Математический факультет

Дата: 2025-04-30; Просмотры: 2
Оценка:
0.00 из 5.00 — оценок
Скачиваний: 0

Министерство образования и науки РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. БЕРБЕКОВА»

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Карданова Милана Беслановна

 

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

« О - однородных расширениях частичных геометрий с большим »

Научный руководитель:

к.ф.-м.н.,доцент каф. ГиВА ………………………………………….… Нирова М.С.

Рецензент:

к.ф.-м.н., доцент каф.

вычислит.математики………………………………………………………...…. Кудаев В.Ч.

Допущена к защите «____»_________________2014г.

Зав.каф. ГиВА

д.ф.-м.н., профессор……………………………………………………………... Журтов А.Х.

Нальчик 2014г.

Содержание

Введение………………………………………………………………………….3

§ 1. Принятые обозначения и определения …………………………………….

§ 2. Об однородных расширениях частичных геометрий……………….……

1. Предварительные результаты…………………………………………….

2. Случай ……………………………………………………………….

3. Сильно - однородные геометрии………………………………….

§ 3.…………………………………...

Заключение…………………………………………………………………………

Список литературы………………………………………………………………

§ 1. Принятые обозначения и определения .

· Граф G – это пара множеств , где - множество вершин, а - множество ребер. Вершины и рёбра графа называются его элементами.

· Число вершин графа G называется его порядком и обозначается через . Если , то G называют - графом.

· Говорят, что две вершины и смежны, если множество является ребром, и не смежны в противном случае. Если - ребро, то вершины и называют его концами. Два ребра ребра называются смежными, если они имеют общий конец.

· Вершина и ребро называются инцидентными, если является концом ребра ( т.е. ), и не инцидентными в противном случае.

· Множество всех вершин графа G , смежных с вершиной называется окрестностью вершины и обозначается через .

· Граф G называется полным, если любые две его вершины смежны , т.е. . Полный граф порядка обозначают символом число рёбер в нём равно

· Граф G называется пустым, если в нём нет рёбер. Пустой граф порядка обозначается через .

· Граф G называется двудольным, если множество его вершин разбито на части (доли ) так, что концы каждого ребра принадлежат разным частям (долям). Если при этом любые две вершины, входящие в разные доли, смежны, то граф называется полным двудольным .

Полный двудольный граф, доли которого состоят из и из вершин, обозначается .

Аналогично двудольным определяются -дольный и полный -дольный графы для .

Легко подсчитать число всех графов с фиксированным множеством вершин . Эти графы различаются своими рёбрами, и поэтому их число равно количеству подмножеств в , т.е.

, где .

· Мультиграф – это пара , где - множество вершин, а - семейство множеств множества (рёбер).

Употребление термина «семейства» вместо «множество »означает, что элементы множества могут в повторятся, т.е. допускаются кратные рёбра.

· Петли – это рёбра соединяющие вершину саму с собой. Если допускаются петли и кратные рёбра, получаем псевдограф.

· Ориентированный граф (или орграф) – это пара , где - множество вершин, - множество ориентированных рёбер, которые называются дугами, . Если - дуга, то вершины и называются её началом и концом.

· Направленный граф – это орграф, не имеющий симметричных (т.е. дуг вида и ) пар ориентированных рёбер.

· Два графа G и Н изоморфны , если между их множеством вершин существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющие смежность.

· Изоморфизм есть отношение эквивалентности на графах.

· Подграфом G называется граф, у которого все вершины и рёбра принадлежат G .

· Остовый граф – это подграф графа G, содержащий все его вершины (т.е. ). Если множество вершин подграфа Н есть , а множество его рёбер совпадает с множеством всех рёбер графаG, оба конца которых принадлежат ,то Н называется подграфом, порождённым множеством , и обозначается через .

· Матрицей смежности графа G с множеством вершин называется матрица , (т.е. ), в которой элемент равен числу рёбер в G , соединяющих и .

Удаление вершины или ребра, а также переход к другому подграфу – это операции, с помощью которых можно из имеющегося графа получать другие графы с меньшим числом элементов. Известны так же операции позволяющие увеличить число элементов графа. Например, операция добавления ребра: если вершины и не смежны, то можно определить граф , где . Он получается из графа G добавлением ребра .

· Граф называется объединением графов и , если и (или ). Объединение называется дизъюнктивным, если , т.е. никакие два из объединяемых графов не должны иметь общих вершин .

· Говорят, что графы и соединены (обозначается ), если состоит из и всех рёбер соединяющих и . В частности , , где

и .

