Нелинейные системы описываются нелинейными уравнениями и более сложны при анализе их.
Большинство систем при анализе их оказываются нелинейными. Однако в ряде случаев, учитывая малые отклонения величин, с которыми работают системы в реальных технологических режимах, практически их можно считать линейными и соответственно пользоваться методом анализа линейных АСР.
4. Математическое описание АСР. Статистическая характеристика. Способы представления статистической характеристики.
Для синтеза и анализа АСР используется аппарат алгебраических и дифференциальных уравнений. В связи с тем, что АСР имеют в своем составе элементы различной природы, то их математическое описание строится в терминах той дисциплины, к которой относится процесс, происходящий в элементе. В химической и в других отраслях промышленности даже в отдельных элементах протекают процессы различной природы (гидродинамические, тепловые, массообменные, химические), поэтому аппарат алгебраических и дифференциальных уравнений является универсальным для математического моделирования процессов любой природы. Особенно это касается исследования процессов в АСР, где все элементы взаимосвязаны. АСР могут находиться в равновесном (статическом) и неравновесном (динамическом) состоянии. Равновесное состояние характеризуется постоянством во времени всех параметров системы. где и – значения выходного и входного параметров системы
в равновесном состоянии (рис. 8.5). Обычно статические характеристики АСР и её элементов могут быть представлены в виде
алгебраических уравнений и графиков (рис. 8.6). Если статическая характеристика системы или элемента линейная, то система или элемент называются линейными, где а – постоянная величина; k – коэффициент усиления.
Если статическая характеристика системы или элемента нелинейная, то система или элемент называются нелинейными, и её поведение определяется нелинейным алгебраическим уравнением. или динамическими арактеристиками, которые определяют зависимость изменения выходной величины во времени от изменения входной величины. Динамические характеристики АСР или элемента могут быть представлены в виде дифференциальных уравнений, передаточных и переходных функций и в виде частотных характеристик. Динамические характеристики линейных АСР описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями вида постоянные коэффициенты; – время; n – порядок левой части уравнения; m – порядок правой части уравнения; y – изменение выходной величины; x – известное входное воздействие. В соответствии с условием физической реализуемости систем поhядок правой части уравнения не должен превышать порядок левой части, или m n.
При x=0 уравнение (8.4) преобразуется в однородное уравнение которое описывает поведение системы после снятия входного воздействия, или свободное движение системы, поэтому уравнение (8.5) называют уравнением свободного движения системы. Уравнение статики (8.2) можно получить из уравнения динамики (8.4), приравняв все производные нулю:
Абсолютное количество реальных систем и элементов являются нелинейными, поэтому их динамические характеристики описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, которые решаются чаще всего только численными методами. Во многих случаях можно нелинейное уравнение заменить приближенным линейным уравнением, полученным в результате линеаризации нелинейного уравнения. Возможность применения процедуры линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений на основе понятия малого отклонения параметра была доказана еще Вышнеградским.
Если нелинейность системы возникает из-за нелинейности статической характеристики, то последнюю можно линеаризовать, используя разложение нелинейной функции в ряд Тейлора с последующим отбраПостроение атематических моделей элементов АСР базируется на использовании закона сохранения в статике и динамике.
В статике количество выходящего из элемента вещества или энергии (приток) равно количеству входящего вещества или энергии (сток):
В динамике разница между количеством входящего в элемент вещества или энергии и количеством выходящего вещества или энергии идет на накопление вещества или энергии в элементе: где – скорость накопления вещества или энергии в элементе. Перед построением математической модели, при необходимости, формулируются допущения. Это позволяет упростить исходную модель.
5. Математическое описание АСР. Динамическая характеристика. Способы представления динамической характеристики.
Любая система автоматического управления может рассматриваться в виде совокупности отдельных связанных между собой элементов автоматики (чувствительных, промежуточных и исполнительных), взаимодействующих друг с другом и с объектом управления (регулирования). Для математического описания работы АСР удобно разбивать ее не на функциональные элементы автоматики, а на динамические звенья. Поэтому вводится понятие динамического звена. Динамическим звеном называется часть системы управления, либо вся система, описываемая дифференциальным (или иным) уравнением определенного вида. Приведенное определение является общим. Под него подходит любой элемент автоматики, совокупность таких элементов и даже вся система автоматического управления в целом. Существенно, что в отличие от функционального элемента автоматики, динамическое звено не обязательно является конструктивно или схемно-оформленным устройством. Например, в качестве динамических звеньев рассматриваются отдельные части функциональных элементов автоматики и объектов управления (обмотки возбуждения электрических генераторов, якорные обмотки электродвигателей, отдельные каскады усилителей и т. д.). Состояние любого динамического звена может быть охарактеризовано совокупностью соответствующих физических величин – обобщенных координат. Для электрических звеньев обобщенными координатами могут служить напряжения, токи и их производные; для механических – перемещения, скорости, ускорения. Многие звенья автоматических устройств обладают свойством направленного действия (однонаправленности), т. е. передают воздействие только в одном направлении от входа к выходу. В таких звеньях при изменении входной величины xвх изменяется и выходная величина xвых, изменения же выходной величины никак не сказывается на входной величине. Свойство однонаправленности практически реализуется за счет усиления входного сигнала звена по мощности. Пассивные звенья (рычаг, редуктор, пассивные электрические цепи и др.) свойством направленного действия не обладают. Уравнение звена должно быть составлено так, чтобы оно выражало зависимость (в динамическом процессе) между теми величинами, которые в схеме исследуемой системы указаны на выходе и входе данного звена, т. е. между величинами, представляющими воздействие данного звена на последующее по схеме звено и воздействие предыдущего звена на данное звено. Дифференциальное уравнение отдельного звена составляется по правилам соответствующей технической науки. Звено иногда может иметь не одну входную величину, а несколько (например, при наличии дополнительных обратных связей). Кроме входной и выходной величин звена, которые выражают собой внутренние связи между звеньями данной системы, может учитываться также внешнее воздействие на данное звено. В большинстве случаев математическое описание динамических звеньев приводит к дифференциальным уравнениям того или иного вида. В результате физическая задача определения выходной величины звена при изменяющемся входном сигнале сводится к математической.
6.Линеаризация нелинейных уравнений при описании АСР. Свойства линейных систем.
Абсолютное количество реальных систем и элементов являются
нелинейными, поэтому их динамические характеристики описываются
нелинейными дифференциальными уравнениями, которые решаются
чаще всего только численными методами. Во многих случаях можно
нелинейное уравнение заменить приближенным линейным уравнением,
полученным в результате линеаризации нелинейного уравнения. Возможность применения процедуры линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений на основе понятия малого отклонения параметра была доказана еще Вышнеградским.
Если нелинейность системы возникает из-за нелинейности статической характеристики, то последнюю можно линеаризовать, используя
разложение нелинейной функции в ряд Тейлора с последующим отбрасыванием нелинейных членов разложения и переходом от полных параметров к их отклонениям от стационарного состояния . Нелинейная статическая характеристика должна относиться к классу непрерывно дифференцируемых функций. В том случае, когда в уравнении функция представляет собой нелинейную функцию своих аргументов, динамика работы звена описывается нелинейным дифференциальным уравнением, а само звено называется нелинейным динамическим звеном.