Лекція 12-13. Лінії на площині

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 12

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

ПЛАН

1. Пряма лінія на площині

2. Кут між двома прямими, відстань від точки до прямої

3. Криві другого порядку

4. Дослідження загального рівняння кривої другого порядку

Означення. Рівняння F (x, y) = 0 називається рівнянням деякої лінії в заданій системі координат, якщо це рівняння задовольняють координати (х, у) будь-якої точки, що лежить на цій лінії, і не задовольняють координати жодної точки, що не лежить на цій лінії.

1. Пряма лінія на площині

Нехай задано деяку пряму (рис. 2.1), знайдемо її рівняння.

Точка М (х, у) лежить на прямій тоді і тільки тоді, коли виконується умова

.

Позначимо tg a = k і назвемо цю величину кутовим коефіцієнтом прямої лінії. Тоді, враховуючи, що NM = y – b, BN = x, маємо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

у = kx + b. (2.1)

Нехай деяка точка М₁ (х₁, у₁) належить заданій прямій, тоді у₁ = kx₁ + b. Знайдемо з цього рівняння значення b і, підставивши його в рівняння прямої (2.1), дістанемо:

у – у₁ = k (х – х₁) (2.2)

— рівняння прямої, що проходить через задану точку М₁ (х₁, у₁).

Нехай ще одна точка М₂ (х₂, у₂) також належить заданій прямій, тоді з означення лінії маємо:

у₂ – у₁ = k (x₂ – x₁).

Знайдемо значення k з останнього співвідношення і, підставивши його в рівняння прямої (2.2), дістанемо:

. (2.3)

Останнє рівняння (2.3) називається рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки.

У прямокутній системі координат пряма лінія задається рівнянням першого степеня відносно х і у.

Ах + Ву + С = 0, (2.4)

і навпаки, рівняння (2.4) при довільних А, В, С (А і В одночасно не дорівнюють нулю) визначає деяку пряму в прямокутній системі координат Оху.

Рівняння (2.4) називається загальним рівнянням прямої лінії. Дослідимо це рівняння.

1. С = 0, А ¹ 0, В ¹ 0, тоді Ах + Ву = 0 і останнє визначає пряму, що проходить через початок системи координат, бо точка О (0, 0) лежить на цій прямій.

2. В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0, тоді Ах + С = 0, або , де а — довжина відрізка, що його пряма відтинає на осі Ох, а сама вона розміщена паралельно осі Оу, якщо С = 0, то х = 0 маємо рівняння самої осі Оу.

3. А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0, тоді Ву + С = 0, або , де b — довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Ох, при с = 0 маємо у = 0 — рівняння осі Ох.

2. Кут між двома прямими, відстань від точки до прямої

Розглянемо дві прямі l₁: у = k₁x + b₁ і l₂: y = k₂ x + b₂.

Означення. Кутом між прямим l₁ і l₂ називається такий кут j, поворот на який від першої прямої до другої відносно точки їх перетину до суміщення цих прямих відбувається на найменший кут проти годинникової стрілки.

Зауважимо, що кут між l₁ і l₂ не дорівнює куту між l₂ і l₁. Пригадуючи, що tg a₁ = k₁; tg a₂ = k₂, а також, що виконується очевидне співвідношення між кутами j = a₂ – a₁ (рис. 2.2), маємо: . Остаточно

. (2.5)

Якщо кут j — це кут між l₁ і l₂, то кут між l₂ і l₁ дорівнюватиме p – j.

З формули (2.5) легко дістати умови паралельності і перпендикулярності двох прямих.

Так, коли l₁ // l₂, кут j між ними дорівнює нулю — маємо:

tg j = 0 Þ k₁ = k₂.

Якщо l₁ ^ l₂,

.

Підставляючи значення кутових коефіцієнтів, маємо:

.

Нехай задано деяку точку М₀ (х₀, у₀) і пряму l: Ах + Ву + С = 0. Пересвідчимось, що М₀ не лежить на прямій, Ах₀ + Ву₀ + С ¹ 0, тоді відстань від точки М₀ (х₀, у₀) до прямої Ах + Ву + С = 0 можна знайти за формулою:

.

3. Криві другого порядку

Розглянемо тепер лінії другого порядку, які на площині в загальному випадку можна записати так:

а₁₁х² + 2а₁₂ху + а₂₂у² + 2а₁₃х + 2а₂₃у + а₃₃ = 0. (2.6)

Рівняння (2.6) описує всі криві другого порядку в загальному випадку. Спинимось спочатку на простіших, так званих канонічних рівняннях ліній другого порядку.

Еліпс. Означення. Множина точок площини, для яких сума відстаней від двох заданих точок, що називаються фокусами, є величина стала й така, що дорівнює 2а і більша, ніж відстань між фокусами, називається еліпсом.

На рис. 2.3 зображено F₁ (–c, 0), F₂ (c, 0) — фокуси еліпса, М (х, у) — точка множини, яка задовольняє означення, тобто причому 2с < 2a Þ a > c.

Тоді

(2.7)

канонічне рівняння еліпса, де b² = а² – с².

Розглянемо геометричний зміст параметрів, що входять в рівняння (2.7). Якщо х = 0, у = ± b, тобто точки (0, b) і (0, – b) є точками перетину еліпса з віссю Оy. Відрізок завдовжки b називають малою піввіссю еліпса. При у = 0, х = ± а і відповідно (а, 0); (– а; 0) є точками перетину еліпса з віссю Ох. Відрізок завдовжки а — велика піввісь еліпса. З парності виразу (2.20) за х і за у випливає симетрія еліпса відносно осей Ох і Оу. На рис. 2.3 зображено еліпс.