· Произведением графов и (обозначается ) называется граф, для которого - декартово произведения множеств вершин исходных графов, а определяется так: вершины и смежны в G тогда и только тогда, когда или , а и смежны в , или , а и смежны в .

С помощью операции произведения вводится важный класс графов - -мерные кубы . Он определяется рекуррентно:

.

· - это граф порядка , вершины которого можно представить - векторами длины таким образом, что две вершины будут смежны тогда и только тогда, когда соответствующие векторы различаются ровно в одной координате. Поскольку каждая вершина -мерного куба инцидентна - ребрам, то число его рёбер равно .

Ещё одна важная операция – отождествление (или слияние) вершин. Пусть и две вершины графа G, . К графу присоединим новую вершину , соединив её ребром с каждой из вершин, входящих в объединение окружений вершин и в графе G . Говорят, что построенный граф получается из графа G отождествлением вершин и

· Граф G называется стягиваемым к графу Н, если Н получается из G в результате некоторой последовательности стягивания рёбер.

Например, граф Петерсена стягиваем к и стало быть к любому с . Любой непустой связный граф отличный от стягиваем к . Но уже не любой связный граф стягивается к . Например, простая цеп не стягивается к . Поэтому возникает параметр - максимум порядков полных графов к которым стягивается граф G. Параметр называется Хадвигера графа G .

· Степенью вершины называют количество входящих в вершину рёбер.

· Путём в графе называют конечную последовательность вершин, в которой каждая вершина (кроме последней) соединена со следующей в последовательности вершиной ребром.

· Циклом называют путь, в котором первая и последняя вершины соединены ребром.

· Деревом называют связный граф без циклов.

· Расстоянием между вершинами и графа Г называется длина кратчайшей простой цепи, соединяющей их; если и не соединены, то полагаем

· Степенью вершины в графе Г – обозначается или - называется число рёбер, инцидентных

· Непустое множество А вместе с заданной на нем бинарной операцией (·) образует группу, если выполнены следующие четыре аксиомы:

Аксиома 1 (замыкание). Для любых двух элементов а и в, принадлежащих множеству А, элемент а · в принадлежит А.

Аксиома 2(ассоциативности) Для любых трёх элементов а,в,с, принадлежащих множеству А, справедливо равенство а·(в·с)=(а·в) ·с.

Аксиома 3 (тождественности). В множестве А существует такой элемент е, что е·а=а·е=а, для всех элементов а из А.

Аксиома 4 (обращения). Если выполняется аксиома 3, то для любого элемента а, принадлежащего множеству А, существует элемент, обозначаемый , такой, что .

· Взаимно однозначное отображение конечного множества на себя называется подстановкой.

· Автоморфизмом графа Г называется изоморфизм графа Г на себя. Таким образом, каждый автоморфизм графа Г есть подстановка множества вершин V, сохраняющая смежность.

· Неориентированный - вершинный граф, в котором степени всех вершин равны , а каждое ребро принадлежит точно треугольникам, называется рёберно регулярным с параметрами . Положим . Сильно регулярным графом с параметрами называется рёберно регулярный граф с соответствующими параметрами, в котором пересечение окрестностей любых несмежных вершин содержащих точно вершин .

· Пара , из , называется флагом, если точка принадлежит блоку , и антифлагом в противном случае. Если является антифлагом, то через обозначим число точек в , коллинеарных . Геометрия называется – однородной ( – натуральное число), если для любого антифлага число равно 0 или , и сильно - однородной, если это число всегда равно .

· Если есть такая геометрия точек и прямых, что каждая прямая имеет ровно точку, каждая точка лежит ровно на прямой и является сильно -однородной то тогда называется - частичной геометрией порядка (для краткости или даже ). Связное расширение семейства частичных геометрий обозначается как (или даже ).

· Блоки геометрии называются прямыми, если различные блоки пересекаются не более чем в одной точке.

· Вычет геометрии в точке – это геометрия ранга 2, где – множество всех точек, коллинеарных , и . Пусть - семейство геометрий ранга 2, и всякий вычет лежит в . Тогда говорят, что S является расширением .

· Геометрия называется треугольной, если для любых попарно коллинеарных точек найдется блок, содержащий все три точки .

· Если - частичная геометрия , то двойственная геометрия , в которой каждая точка отождествляется с пучком проходящих через нее прямых, является частичной геометрией . Обобщенный четырехугольник - это частичная геометрия . Геометрия является сетью, а является 2-схемой с . Коклика из точек в точечном графе геометрии называется овоидом.