Лекция по теме "Предел функции. Замечательные пределы".

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 27

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

1. Ознакомление с теорией предела функции.

Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.
Записывается предел следующим образом .

Вычислим предел:
Подставляем вместо х – 3.
Заметим, что предел числа равен самому числу.

Примеры: вычислите пределы

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция называется непрерывной (в данной точке).

Вычислим значение функции в точке x₀ = 3 и значение его предела в этой точке.

Значение предела и значение функции в этой точке совпадает, следовательно, функция непрерывна в точке x₀ = 3.

Но при вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределённостями.

Основные виды неопределенностей:

Раскрытие неопределенностей

Для раскрытия неопределенностей используют следующее:

· упрощают выражение функции: раскладывают на множители, преобразовывают функцию с помощью формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножают на сопряженное, что позволяет в дальнейшем сократить и т.д., и т.п.;

· если предел при раскрытии неопределенностей существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению, если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Пример: вычислим предел.
Разложим числитель на множители

3. Вычисление пределов функции

Пример 1. Вычислите предел функции:

При прямой подстановке, получается неопределенность:

Разложим на множители числитель и знаменатель и вычислим предел.

Пример 2. Вычислите предел функции:

При прямой подстановке, получается неопределенность.

Помножим и числитель, и знаменатель на .

Учтем, что если число разделить на бесконечно большое число получится ноль. То есть предел Аналогично

Пример 3. Вычислите предел функции:

При прямой подстановке, получается неопределенность.

Помножим и числитель, и знаменатель на .

Мы учли, что

Свойства функции:

Если f(x)=b a g(x)=c то выполняются следующие свойства:

Замечательные пределы.

Первый замечательный предел.

Теорема. Предел отношения sin бесконечно малой величины к самой этой величины к самой этой величине равен 1, т.е. . Или

Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, то есть

Этот предел называют первым замечательным пределом. С его помощью вычисляют пределы выражений, содержащих тригонометрические функции. Пример 1. Вычислить