дифференциальной и интеграль­ной формах. Цепные задачи рассматривают в I томе учебника ТОЭ (курса теории цепей), задачи теории поля — во II томе учебника ТОЭ. Четкой границы между двумя группами задач нет, так как любая цепная задача с увеличением частоты перерастает в полевую (все более прояв­ляются малые (паразитные) параметры и резко возрастает излучение энергии в окружающее пространство).

Основными уравнениями теории электрических цепей являются урав­нения (законы) Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа для электрических цепей следует из принципа непрерывности полного тока, а для магнит­ных цепей — из принципа непрерывности магнитного потока.

Покажем, что уравнение второго закона Кирхгофа для цепи перемен­ного тока вытекает из основных уравнений электромагнитного поля. С этой целью обратимся к рис. 1.7. Цепь образована источником сторон­ней ЭДС е(/), являющейся функцией времени (область 1 с проводимос­тью у,), проводящей средой (область 2 с проводимостью у₂) и конден­сатором (область 3, электрическая проницаемость в_а).

В источнике ЭДС за счет работы механической силы при вращении ротора электрического генератора возникает сторонняя ЭДС е(/). Она со­здает внутри источника стороннюю напряженность электрического поля £_стор, непрерывно разделяющую электрические заряды внутри источни-

ка, так что на одном зажиме источника в некоторый момент времени создается плюс заряд, а на другом зажиме в тот же момент времени та­кой же по величине минус заряд. Эти заряды создают в цепи потенци­альное электрическое поле с напряженностью Е_пот и изменяющийся во времени электрический ток /. Одновременно с разделением зарядов и протеканием тока по цепи возникает изменяющееся во времени магнит­ное поле индукции В, охватывающее проводник и по закону электромаг­нитной индукции создающее в цепи и диэлектрике индукционную составляющую электрического поля Ё_инд. Электрические заряды, перемещающиеся по проводнику, создают в диэлектрике, окружающем проводник, потенциальную составляющую напряженности электрическо­го поля Е_пот =-gradq> (где ф— электрический потенциал), направлен­ную перпендикулярно к поверхности проводника.

Будем исходить из непрерывности полного тока i через попереч­ные сечения трех областей. Полагаем, что излучение энергии в окру­жающее пространство отсутствует (частота относительно невелика). В первой области напряженность электрического поля Е_} состоит из трех компонент (сторонней, потенциальной и индукционной):

= Ястор! + 4_ОТ| + £ин₄1> во второй — Ё₂ = Ё_пот2 + Ё_инд2, в третьей — Е₃ - ^потз ⁺ ^индз! $1 >$2>$з — площади поперечного сечения областей; dl — элемент длины, совпадающий по направлению с dS', п°— еди­ничный вектор, совпадающий с направлением dl и S.

Для первой области

2 = у | ( Е_СТОр I + Е_пот; + Е_ИНД i) ■$! ’ для второй

*' “ Y2 (^Пот2 ^имд2 > для третьей —

‘ = ^sa “гС^потЗ ⁺ ^индз)^3 ~ ^еаР(^потЗ ⁺ ^индз)^3> Р at

Умножим уравнения (1.28-1.30) на элемент длины пути dl = п° dl, учтем, что S = п° S, и перепишем их так:

Р^еа ^S3

Проинтегрируем (1.31) по длине 1 -го участка, уравнение (1.32) по дли­не 2-го участка и уравнение (1.33) по длине 3-го и сложим их.

Получим

J ^стор| J^nOTl + J^710t2 + J^nOT-З ^1 "*■

/, />I, h ,

«(')

+ J £_Инд1 + J £_инд2 dl + J £_инд3 dl =

/|'г I,.

. , dl , dl i _r dl i _f. , 1 , dl

= i I +[ + —I ; — = \idt, — = ] .

/,71^1 1₂Уг^2 Pl,^ea^3 P C /, ^Ea$3

Окончательно,

i(R_x+R₂) + ^ + ^\idt = e(t), (1.34)

где R\ и R₂ — резистивные сопротивления участков / и 2; С — емкость конденсатора.

