Модуль і аргумент комплексного числа
2.7.1. Полярні координати точки і її радіус-вектора
Кожному комплексному числу 
може бути поставлена у співвідношення точку 
на комплексній площині, а кожній точці – радіус – вектор 
.
Точку Z можна задати також іншою парою чисел - полярними координатами: 
- відстань від початку координат (т.О) та кутом 
між променем OZ та додатним направленням вісі абсцис (мал. 8).
мал.8
Відповідно радіус – вектор точки Z задається тими ж числами, тобто 
, де r – довжина (модуль) вектора, - кут між вектором і віссю ОХ.
Для подальшого вивчення комплексних чисел нам необхідно згадати деякі властивості векторів:
1. Модуль (довжина) вектора дорівнює 
.
2. Кут між радіус-вектором і додатним напрямком осі абсцис - це кут повороту, при якому додатний напрям осі абсцис переходить в промінь, що задає напрямок даного вектора, при цьому початок променя є початок координат. Кут вважається додатним при повороті проти годинникової стрілки і від’ємним при повороті за годинниковою стрілкою.
Наприклад: В координатній площині задані вектори 
і 
(мал. 9). Знайдіть їх модулі (довжини). Які кути вони утворюють з додатним направленням вісі абсцис?
Так як 
, 
, то 
, 
. Промінь 
є образом променя Ох при повороті на кут, який дорівнює 
, а також при повороті на кут 
, або 
і так далі.
мал. 9
Тому вірне твердження, що вектор утворює з додатним направленням вісі абсцис кут 
, де 
- будь – яке ціле число.
Аналогічним чином визначаємо, що вектор утворює з додатним направленням вісі абсцис кут 
, або 
, або 
і так далі, тобто 
.
Відповідь: 
, , де - будь – яке ціле число.
3. Нульовий вектор однозначно визначається модулем (довжиною), тобто кут між нульовим вектором і позитивний напрямом осі Ох не розглядається. Модуль нульового вектора дорівнює 0.
4. Нехай вектор 
у прямокутній декартовій системі координат має координати х і у та утворює з додатним направленням вісі абсцис кут . Тоді
.
2.7.2. Модуль комплексного числа.
Модулем комплексного числа , де 
називається число 
тобто 
.
Властивості:
1. Якщо , де 
то 
Доведення цієї властивості випливає з означення модуля комплексного числа.
Таким чином, поняття модуля комплексного числа є розвитком і узагальненням поняття модуля дійсного числа.
2. Модуль комплексного числа дорівнює модулю протилежного і спряженого цього числа чисел.
Доведення. Розглянемо комплексне число , де , а також протилежне 
і спряжене 
йому числа. Знайдемо їх модулі:
Властивість доведено.
3. Число 
дорівнює модулю (довжині) вектора , тобто 
.
Наприклад:
1. Знайдіть 
. Так як 5 – дійсне число, то з властивості 1 отримуємо 
2. Знайдіть 
. Запишемо число і в алгебраїчній формі - 
. Тоді з означення модуля комплексного числа, отримаємо: 
.
3. Знайдіть 
. Це число представлене в алгебраїчній формі. З означення модуля комплексного числа отримаємо: 
.
4. Покажіть на комплексній площині всі комплексні числа з модулем, рівним 
. Всі комплексні числа з модулем зображуються точками комплексної площини, які є кінцями радіус – векторів довжини . Множиною таких точок є коло з центром у початку координат і радіусу 
(мал.10)
мал.10
Не порушуючи спільності міркувань, можна зробити наступний висновок.
Зображення множини комплексних чисел з модулем 
на комплексній площині є коло з центром на початку координат і радіусом .
Доказ цього твердження полягає в послідовному застосуванні визначення модуля комплексного числа і визначення кола з центром на початку координат і радіусом .
Наприклад:
1. Зобразіть на комплексній площині всі комплексні числа з модулем, меншим або рівним 2.
Всі комплексні числа з модулем, меншим або рівним 2, зображуються точками комплексної площині, які є кінцями радіус-векторів довжини, менше рівної 2. Безліч таких точок є коло з центром на початку координат і радіусом 2. (мал.11)
мал.11
2. Зобразіть на комплексній площині всі комплексні числа, що задовольняють умові: 
У цьому завданні розглядаються всі точки площини, крім точок, розташованих між концентричними колами і на меншому колі. Центри кіл - початок координат, радіуси рівні 2 і 4. (мал.12)
мал.12
2.7.3. Аргумент комплексного числа