<< < предыдущая 1 2 / 2 2

§ 2. Об однородных расширениях частичных геометрий.

Дата: 2025-04-30; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Геометрия ранга 2 – это система инцидентности , где – множество точек, – некоторый набор подмножеств , называемых блоками. Два блока называются коллинеарными, если они лежат в общем блоке. Если является геометрией ранга 2, то точечный граф – это граф с множеством вершин , в котором различные вершины смежны, если они коллинеарны. Геометрия будет называться связной, регулярной и т.д., если граф обладает соответствующими свойствами.

Пара , из , называется флагом, если точка принадлежит блоку , и антифлагом в противном случае. Если является антифлагом, то через обозначим число точек в , коллинеарных . Геометрия называется – однородной ( – натуральное число), если для любого антифлага число равно 0 или , и сильно - однородной, если это число всегда равно .

Вычет геометрии в точке – это геометрия ранга 2, где – множество всех точек, коллинеарных , и . Пусть - семейство геометрий ранга 2, и всякий вычет лежит в . Тогда говорят, что S является расширением . Геометрия называется треугольной, если для любых попарно коллинеарных точек найдется блок, содержащий все три точки . Точечный граф - это подграф (возможно, собственный) графа, индуцированного на графом . Заметим, что для любой точки тогда и только тогда, когда геометрия треугольная.

Если - различные точки геометрии , то геометрия имеет множество точек и множество блоков . Положим (соответственно, ), если равно 1 (соответственно, 2) в точечном графе .

Блоки геометрии называются прямыми, если различные блоки пересекаются не более чем в одной точке. В этом случае множество блоков называется множеством прямых и мы будем пользоваться неформальным языком, т.е. такими выражениями, как “прямая проходит через точку”, “точка лежит на прямой” и др.

Если есть такая геометрия точек и прямых, что каждая прямая имеет ровно точку, каждая точка лежит ровно на прямой и является сильно -однородной то тогда называется - частичной геометрией порядка (для краткости или даже ). Связное расширение семейства частичных геометрий обозначается как (или даже ).

Можно показать, что в - геометрии для любого антифлага , если , то и является треугольной геометрией тогда и только тогда, когда она - однородна.

Если - частичная геометрия , то двойственная геометрия , в которой каждая точка отождествляется с пучком проходящих через нее прямых, является частичной геометрией . Обобщенный четырехугольник - это частичная геометрия . Геометрия является сетью, а является 2-схемой с . Коклика из точек в точечном графе геометрии называется овоидом.

В данной работе мы исследуем – однородные геометрии с и сильно – однородные геометрии с .

Пусть геометрия является – однородной . Если то называется одноточечным расширением (и граф является полным). Например, 3-схема Матье с параметрами - это одноточечное расширение проективной плоскости .

Если , то геометрия будет сильно ( однородной, и является полным многодольным графом . В этом случае для любой точки a множество точек вычета имеет разбиение на овоидов. Среди известных обобщенных четырехугольников только где – степень простого числа, допускают разбиение точечного множества на овоиды.

Пример 1. Для любого имеется единственная геометрия Ее точечный граф является полным трехдольным графом , а множество блоков совпадает с множеством 3-клик этого графа.

Пример 2. Сильно - однородный расширенный четырехугольник существует при всех , где есть степень 2, а при и является единственным.

Пусть , - точка в , - гиперовал, содержащий , а обозначает группу (порядка ) всех элаций с центром в точке . Точками являются все точки , отличные от ; блоками являются прямые, не содержащие , и трансляции прямой под действием группы .

Примеры -однородных для построены . Пасини и Д. Пасечником.

Теорема 1. Пусть S является s -однородной геометрией а -дополнение к . Тогда либо (и геометрия известна), либо есть , - является сильно регулярным графом с , и есть геометрия вершин и клик графа , соответствующих для ; либо сильно -однородна и одно из следующих утверждений верно:

(1) , и есть граф, являющийся квадратной решеткой на вершинах;

(2) , , делит , и есть треугольный граф на ( вершинах.

Пример 3. Сильно -однородная геометрия существует для всех , где есть степень двойки.

