Вычислите частные производные, первого порядка
164. 
;
165. 
;
166. 
;
167. 
;
168. 
;
169. 
;
170. 
;
171. 
;
172. 
.
В задачах 164, 165, 166, 167, 168, 170 вычислите частные производные второго порядка.
173. Вычислите 
, если . 
.
174. Вычислите 
, если 
и 
, 
.
175. Вычислите и 
, если а) 
,
б) 
.
176. Вычислите приближенно с помощью дифференциала 
.
177. Убедитесь, что функция 
имеет в точке М0 экстремум и определите его тип
а) 
, М0 
;
б) 
, М0(8,5; –5,5);
в) 
, М0 
.
Исследуйте на экстремум функции:
178. 
;
179. 
, если x ¹ 0, y ¹ 0;
180. 
;
181. 
182. 
;
183. 
;
184. 
185. 
;
186. 
;
187. 
.
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:
188. 
а) 
,
б) 
;
189. 
а) в 
,
б) ;
190. 
в круге 
;
191. 
в треугольнике x = 0, y = 0, x + y = 6.
Исследуйте функции на условный экст ремум:
192. 
, при 
;
193. 
, если 
, 
.
Вычислите производные параметрически заданных функций:
194. 
, 
;
195. 
, 
;
196. 
, ;
197. 
, ;
198. 
, 
.
199. Докажите, что функция y(x), заданная параметрически 
, удовлетворяет соотношению 
.
Вычислите производные первого и второго порядка от неявно заданных функций
200. 
;
201. 
;
202. 
;
203. 
;
204. 
;
205. 
, ( 
, 
).
Найдите градиент функции
206. 
в точке М0(1; –2);
207. 
в точке М0(2; 3; 2).
208. Вычислите производную функции в точке M0 по направлению 
, если
а) 
, М0(1; 2), 
;
б) 
М0(2; 3), 
;
в) 
, М0(2; 3; 1), 
.
209. Найдите 
, если а) 
и 
; б) 
и 
.
210. Найдите 
и , если в) 
и 
.
211. Неявные функции 
и 
заданы системой уравнений 
. Найдите частные производные и полные дифференциалы первого и второго порядка, если 
и 
.
212. Определите углы, под которыми пересекаются кривые 
и 
.
213. Покажите, что гиперболы 
и 
пересекаются под прямым углом.
214. Сумма ребер прямоугольного параллелепипеда равна а. Каковы размеры параллелепипеда наибольшего объема?
215. Определите размеры цилиндрического сосуда наибольшей вместимости с данной поверхностью S?
216. Найдите прямоугольный параллелепипед наибольшего объема, если длина его диагонали равна d?
*143 (x=l/4)