1 2 / 2 2

5. Конечно-разностные уравнения.

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 5

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

6. Результаты вычислений в виде объемной картинки, полученные по аналитическим формулам и с помощью МКР.

7. Построить на одних осях графики , полученные по аналитическим формулам и с помощью МКР, в моменты времени ; ; .

8. Найти максимальную невязку между аналитическим решением и решением МКР с указанием координаты.

9. Код программы

10. Выводы

2. Решение уравнения параболического типа

Уравнения с частными производными 2-го порядка параболического типа наиболее часто встречаются при изучении процессов теплопроводности и диффузии. Простейшим уравнением параболического типа является уравнение нестационарной теплопроводности для однородного стержня (плоской бесконечной стенки)

, (2.1)

где – коэффициент температуропроводности; – коэффициент теплопроводности; – удельная теплоемкость; – плотность среды.

Начальные условия

. (2.2)

Граничным условия

; . (2.3)

Решение уравнения (2.1), полученное аналитически методом разделения переменных (метод Фурье) и удовлетворяющее условиям однозначности (краевым условия) (2.2), (2.3), имеет вид

, (2.4)

На рис. 2.1 показано распределение температуры в стержне в нулевой момент времени

Рис. 1.2. Распределение температуры в стержне в нулевой момент времени

Тогда в уравнении (2.4) определяются следующим образом

. (2.5)

Решение задачи гиперболического уравнения (1.1) методом конечных разностей (МКР).

Рассмотрим решение поставленной задачи МКР по явной схеме:

, . (2.6)

На рис. 2.2 шаблон явной схемы показан пунктирной линией.

Рис. 2.2. Конечно-разностная сетка

Для решения задачи уравнение (2.6) преобразуется к виду

, . (2.7)

Явная конечно-разностная схема (2.6) для параболического уравнения является устойчивой при условии .

Для временного слоя значения функции в узлах сетки определяются из начального условия

, . (2.8)

Граничные условия (2.3) на левой и правой границах задаются следующим образом: ; .

Решение дифференциального уравнения (2.1) МКР, записанного по неявной схеме, имеет вид:

, . (2. 8)

На рис. 2.2 шаблон неявной схемы показан сплошной линией.

Начальные условия записываются аналогично (2.7).

Граничные условия (2.3) на левой и правой границах задаются следующим образом: , а на правой – .

Неявная схема абсолютно устойчива, но для определения температуры в узлах на верхнем временном слое требует решения системы алгебраических уравнений. Для этого уравнение (2.8) преобразуем к виду

, . (2.9)

Полученную систему алгебраических уравнений целесообразно решать методом прогонки [7].

Система линейных алгебраических уравнений имеет вид

В матричной форме система уравнений запишется как

Здесь: – матрица коэффициентов размерностью ; – вектор столбец неизвестных; – вектор столбец свободных членов.

; ;

Матрица коэффициентов является ленточной трехдиагональной матрицей. Все ее ненулевые элементы находятся вблизи главной диагонали, т.е. , если .

Для решения указанной системы алгебраических уравнений используем метод прогонки, являющийся разновидностью прямого метода Гаусса.

На первом этапе (прямой ход) определяются прогоночные коэффициенты:

На втором этапе (обратный ход) определяются неизвестные:

Для метода прогонки граничные условия можно задать в виде:

В рассматриваемой задаче на левой и правой границах заданы граничные условие первого рода. На границе задано значения функции , . Тогда , , , .

ЗАДАНИЕ

Решить уравнение параболического типа (охлаждение стержня) аналитически и методом конечных разностей (использовать неявную схему).

Конечный момент времени определить по формуле . Количество разбиений по координате задать равным 40, а по времени – 80. Количество членов ряда в уравнении (2.4) задать равным 50. Коэффициент теплопроводности , Вт/(м²×°С); удельная теплоемкость , Дж/(кг×°С); Плотность среды , кг/м³.

Варианты заданий представлены в таблице 1.1.

Таблица 1.1. Варианты заданий

Вариант №	, м	, м	, м
1	0,10	0,30	10
2	0,11	0,35	11
3	0,12	0,40	12
4	0,13	0,45	13
5	0,14	0,50	14
6	0,15	0,55	15
7	0,16	0,60	16
8	0,17	0,65	17
9	0,18	0,70	18
10	0,19	0,65	19
11	0,20	0,60	20
12	0,21	0,55	21