Пусть , и являются точками , есть прямая , -гиперовал, содержащий и , а - это группа всех центральных коллинеаций с центром и осью, содержащей . Тогда , фиксирует все прямые, проходящие через , и является точно 2-транзитивной группой на множестве прямых, проходящих через и отличных от .

Множество точек геометрии состоит из точек , которые не лежат на L, а множество блоков является объединением множества прямых , не содержащих или , и образов под действием группы элаций .

Пример 4. Сильно 3-однородная геометрия существует.

Пусть точечное множество есть множество позиций квадратной матрицы порядка 5, а множество блоков задано наборами , такими, что - перестановка.

Ясно, что для и для любого антифлага .

Далее, для точки имеем каждая точка из принадлежит трем блокам из и каждый блок из содержит 4 точки из . Таким образом, является сильно 3-однородной геометрией .

Теорема 2. Пусть является сильно -однородной геометрией . Тогда либо является геометрией для некоторого нечетного , либо равняется или .

Дж. Тас построил частичную геометрию с с помощью спреда гиперболической квадрики в проективном пространстве . К настоящему времени известно существование такого спреда только для случая .

Теоремы 1 и 2 обобщают соответствующие результаты П. Камерона и Дж. Фишера по расширениям обобщенных четырехугольников на случай частичных геометрий.

1. Предварительные результаты

В этом разделе доказаны некоторые необходимые вспомогательные результаты.

Лемма 1.1. Пусть является частичной геометрией . Тогда и выполняются следующие утверждения:

(1) точечный граф является сильно регулярным с ,

, и содержит прямых;

(2) делит (условие целочисленности);

(3) (s+1−2α)t ≤(s−1)(s+1−α)2 (условие Крейна);

(4) если содержит подгеометрию , то или .

Лемма 1.2. Пусть является -однородной геометрией . Тогда точечный граф является реберно регулярным с . Кроме того, делит , и в случае число четно.

Пусть далее и является антифлагом с . По структуре вычета для точка лежит на прямых в , пересекающих , так что содержит единственную точку такую, что тройка не лежит ни в одном из блоков множества . Ясно, что , поэтому число четно.

Лемма 1.3. Пусть - сильно -однородная геометрия , где . Тогда точечный граф является псевдогеометрическим для и имеет собственные значения .

Лемма 1.4. 3-однородное расширение частичной геометрии не существует.

Доказательство. Пусть является точечным графом 3-однородной геометрии . Тогда сильно регулярен с параметрами Так как эта геометрия треугольная, то подграф является треугольным графом T для любого . Значит, окрестности вершин в каждом -подграфе графа являются четырехугольниками, что противоречит равенству . Лемма доказана.

2. Случай

Предположим, что есть - однородное расширение частичной геометрии порядка , т. е. . Пусть является дополнением к графу

Лемма 2.1. Допустим, что геометрия сильно -однородна. Тогда либо и -квадратная решетка, либо и является треугольным графом , где .

Доказательство. По лемме 1.3 граф имеет собственное значение , и по теореме Зейделя граф является одним из следующих графов: решетка или треугольный граф, полный многодольный граф , граф Петерсена, Шрикханде, Чанга, Клебша или Шлефли. Заметим, и

, поэтому графы исключаются.

Так как граф Петерсена имеет параметры , то , противоречие с тем, что . В случае графа Клебша граф имеет параметры ( противоречие с тем, что .

В случае графа Шлефли граф имеет параметры и , поэтому , снова противоречие с тем, что .

Пусть имеет параметры решетки . Тогда . Заметим, что граф Шрикханде имеет параметры решетки при . Но существует единственное расширение обобщенного четырехугольника с , и его точечный граф является дополнением к -решетке.

Пусть, наконец, имеет параметры треугольного графа. Тогда . По условию Крейна для имеем . Будем считать, что . Но тогда , и графы Чанга не возникают.

Лемма 2.2. Пусть является -однородной геометрией с и делит . Тогда .

Доказательство. Положим . В случае имеем , и заключение леммы выполняется.

По лемме 1.1 число делится на . Далее, числа и взаимно просты, поэтому делит . Наконец, делит и делит .

Пусть . Тогда и , так что , противоречие. Если , то , поэтому и .