Второй закон Кирхгофа для магнитных цепей следует из закона пол­ного тока.

Рассмотрим свойства элементов электрической цепи конденсатора и индуктивной катушки.

§ 1.4. Конденсатор. Между двумя любыми проводящими телами, раз­деленными диэлектриком, существует электрическая емкость. Для созда­ния определенного значения емкости служат конденсаторы. На рис. 1.8 изображен плоский конденсатор, на рис. 1.9 — цилиндрический. Если заряд на одной обкладке (электроде) конденсатора + q, на другой - q, то

Рис. 1.8

Рис. 1.9

в пространстве между обкладками существует электрическое поле и меж­ду обкладками имеется напряжение U. Заряд д пропорционален (7:

q=CU.

Коэффициент пропорциональности С называют емкостью

(135)

Емкость зависит от геометрических размеров конденсатора и от элек­трических свойств диэлектрика между обкладками. От напряжения U ем­кость, как правило, не зависит. Исключение составляют конденсаторы, у которых между обкладками находится сегнетодиэлектрик (у сегнетоди- электрика является функцией £). Единицей емкости является фарад (Ф) или более мелкие единицы микро-, нано- и пикофарад: 1 мкФ = = 10"⁶ Ф; I нФ = 10’⁹ Ф; 1 пФ = 10’¹² Ф.

Пример 1. Вывести формулу для емкости плоского конденсатора (рис. 1.8. а). Пло­щадь его каждой пластины (с одной стороны) 5. расстояние между пластинами а, относи­тельная диэлектрическая проницаемость диэлектрика г_г.

Решение. На рис. 1.8. 6 (вид сбоку) показаны силовые линии. В основной области поле однородно. На краях имеется некоторая неоднородность, которую здесь учитывать не будем. Е направлена от заряда + q к заряду - q. Напряжение между электродами U Edi = [* £ cos 0* dl - Е а. Охватим верхний электрод замкнутой поверхностью (ее след на рис. 1.8, б показан штриховой линией) и применим к ней теорему Гаусса:

$EdS = ES = -£

внутреннем электроде радиусом Г] находится заряд + д, на наружном электроде радиусом г₂ — заряд - д.

Решение. Окружим внутренний электрод цилиндрической замкнутой поверхностью радиуса г (r, <i'<r₂). След этой поверхности показан штриховой линией на рис. 1.9, б. Поток вектора Е проходит через боковую поверхность, через торцы поток отсутствует, так как на торцах dS и Е взаимно перпендикулярны:

$EdS = JfcosO’ dS-E2nrl- бок пов

£ = 2

2 Л Г I £₀ £

Напряжение между электродами

(/ = [Edr =--------- =----------------- $—-kA.

’ 2 я £₀ £_г / ' г 2 я £₀ e_r I Г)

Емкость *

_с_д ЗлЕрВ, ~^и~ кА ' и

В конденсаторе емкостью С, между электродами которого напряже­ние и, запасена электрическая энергия

Си² д²

2 2С

При изменении заряда q во времени через конденсатор по диэлект­рику течет ток смещения

_;=^=сД

dt dt

Положительное направление отсчета тока i совпадает с положитель­ным направлением отчета напряжения и.

Из (1.37) следует, что

I г. , и- — \idt.

С ^J

§ 1.5, Индуктивность. Явление самоиндукции. Если по какой-либо катушке (контуру) будет протекать ток, то он создаст магнитное поле и катушка будет пронизываться магнитным потоком. Потокосцепление ка­тушки ¥ будет пропорционально току /: = Коэффициент пропор­

циональности L между Т и i называют индуктивностью:

Индуктивность L (Гн) зависит от геометрических размеров катушки, числа ее витков и от магнитных свойств сердечника, на котором она на­мотана. Если ток z будет изменяться во времени, по закону электромаг­нитной индукции в катушке наведется ЭДС , которую называют ЭДС самоиндукции-.