Ексцентриситет еліпса — це відношення ; за означенням с < a і eÎ[0, 1). Оскільки то . З останньої рівності випливає геометричний зміст ексцентриситету, який полягає в тому, що він характеризує ступінь витягнутості еліпса. Так, при маємо коло, якщо e наближається до одиниці, то відношення довжини півосей еліпса стає малим, тобто еліпс витягується вздовж осі Ох.

Гіпербола. Означення. Множина точок площини, для яких модуль різниці відстаней від двох заданих точок, що називаються фокусами, є величиною сталою, яка дорівнює 2а і менша за відстань між фокусами, називається гіперболою.

Скористаємось рис. 2.4, з якого бачимо, що точки F₁ (– c, 0) і F₂ (c, 0) — фокуси гіперболи, точка М (х, у) — точка визначеної множини. Тоді .

Канонічне рівняння гіперболи має вигляд:

, (2.8) де b² = c² – a².

Дослідимо здобуте рівняння. Гіпер­бола не перетинає вісь Оу. При у = 0; х = ± а і точки (–а, 0); (а, 0) — точки перетину з віссю Ох. Розглянемо ще рівняння прямих , які далі називатимемо асимптотами гіперболи. Враховуючи симетрію відносно осей Ох і Оу, будуємо графік гіперболи, який зображено на рис. 2.4

Відрізки завдовжки b і а називають відповідно уявною і дійсною осями гіперболи.

Ексцентриситет гіперболи , але с > a і e >1. Беручи до уваги, що с² = а² + b², дістаємо: , або .

З останньої рівності випливає, що для гіперболи ексцентриситет характеризує ступінь нахилу віток гіперболи до осі Ох.

Дві прямі, рівняння яких , називаються директрисами еліпса і гіперболи. Для еліпса і відношення , директриси еліпса — це дві прямі, що розміщені симетрично відносно осі Оу і проходять зовні еліпса. Для гіперболи e > 1 і відношення . Тобто директриси гіперболи розміщені симетрично відносно осі Оу і лежать між вітками гіперболи.

Для еліпса і гіперболи можна сформулювати важливе твердження: якщо r — відстань від деякої точки еліпса або гіперболи до будь-якого фокуса, а d — відстань від цієї самої точки до директриси, яка відповідає цьому фокусу, то відношення стале й дорівнює ексцентриситету, тобто .

Розглянуте твердження можна покласти в основу означення цих ліній.

Означення. Множина точок, для яких відношення відстаней від фокуса і до відповідної директриси — величина стала, що дорівнює ексцентриситету e, є еліпс, якщо e < 1, і гіпербола, якщо e > 1.

Парабола. Означення. Множина то­чок площини, що містяться на однаковій відстані від даної точки фокуса і даної прямої, яка не проходить через фокус і називається директрисою, є парабола.

За означенням r = d, отже (див. рис. 2.5):

або у² = 2рх @ (2.9)

— канонічне рівняння параболи, коли e = 1. Парабола симетрична осі Ох, проходить через початок системи координат. Її графік подано на рис. 2.5.

Коло. До кривих другого порядку належить і добре відома лінія, яка називається колом (рис. 2.6).

Означення. Множина точок, що містяться на однаковій відстані від заданої точки — центра, називається колом. За означенням ОМ = R або .

Піднісши обидві частини рівняння до квадрата, дістанемо:

(х – а)² + (у – b)² = R² (2.10)

— канонічне рівняння кола. Тут (а, b) — координати центра кола, R — його радіус. Розкривши дужки в лівій частині (2.10), дістанемо, очевидно, рівняння другого степеня, тобто коло — також крива другого порядку.

4. Дослідження загального рівняння кривої другого порядку

У попередньому підрозділі знайдено рівняння ліній другого порядку в канонічному вигляді. Покажемо, як із загального рівняння кривої другого порядку

а₁₁х² + 2а₁₂ху + а₂₂у² + 2а₁₃х + 2а₂₃у + а₃₃ = 0 (2.11)

дістати канонічне рівняння і визначити тип ліній.

Зробимо заміну змінних за формулами:

, .

Якщо координати нового центра визначаються за формулами:

, де ,

то в рівнянні (2.11) зникають лінійні відносно х і у члени і воно набирає вигляду

(2.12)

Якщо , то лінія другого порядку називається центральною кривою. Тут

, а₁₂ = а₂₁, а₃₁ = а₁₃, а₃₂ = а₂₃ .

Нехай , . Зведемо рівняння (2.12) до канонічного вигляду. Для цього позбудемося члена, який містить добуток . Скористаємось ще одним переходом до нової системи координат , яка утворюється поворотом системи координат на деякий кут a, маємо:

Підставивши значення у (2.12), дістанемо:

,

де

,

,

.

Виберемо такий кут повороту осей , щоб виконувалась умова

(а₁₁ – а₂₂) sin 2a = 2a₁₂ cos 2 a.

Якщо а₁₁ = а₂₂, то сos 2a = 0, . Якщо а₁₁ ¹ а₂₂, то

. (2.13)

Підставивши значення a (2,13) у вирази для і , дістанемо канонічну форму рівняння кривої другого порядку:

. (2,14)

Остаточно здобуті результати можна звести в таблицю:

	Еліпс (дійсний або уявний)	Уявні прямі, що перетинаються в дійсній точці
	Парабола	Паралельні прямі (дійсні, уявні або такі, що збігаються)
	Гіпербола	Дійсні прямі, що перетинаються