Поскольку , то и по условию целочисленности для число делит . Значит, , что противоречит условию леммы.

Лемма 2.3. Пусть является -однородной геометрией. Тогда либо , либо является сильно регулярным графом с и - геометрия вершин и клик графа , соответствующих для , либо сильно однородна.

Доказательство. Допустим, что - контрпример к этой лемме с минимально возможным . Имеем , так что . Диаметр графа ограничен величиной , значит, .

По выбору в ней найдутся точки на расстоянии 2 такие, что содержит блоки двух типов: блоки с ( -блоки) и блоки с ( -блоки).

Пусть есть геометрия с точечным множеством и множеством блоков . Тогда каждый блок из , содержащий две точки и множества , является -блоком. Таким образом, геометрия сильно -однородна. Следовательно, либо есть геометрия точек единственного -блока, либо есть геометрия для некоторого .

В первом случае число точек в равно . Далее, каждый блок множества , содержащий точку из , содержит единственную точку из , поскольку . Так что число ребер между точками множеств и равно . Однако каждая точка геометрии лежит в блоках из , содержащих по s точек множества , поэтому то же число ребер равно . Значит, (и этот случай не возникает в расширенном четырехугольнике ).

В случае имеется ребер между точками геометрии и , поэтому .

Допустим, что выполняется первый случай. Тогда . Пусть для точек каждый блок множества является -блоком, и для точек все точки множества лежат в единственном -блоке. Тогда число ребер между точками множеств и равно

Если , то по целочисленности числа точек в множествах и число делит и , поэтому . Далее, и делит . Так как взаимно просты, то делит . Если , то , если же , то и . Поэтому , противоречие.

Итак, , граф разбивается на -блоки и Значит, , , поэтому граф сильно регулярен с , и является геометрией вершин и клик графа , соответствующих для . Но это противоречит выбору .

Таким образом, мы доказали, что для любой точки

(1) каждый блок из является -блоком или

(2) содержит подгеометрию с точечным множеством и множеством блоков , причем .

Пусть - множество точек графа , удовлетворяющее утверждению . Заметим, что если и точка лежит в -блоке из , то . Следовательно, разбивается на -однородные подгеометрии . По индукции мы заключаем, что либо , либо эти подгеометрии сильно однородны, и по лемме 2.1 имеем .

Как и выше, у нас имеется равенство для количества ребер между точками множеств и :

В первом случае имеем , поэтому делит . Если , что абсурдно. Значит, . Так как разбивается на подгеометрии , то делит , поэтому делит 4 и . Противоречие с тем, что не делит .

Предположим теперь, что . Тогда t и по утверждению (2) леммы 1.1 число делит s , поэтому делит . Далее, делит , поэтому делит . Положим . Тогда делит .

Если , то из равенства следует, что , что противоречиво. Значит, иравенство принимает вид: . Отсюда делит делит ( . Далее, и . Так как , то делит , откуда

Если , то делит , поэтому не делит .

Если делит 4, и . Но тогда не делит . Значит, , противоречие с тем, что не делит .

Итак, , и по лемме 1.1 число α делит , поэтому делит . Как и выше, делит , и по лемме 2.2 имеем .

Если , то ввиду равенства имеем , что абсурдно. Значит, и согласно число делит . Далее, делит 7, делит 4 и делит 2. Таким образом, делит 14, противоречие. Лемма 2.3 и теорема 1 доказаны.

3. Сильно -однородные геометрии

Предположим, что - сильно -однородная геометрия . По лемме 1.2 число делит , поэтому делит . По лемме 1.3 точечный граф является псевдогеометрическим для частичной геометрии . В частности, он сильно регулярен с параметрами , λ , и делит . Далее, собственные значения графа равны , Можно считать, что , поэтому .

Лемма 3.1. Верны следующие утверждения:

делит ;

если или , то - одна из геометрий или .

Доказательство. Утверждения (1–2)-не что иное, как условия целочисленности для и .

Пусть . Тогда делит , поэтому делит 18 и . Кроме того, делит . Вслучае число делит , поэтому . Противоречие с тем, что .

Если , то делит , поэтому . В этом случае заключение леммы выполняется.

Если , то 27 делит но не делит .

