Вынужденные колебания осциллятора под действием синусоидальной силы.

Дата: 2025-05-21; Просмотры: 2

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Колебания, которые совершаются за счет работы внешних сил, называются вынужденными, а действующая сила – вынуждающей.

Рассмотрим простейший случай – воздействие на систему внешней силы, меняющейся по гармоническому закону:

(40)

где и - соответственно амплитудное значение и частота вынуждающей силы.

Запишем II закон Ньютона для вынужденных колебаний:

(41)

и вводя обозначения и , получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний ГО:

(42)

Сразу после приложения вынуждающей силы возникает переходный режим вынужденных колебаний, при котором система участвует в двух колебаниях – свободных затухающих колебаниях и незатухающих колебаниях с частотой w вынуждающей силы. Однако через некоторое время t свободные колебания системы практически прекращаются. Система переходит в состояние установившихся вынужденных колебаний, которые происходят по тому же закону и с той же частотой, с которой меняется вынуждающая сила.

Поэтому естественно предположить, что решение (42) должно иметь вид:

(43)

Неизвестные амплитуду и начальную фазу найдем с помощью векторной диаграммы этого колебания.

Построим векторную диаграмму для начального момента времени t 0. Функция изобразится вектором , направленным по оси Ox. Функция

изобразится вектором длиной , отложенным от оси Ox под углом (-a). Ускорение изобразится вектором длиной , направленным противоположно вектору . Наконец, функция

изобразится вектором длиной , перпендикулярным , из треугольника видно, что

Следовательно, амплитуда установившихся вынужденных колебаний равна:

(44)

а начальная фаза определяется из соотношения:

(45)

Резонансные кривые

Из (44) следует, что амплитуда A вынужденных колебаний зависит от частоты собственных колебаний, от частоты , амплитуды вынуждающей силы и коэффициента затухания .

На рис. представлен график зависимости амплитуды A вынужденных колебаний от частоты и вынуждающей силы. 1. Пусть , тогда . 2. Пусть возрастает и стремится к . Если , то с ростом растет амплитуда A и при A обращается в бесконечность.

В реальных условиях , поэтому при амплитуда растет не до бесконечности, а до некоторого максимального значения A_max .

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте собственных колебаний называется резонансом.

Частота , при которой A = A_max, называется резонансной частотой.

3. При дальнейшем возрастании ( ) амплитуда A уменьшается.

Найдем резонансную частоту из условия минимума подкоренного выражения (44). Для этого возьмем производную по и приравняем к нулю..

,

откуда видно, что при , при .

Найдем сдвиг фаз при резонансе:

Если мало, то и . Если , то и , т.е. смещение при вынужденных колебаниях отстает по фазе от вынуждающей силы на

Волновые процессы.