Графическое представление колебаний. Векторная диаграмма.

Дата: 2025-05-21; Просмотры: 2
Оценка:
0.00 из 5.00 — оценок
Скачиваний: 0
Выберем некоторую ось Ox и из точки O построим вектор , длиной A, образующий с осью Ox угол a. Проекция этого вектора на ось Ox в начальный момент времени t 0 =0 равна:

Будем вращать этот вектор с угловой скоростью . За время вектор повернется на угол , и его проекция на ось Ox в этот момент будет:

При вращении его проекция будет меняться в пределах от A до –A. За то время, пока повернется на угол , его проекция совершит одно полное колебание, причем координата этой проекции будет меняться по закону

Таким образом, гармоническое колебание может быть представлено с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, отложенного из произвольной точки под углом, равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью вокруг этой точки.

Собственные колебания гармонического осциллятора.

Рассмотри колебания частицы под действием упругой или квазиупругой силы . Коэффициент называется коэффициентом упругости. По второму закону Ньютона:

или (5)

Разделим (5) почленно на массу частицы и обозначим:

(6)

Тогда уравнение (5) примет вид:

(7)

Решением дифференциального уравнения (7) являются функции:

или

(8)

Таким образом, система, находящаяся под действием силы вида , совершает гармоническое колебание. Частота этого колебания:

(9)

период колебания:

(10)

Энергия гармонических колебаний.

Пусть гармонический осциллятор (ГО) колеблется по закону:

Полная энергия колебаний ГО равна:

(11)

(12)

Потенциальная энергия осциллятора:

(13)

Получаем (с учетом ):

(14)

Тогда:

или:

(15)

Т.о., полная энергия гармонического колебания пропорциональна квадрату амплитуды и постоянна во все время колебания, как это следует из закона сохранения механической энергии. При этом кинетическая и потенциальная энергия непрерывно меняются с течением времени, переходя друг в друга.

Средние за период значения кинетической и потенциальной энергии одинаковы и равны:

(16)

т.к. средние за период значения квадрата синуса и квадрата косинуса равны 1/2.

Физический маятник.

Физическим маятником называют всякое абсолютно твердое тело, способное вращаться вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр тяжести. Колебания физического маятника происходят под действием составляющей силы тяжести .

Знак «-» берется потому, что сила стремится вернуть маятник в положение равновесия. Сила будет квазиупругой, т.е. пропорциональной смещению, только при малых углах отклонения , когда и (17)

Эта сила создает вращающий момент относительно оси вращения, проходящей через точку подвеса O перпендикулярно плоскости чертежа, равный:

(18)

R – расстояние от точки подвеса до центра тяжести C маятника.

Запишем уравнение вращательного движения относительно оси вращения:

или (19)

где I – момент инерции маятника относительно оси вращения

- угловое ускорение.

Разделив (19) на I, получим дифференциальное уравнение малых колебаний физического маятника:

(20)

Из него следует, что частота колебаний физического маятника:

(21)

а период колебаний:

(22)

Приведенной длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, который колеблется синхронно с физическим. Из условия синхронности , где , найдем, что .