Пусть теперь , . Тогда делит 18 и делит , поэтому . Таккак 27 делит . Если , то делит , поэтому . Но геометрия не существует, а не удовлетворяет условию целочисленности.

Если делит , поэтому . Противоречие с тем, что .

Лемма 3.2. Либо есть с нечетным , либо в графе .

Доказательство. Напомним, что . Если , то и делит , противоречие.

Пусть . Тогда . Следовательно, либо , либо . В первом случае по утверждению (2) леммы 3.1 число делит , поэтому , противоречие. Во втором случае имеем расширение частичной геометрии , и по утверждению (1) леммы 3.1число делит , поэтому нечетно. В этом случае заключение леммы выполняется.

Пусть . Используя оценку для числа лап в графе , имеем поэтому . Значит, не больше 0, поэтому .

Если , то делит . Следовательно, , а также делит и . По утверждению (2) леммы 3.1 число делит , значит, делит . Для параметр не больше 4, и не делит , противоречие. Для число делит 9, а для число делит 4. В любом случае приходим к противоречию. Наконец, для число делит 3, и есть . Противоречие с леммой 1.4.

Если , то делит и делят 12, поэтому . Но в этом случае , противоречие.

Пусть теперь . . Если , то и . Далее, делит , поэтому делит . Но делит , поэтому , противоречие с утверждением (2) леммы 3.1. Лемма доказана.

Будем предполагать, что .

Лемма 3.3. Если делит , то .

Доказательство. Пусть . Тогда делит , и по утверждению (2) леммы 3.1 число делит , поэтому делит .

В случае число делит , поэтому . В случае число делит , делит 6·7·8. , и 11 не делит 7·8. В случае число делится на 7 и делит 6·9·10. Поэтому и 24 не делит . В случае имеем y делит 11 · 12. Значит, . В случае имеем , и 45 не делит 13 · 14, противоречие.

Если четно, то либо 3 делит , либо делит . Следовательно, делит , поэтому или 10, и не делит .

Значит, нечетно. Если делит 3 · 5 · 7, противоречие.

В случае число 8 делит y и 3+17y делит 6 · 18 · 19, противоречие.

В случае число 7 делит делит 2 · 16 · 17, противоречие.

В случае число четно делит 3 · 7 · 15, противоречие.

В случае число 5 делит делит 6 · 12 · 13, противоречие.

В случае число 4 делит делит 5 · 11, противоречие.

В случае число делит 6 · 8 · 9, поэтому .

В случае число четно и делит 3·3·7, поэтому и в псевдогеометрическом графе для условия целочисленности выполнены. Однако в этом случае имеем и в геометриях , условия целочисленности нарушаются.

Лемма 3.4. Если нечетно, то геометрия есть либо , либо .

Доказательство. Если - простое число, то делит , и ввиду лемм 3.1 и 3.3 заключение леммы выполняется.

Пусть . Тогда делит 6·16·17. Если 3 делит делит 25 · 17, противоречие. Значит, 3 не делит , и делит 25 · 17. Поэтому или 8 · 17. Значит, . В любом случае s делит α, противоречие.

Пусть . Тогда 4 делит , и по лемме 3.3 число 3 делит . Следовательно, или 6, кроме того, делит 5 · 11. Поэтому . В первом случае либо , либо , и 11 не делит . Во втором случае получим противоречие с утверждением (2) леммы 3.1. В третьем случае α , противоречие с утверждением (1) леммы 3.1. Лемма доказана.

В леммах 3.5–3.8 будем предполагать, что четно.

Лемма 3.5. Если взаимно просто с , то есть

Доказательство. Пусть взаимно просто с . По лемме 3.1 число делит . Тогда и 3 делит . В случае имеем , противоречие. Поэтому и 3 делит .

Пусть . Тогда . Так как делит . В случае получим , поэтому взаимно просто с и . Отсюда и число не целое. Значит, .

Если , то и делит . В случае имеем , противоречие. В случае имеем и 7 не делит . В случае имеем } и 11 не делит . В случае имеем и 8 не делит , поэтому α не делит . В случае имеем . Так как не делит , то является расширением геометрии .

Если , то и делит . Поэтому α , противоречие с тем, что не делит .

