Лекция 1. Матрицы.

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 9

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Раздел 1. Введение

Математическое образование студента начинается с трех основных дисциплин, а именно высшей алгебры, аналитической геометрии и математического анализа. Эти три дисциплины вместе составляют фундамент, на котором строится все здание современной математики.

Высшая алгебра представляет собой естественное обобщение и далеко идущее развитие школьного курса алгебры, где центральным является вопрос о решении уравнений. Изучение уравнений начинается с простого случая одного уравнения первой степени с одним неизвестным, а затем развивается в двух направлениях:

· с одной стороны, рассматриваются системы двух и трех уравнений первой степени с двумя и, соответственно, тремя неизвестными;

· с другой стороны, изучается одно квадратное уравнение с одним неизвестным, а также некоторые частные типы уравнений более высокой степени.

Оба направления получают дальнейшее развитие в курсе высшей алгебры, определяя ее разбиение на два больших раздела: линейную алгебру и алгебру многочленов.

Линейная алгебра имеет исходной задачей изучение произвольных систем уравнений первой степени (линейных уравнений). Для решения таких систем в том случае, когда число уравнений равно числу неизвестных, разработан аппарат теории определителей. Если же число уравнений не равно числу неизвестных, этого аппарата уже недостаточно, и была разработана теория матриц, т.е. систем чисел, разложенных в квадратные или прямоугольные таблицы.

Решением простейших уравнений занимались еще вавилонские, китайские а затем древнегреческие и индийские математики. Вершиной алгебраических исследований этого периода являются сочинения греческого математика Диофанта ( III в. до н.э.).

Большой вклад в развитие алгебры внесли математики средневекового востока, писавшие на арабском языке, особенно узбекский ученый Мухаммед Аль-Хорезми (IХ в.) и таджикский математик и поэт Омар Хайям (1040-1123г.г.).

2. Векторная алгебра и анализ

2.1. Определители, матрицы, системы линейных уравнений

Автор Л.Ю. Трояновская.

Лекция 1. Матрицы.

Содержание:

Определение матрицы. Виды матриц. ♦
Операции над матрицами и их свойства. ♦

Определение матрицы. Виды матриц.

Определение 1. Матрицей размерности называется прямоугольная таблица чисел , состоящая из m строк и n столбцов.

Обозначение:

= ,

где - элемент матрицы, расположенный на пересечении i -той строки и j-того столбца. Элементы , где , образуют главную диагональ.

Выражение - называется размером (размерностью) матрицы.

Строки матрицы будем обозначать , а столбцы – .

Определение 2. Матрицы и одинаковой размерности равны, если равны их соответствующие элементы: .

Замечание. Значок Называется «квантор всеобщности» и означает «для всех», «любой» и т.д.

Виды матриц.

Определение 3. Если все элементы матрицы равны 0, то матрица называется нулевой, обозначается О:

Нулевая матрица играет роль нуля в операциях над матрицами.

Определение 4. Матрица размера называется квадратной матрицей п – го порядка.

Элементы образуют главную диагональ, а элементы – побочную.

Пример. В матрице

элементы 1, 5, 9 – главная диагональ, а 7, 5, 3 – побочная.

Определение 5. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы вне главной диагонали равны нулю: ,

Определение 6. Диагональная матрица произвольного порядка называется единичной, если все элементы главной диагонали – единицы: .

Обозначение

Е= .

Единичная матрица играет роль единицы в операциях над матрицами.

Определение 7. Матрица называется матрицей треугольного вида, если все элементы под главной диагональю равны нулю.

Для квадратной матрицы: Для прямоугольной матрицы:

Операции над матрицами и их свойства.

Линейные операции.

Линейными являются операции сложения и умножения на число.

Определение 8. Суммой матриц и одинаковой размерности называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых матриц: .

Пример.

Определение 9. Произведением матрицы размерности на число λ называется матрица той же размерности, получающаяся из матрицы А умножением всех ее элементов на λ: .

Пример.

Определение 10. Матрица называется противоположной к матрице А и обозначается -А.

Основные свойства линейных операций.

1°. А+В=В+А,

2°. (А+В)+С=А+(В+С),

3°. λ∙( А+В)= λ∙ А+λ∙В,

4°. О+А =А,

5°. 0∙А=О,

6°. -А+А =О.

Умножение матриц.

Определение 11. Произведением матрицы размерности на матрицу размерности называется матрица размерности , каждый элемент которой равен сумме произведений соответствующих элементов i -той строки матрицы А и j-того столбца матрицы В: .