Меры центральной тенденции — статистические показатели, характеризующие совокупности переменных (признаков), указывающие на наиболее типичный, репрезентативный для изучаемой выборки результат.
Если множество результатов диагностического обследования детей расположить на числовой прямой, то центральная тенденция будет проявляться в группировании результатов относительно определенного участка этой прямой. Наиболее практически важными мерами центральной тенденции в психодиагностике являются среднее арифметическое, мода и медиана.
Среднее значение (среднее арифметическое) (Мх) — это обобщающий показатель положения уровня центра распределения, который определяется как сумма всех значений измеренного признака, деленная на количество суммированных значений.
Мода (Мо) — наиболее часто встречающееся значение признака в ряду переменных. Моде, или модальному интервалу признака, соответствует наивысшая точка графика распределения частот. Для случаев, когда все значения в выборке встречаются одинаково часто, считается, что распределение не имеет моды. Если два соседних значения имеют одинаковую частоту и она больше частот других значений, то мода — среднее этих двух значений. Если два несмежных значения имеют равные частоты и они превышают частоты других значений, то существует две моды. Бимодальное распределение имеет на графике распределения две вершины.
В психодиагностике определение Мо используется для выяснения наиболее часто встречающихся признаков, расположенных в интервальных шкалах.
Медиана (М) — значение, делящее пополам упорядоченное множество переменных, расположенное в порядке убывания или возрастания. Если эта последовательность содержит нечетное количество показателей, то медиана есть среднее значение. В случае четного количества медианой будет среднее арифметическое двух центральных значений. Таким образом, первым шагом при определении медианы является упорядочивание (ранжирование) всех значений по возрастанию или убыванию.
На практике вместе с тем наиболее часто используемой мерой центральной тенденции является среднее значение. Но необходимо помнить, что среднее значение весьма чувствительно к «выбросам» — экстремально малым или большим значениям переменной. При сравнительном анализе средних арифметических должны соблюдаться следующие условия: а) группы должны быть достаточно большими; б) распределения симметричными; в) отсутствие «выбросов» — экстремально крайних значений.
При выборе и интерпретации мер центральной тенденции необходимо учитывать и другие особенности использования приведенных показателей.
При определении средних величин необходимо тщательное соблюдение требований однородности переменных и репрезентативности выборки.
Расчету средних величин должна предшествовать предварительная разбивка изучаемой совокупности на качественно однородные группы.
В малых совокупностях мода нестабильна и может изменяться при единичных и незначительных вариациях переменных.
Медиана не зависит от значения признака и частот встречаемости в рамках определенного множества переменных.
В унимодальных симметричных выборках, имеющих форму нормального распределения, среднее, медиана и мода совпадают.
Являясь обобщенной характеристикой ряда, меры центральной тенденции не позволяют учитывать его вариации. Наряду с мерами центральной тенденции обязательно использование мер изменчивости.
Меры изменчивости — статистические показатели, характеризующие разброс признака (переменной) относительно среднего значения, выражающие степень индивидуальных отклонений от центральной тенденции распределения. Меры изменчивости позволяют судить об однородности и достоверности эмпирически полученной совокупности данных, о существенности сходств и различий в распределении в сравниваемых группах распределений, точности проведенных измерений.
К наиболее информативным показателям мер изменчивости относятся: размах распределения, среднее арифметическое отклонение, стандартное отклонение, дисперсия, эксцесс, асимметричность.
Размах распределения (интервал) — это статистический показатель разброса данных, т. е. разности между самым высоким и самым низким результатами полученных данных по конкретному признаку. Однако эта мера изменчивости неточно отражает величину разброса данных, так как характеризует только два показателя независимо от их объема. Поэтому случайный, очень низкий или очень высокий результат может повлиять на величину размаха распределения.
Более точной мерой изменчивости является среднее абсолютное (арифметическое) отклонение.
Среднее абсолютное (арифметическое) отклонение — статистический показатель, основанный на учете разности между каждым индивидуальным результатом и средним значением по группе, в определенной мере отражающий меру изменчивости признака.
Дисперсия — статистический показатель вариации признака, характеризующий средний разброс по выборке относительно среднего арифметического, возведенный в квадрат. Расчет дисперсии применяют для выделения выборочной совокупности, определения ошибки выборки, однородности изучаемой совокупности по тому или иному признаку Чем больше изменчивость в данных, тем больше отклонения значений от среднего, тем больше величина дисперсии.
Принято различать теоретическую (генеральную) дисперсию — меру изменчивости бесконечного числа измерений (в генеральной совокупности, в популяции в целом) и эмпирическую (выборочную) дисперсию — для реально измеренного множества значений признака (Наследов А. Д., 2007).
Стандартное отклонение (или среднеквадратическое отклонение, или сигма) — статистический показатель, отражающий меру изменчивости признака, представляющий собой квадратный корень из несмещенной оценки дисперсии. Стандартное отклонение является общепринятой мерой вариации признака, так как для многих распределений, приближающихся к нормальному, мы можем сказать, какой процент данных лежит внутри интервала от среднего значения до одного, двух, трех и более стандартных отклонений.
Эксцесс (Ех) — статистический показатель, выступающий в форме проверки нормальности эмпирического распределения, «мера плосковершинности или остроконечности графика распределения измеренного признака» (Наследов А. Д., 2007, с. 47).
Распределение с положительным эксцессом (островершинное распределение) свидетельствует о преимущественном появлении средних или близких к средним положительным значениям. Отрицательным эксцессом распределение характеризуется в том случае, когда преобладают отрицательные значения от -3 до 0. «Средне-вершинное» (нормальное) распределение имеет нулевой эксцесс (Ех = 0).
Асимметричность (показатель асимметрии) ( As ) — статистический показатель, свидетельствующий о более частом проявлении значений, которые выше или, наоборот, ниже среднего. Положительный показатель асимметрии (левосторонний) свидетельствует о том, что в распределении чаще встречаются более низкие значения признака, а отрицательный показатель асимметрии (правосторонний) отражает наличие более высоких значений.
В нормальных распределениях эксцесс и асимметрия равны нулю. Если хотя бы один из двух показателей эмпирического распределения существенно отклоняется от нуля, это свидетельствует об отклонении эмпирического распределения от нормального.