Если , противоречие.

Итак, не делится на 3, поэтому 3 делит . Тогда

Если , то , противоречие. Если , четно и нечетно. Так как , то . Если , то , противоречие с тем, что частичная геометрия не существует. Если , является псевдогеометрическим графом для и нарушается условие целочисленности.

Лемма 3.6. Если , то является геометрией

Доказательство. Пусть . Тогда и делит кроме того, по лемме 3.5 простое число 5 делит . Следовательно, не делит .

Пусть . По лемме 3.5 число 7 делит . Если то делится на 7 и . Далее, делит ) и делит 126, противоречие.

Если , то делится на 7 и . Далее, делит и делит 84, поэтому и является расширением геометрии . Но в этом случае по лемме 1.2 число должно быть четно, противоречие.

Если , то делится на 7 и . Далее, делит и делит 21 · 20, поэтому , противоречие с тем, что геометрия не удовлетворяет условию Крейна.

Пусть . Так как , то 7 делит и четно (так как делит , но не делит ). По лемме 3.5 число 3 делит , поэтому .

Если то делит и делит , поэтому . В случае число не делит . В случае число не делит , противоречие.

Если , то делит делит , поэтому , противоречие. Если , то делит делит , поэтому , противоречие с тем, что не делит .

Пусть . Тогда для некоторого целого числа , и 11 делит . Поэтому . Если , то делит и делит , противоречие.

Если , то делит и делит , противоречие.

Если , то и делит и делит , противоречие.

Если , то и делит и делит , поэтому и не делит .

Лемма 3.7. Если , то делит , и .

Доказательство. Пусть . Если не делит , то и 3 не делит . Но в этом случае взаимно просто с 6, и делит 17, противоречие.

Пусть . Тогда 13 делит , и либо , либо четно. Если то делит , противоречие.

Если 3 делит то делит . Но не делит для любого делителя числа . Значит, 3 не делит , и делит . Как и выше, пришли к противоречию.

Лемма 3.8. Параметр меньше 12.

Доказательство. Пусть . Согласно леммам 3.5, 3.7 число делит , и делит . Если 3 не делит , то делит . Пусть . Тогда 3 делит , и делит . Значит, и ( по лемме 1.2). Следовательно, или 44, но в каждом случае не делит . Если , то делит 17, противоречие. Пусть . Тогда , и 3 не делит , так что делит . Противоречие с тем, что 17 делит .

Таким образом, 3 делит , и делит . Пусть . Тогда 11 делит для некоторого делителя числа . Поэтому и . Но в первом случае нарушается условие Крейна, а во втором число не делит .

Пусть . Тогда является четным, и делит . Если , то делит и нечетно. Значит, или . В любом из этих случаев не делит . Поэтому 5 не делит , и 5 делит для некоторого , являющегося делителем числа . Следовательно, и . В этом случае не делит .

Пусть . Тогда делит , и 17 делит для , противоречие. Лемма доказана.

Леммы 3.4, 3.6 и 3.8 доказывают теорему 2.

Список литературы

1. Cameron P. J., Hughes D. R., Pasini A. Extended generalized quadrangles // Geom. Dedicata. 1990. V. 35. P. 193–228.

2. Thas J. A. Some results on quadrics and newpartial geometries // Simon Stevin. 1981. V. 55. P. 129–139.

3. Hobart S. A., Hughes D. R. Extended partial geometries: nets and dual nets // Europ. J. Comb. 1990. V. 11. P. 357–372.

4. Hobart S. A., Hughes D. R. withminimal µ. II //Geom. Dedicata. 1992.

V. 42. P. 129–138.

5. HughesD. R. Extended partial geometries: dual 2-design //Europ. J. Comb. 1990. V. 11. P. 459–472.

6. Seidel J. J. Strongly regular graphs with (−1,1,0) adjacency matrix having eigenvalue 3 // Linear Algebra&Appl. 1968. V. 1. P. 281–298.

7. Brouwer A. E., Lint J. H. van. Strongly regular graphs and partial geometries // Enumeration&Design / Eds. D. Jackson, S. Vanstone. NewYork: Academic Press, 1984. P. 85–122.

<< < предыдущая 1 2 / 2 2