Положительные направления отсчета для / и e_L совпадают (е_{ про­порциональна скорости изменения тока /).

Если сердечник, на который намотана катушка, ферромагнитный, то 4^х — нелинейная функция тока L В этом случае

d4(i) ₌ d4(i)di ₌ di
dt ~ di dl' -’^иф dt

(£_диф называют дифференциальной индуктивностью, она является нели­нейной функцией тока /).

В магнитном поле уединенной катушки индуктивностью £, по кото­рой течет ток /, запасается магнитная энергия

/ ' £ / ²

= [idY = fLidi =----------------------- .----------------------- (1.42)

О о

Из (1.42) следует, что

2W

Ь = (1.43)

I²

Пример 3. Вывести формулу для индуктивности /. двухпроводной линии передачи дли­ной /, расположенной в воздухе, при расстоянии между осями проводов d и радиусе прово­да г с d. Полагать / » d и нс учитывать магнитный поток поперечных сторон петли.

Решение. Двухпроводная линия (рис. 1.10.а, о) представляет собой как бы один большой виток. Пропустим по ней ток /. Напряженность поля в произвольной точке меж­ду проводами на расстоянии х от левого провода на линии, соединяющей оси проводов, по закону полного тока равна //(2пх), а результирующая напряженность поля равна сумме напряженностей от каждого из проводов:

Поток через заштрихованную площадку dS=ldx равен

2п \х d-х J л г

При d э» г

д₌±₌мо1_1л£

/ я г

Пример 4. Определить индуктивность катушки (рис. 1.11, а) с числом витков н«] = 1000. равномерно намотанной на сердечник прямоугольного сечения, внутренний радиус которо­го Я) =4 см, наружный Я₂ = 6 см, высота Л = 2 см, р_г сердечника равна 80.

Рис. 1.11

Решение. Пропустим по катушке ток / и определим напряженность поля в сердеч­

2пЯ

Потокосцепление

Т = if, ф = М| 1

«1

Подстановка числовых значений дает L = 4*//= 0,131 Гн.

Пример 5. Вывести формулу для индуктивности цилиндрического провода длиной / радиусом Я. обусловленной потокосцеплением в теле самого провода. На рис. 1.12 пока­

зан вид провода с торца.

Решение. Пропустим вдоль провода постоянный ток /. По закону полного тока напряженность поля Н на расстоянии / 2

г от оси провода равна току ------------- пг , охваченному окруж-

л Я²

ностью радиусом г и деленному на длину этой окружности 2 л г:

1г

2 тг R²

Индукция

Магнитная энергия, запасенная в теле провода,

Воспользовавшись (i .43), получим:

/² 8л

§ 1.6 Взаимная индуктивность. Явление взаимоиндукции. На рис 1.13, а изображены два контура. По первому течет ток по второ­му — /₂’ Поток Ф_и создаваемый первым контуром, частично замыка­ется, пронизывая только первый контур Ф_п, минуя второй, частично про­низывая и второй контур Ф₁₂. Чтобы рисунок был более понятным, на нем изображено только по одной силовой линии каждого потока

Ф| —Ф]1

Аналогично поток, создаваемый вторым контуром:

Ф? ⁼ *$22 ^+<$2I-

Если первый контур имеет витков, то потокосцепление первого контура

W| (Ф । ± Ф ■> ।) ⁼ и’] Ф । ± W| Ф -> । — ЧИ । ± Ч/2 ] •

Потокосцепление второго контура (число витков м>₂)

^w 2 ($*2 И>2 Ф₂ ± W₂ Ф|₂ = т₂ ± ЧИ|2.

Знаки «+» соответствуют согласному направлению потока от своего тока и потока, создаваемого током в соседнем контуре. Знаки «-» соот­ветствуют несогласному (встречному) направлению потоков (для этого

Рис. 1.13

один из токов должен изменить направление). Потокосцепление про­порционально току /₂, а ЧИ₁₂ —току /|

*21 - VVj Ф₂| - М i₂-> *12 — ^2 Ф]₂ “ М /₍