Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
Пример 5
Дана плоская фигура, ограниченная линиями 
, 
, 
.
1) Найти площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями.
2) Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг оси 
.
Решение: Задача состоит из двух частей. Начнем с площади.
1) Выполним чертёж:
Легко заметить, что функция задает верхнюю ветку параболы, а функция – нижнюю ветку параболы. Перед нами тривиальная парабола, которая «лежит на боку».
Нужная фигура, площадь которой предстоит найти, заштрихована синим цветом.
Поэтому: 
Чем в данном случае плох обычный путь решения? Во-первых, получилось два интеграла. Во-вторых, под интегралами корни, а корни в интегралах – не подарок, к тому же можно запутаться в подстановке пределов интегрирования. На самом деле, интегралы, конечно, не убийственные, но на практике всё бывает значительно печальнее, просто я подобрал для задачи функции «получше».
Есть более рациональный путь решения: он состоит в переходе к обратным функциям и интегрированию по оси .
Как перейти к обратным функциям? Грубо говоря, нужно выразить «икс» через «игрек». Сначала разберемся с параболой:
Этого достаточно, но убедимся, что такую же функцию можно вывести из нижней ветки:
Для самопроверки рекомендую устно или на черновике подставить координаты 2-3 точек параболы в уравнение 
, они обязательно должны удовлетворять данному уравнению.
С прямой всё проще: 
Теперь смотрим на ось : пожалуйста, периодически наклоняйте голову вправо на 90 градусов по ходу объяснений (это не прикол!). Нужная нам фигура лежит на отрезке 
, который обозначен красным пунктиром. При этом на отрезке прямая 
расположена выше параболы 
, а значит, площадь фигуры следует найти по уже знакомой вам формуле: 
. Что поменялось в формуле? Только буква, и не более того.
! Примечание: Пределы интегрирования по оси следует расставлять строго снизу вверх!
Находим площадь:
На отрезке 
, поэтому:
Обратите внимание, как я осуществил интегрирование, это самый рациональный способ, и в следующем пункте задания будет понятно – почему.
Для читателей, сомневающихся в корректности интегрирования, найду производные:
Получена исходная подынтегральная функция, значит интегрирование выполнено правильно.
Ответ: 
Итак, фигура, заштрихованная синим цветом, вращается вокруг оси . В результате получается «зависшая бабочка», которая вертится вокруг своей оси.
Для нахождения объема тела вращения будем интегрировать по оси . Сначала нужно перейти к обратным функциям. Это уже сделано и подробно расписано в предыдущем пункте.
Очевидно, что объем тела вращения, следует найти как разность объемов.
Вращаем фигуру, обведенную красным цветом, вокруг оси , в результате получается усеченный конус. Обозначим этот объем через 
.
Вращаем фигуру, обведенную зеленым цветом, вокруг оси и обозначаем через 
объем полученного тела вращения.
Объем нашей бабочки равен разности объемов 
.
Используем формулу для нахождения объема тела вращения:
В чем отличие от формулы предыдущего параграфа? Только в букве.
Ответ: 
Если эту же плоскую фигуру вращать вокруг оси 
, то получится совершенно другое тело вращения, другого, естественно, объема.
Пример 6
Дана плоская фигура, ограниченная линиями 
, 
и осью .
1) Перейти к обратным функциям и найти площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями, интегрированием по переменной 
.
2) Вычислить объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг оси .
ответ 
(тоже для любителей порешать).
Пример 7
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривыми 
и 
.
Решение: Выполним чертеж:
Попутно знакомимся с графиками некоторых других функций. Такой вот интересный график чётной функции ….
Для цели нахождения объема тела вращения достаточно использовать правую половину фигуры, которую я заштриховал синим цветом. Обе функции являются четными, их графики симметричны относительно оси , симметрична и наша фигура. Таким образом, заштрихованная правая часть, вращаясь вокруг оси , непременно совпадёт с левой нештрихованной частью.
Перейдем к обратным функциям, то есть, выразим «иксы» через «игреки»:
Пример 6: Решение:
1) Выполним чертёж:
Перейдем к обратной функции:
На отрезке 
, поэтому:
Ответ: 
2) Вычислим объем тела, образованного вращением данной фигуры, вокруг оси .
Объем тела вращения найдем как разность объемов тел вращения при помощи формулы :
Ответ: 