Лінійна залежність векторів

Дата: 2025-05-21; Просмотры: 6

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Означення. Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують такі числа , ,… , серед яких хоча б одне відмінне від нуля, що + + … + = 0. / 4/

Якщо ж рівність /4/ справджується тільки при = =…= = 0, то дана система векторів називається лінійно незалежною.

Сума + + … + називається лінійною комбінацією векторів .

Розглянемо деякі властивості лінійної залежності векторів, які будуть потрібні надалі.

Властивість 1. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один з векторів є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи.

Доведення.

1. Необхідність. Нехай система векторів лінійно залежна. Тоді існують такі числа , ,…, , що + + … + = 0 /5/

При цьому принаймні одне з чисел , ,…, не дорівнює нулю. Нехай, наприклад, 0. Тоді з рівності /5/ дістанемо:

= – – – – – .

Отже, вектор є лінійною комбінацією векторів , ,… , ,…, .

3. Достатність. Нехай у даній системі векторів вектор є лінійною комбінацією інших векторів:

= + + … + + + … + .

Цю рівність можна записати так:

+ + … + + (-1) + + … + = 0.

У цій рівності коефіцієнт біля відмінний від нуля, тому дана система векторів лінійно залежна.

Властивість 2. Якщо частина даної системи векторів лінійно залежна, то і вся система векторів лінійно залежна.

Властивість 3. Якщо система векторів лінійно незалежна, то будь-яка її частина також лінійно незалежна.

Ця властивість безпосередньо випливає із властивості 2, бо якби деяка частина даної системи векторів була лінійно залежною, то і вся система була б лінійно залежною.

Властивість 4. Система лінійно незалежних векторів не містить нульового вектора.

Якщо в деякій системі векторів є нульовий вектор: , , то

виконується рівність 1* + 0* +… + 0* =0. 1 0, тому така система є лінійно залежною, а, отже, система лінійно незалежних векторів не може містити нульового вектора.

Для системи двох і трьох векторів поняття лінійної залежності тісно пов'язане з колінеарністю і компланарністю векторів. Справедливі такі теореми.

Теорема 1. Два вектори і лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Доведення.

1. Необхідність. Нехай система векторів , лінійно залежна. Тоді за
властивістю 1 один із векторів лінійно виражається через другий: = α ,
звідки випливає, що вектори і колінеарні.

2. Достатність. Нехай вектори і колінеарні. Тоді існує таке число α, що = α . Із властивості 1 випливає, що вектори і лінійно залежні. Теорему доведено.

Теорема 2. Система трьох векторів , , лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли ці вектори компланарні.

Доведення.

1. Необхідність. Нехай система векторів , , лінійно залежна. Тоді за властивістю 1 один із векторів є лінійною комбінацією інших векторів. Нехай, наприклад, = α +β . Із означення суми векторів випливає, що вектори , α , β компланарні, а тоді і вектори , , будуть компланарними, бо || α , || β .

2. Достатність. Нехай вектори , , компланарні. Якщо || , то за попередньою теоремою вектори , лінійно залежні, а за властивістю 2 лінійно залежними будуть і вектори , , . Якщо ж не || , то за теоремою про розклад вектора за двома не колінеарними векторами = α +β . То за властивістю 1 система векторів , , лінійно залежна. Теорему доведено

4. Координати вектора

Нехай ( , , ) деякий базис простору , – довільний вектор цього простору. За теоремою про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами існують єдині числа , , такі, що

= + + .

Коефіцієнти , , розкладу вектора за базисними векторами називаються координатами вектора в даному базисі. При цьому число називається першою координатою, число – другою, а число – третьою.

Якщо вектор в даному базисі має координати , , , то скорочено це записують так: ( , , ) або .

Встановимо геометричний зміст координат вектора в даному базисі. Для цього відкладемо вектори , , і від деякої точки О простору (мал. 16): = , = , = , = .

Побудуємо паралелепіпед, ребра якого напрямлені вздовж прямих , , , а діагоналлю є відрізок OA. Тоді = + + , де = , = = , = .

Тому = ;

> 0, якщо і < 0, якщо ;

= ;

> 0, якщо і < 0, якщо .

Аналогічно, = ;

> 0, якщо і < 0, .

Отже, координата з точністю до знака дорівнює довжині відрізка виміряному в одиницях довжини . Знак же координати залежить від напрямку векторів і : > 0, якщо і < 0, якщо . Аналогічно зміст двох інших координат і .

Базисні вектори в самому базисі мають координати (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1).

Аналогічно визначаються координати вектора в просторі . Базис цього підпростору складається з двох не колінеарних векторів. Нехай система векторів , є базисом підпростору . Тоді за теоремою про розклад вектора за двома не колінеарними векторами для будь-якого вектора із підпростору існують єдині числа , такі, що = + . Коефіцієнти , цього розкладу називаються координатами вектора в базисі ( , ). Число називається першою координатою, а число – другою.

Аналогічним є і геометричний зміст координат вектора в підпросторі (мал. 17):

= + = + .

= ,

> 0, якщо і < 0, якщо ;

= ;

> 0, якщо і < 0, якщо .

Базисні вектори мають координати: (1; 0), (0; 1). Координати вектора в даному базисі повністю задають вектор.

Розглянемо властивості координат векторів.

Теорема (2-га ознака рівності векторів): для того, щоб два вектори були рівними, необхідно і достатньо, щоб були рівними їх відповідні координати.

Твердження цієї теореми очевидне, воно випливає з єдиності розкладу вектора за трьома не компланарними векторами.

Теорема: справедливі такі твердження:

1) координати суми двох векторів дорівнюють сумі відповідних координат цих векторів;

2) координати різниці двох векторів дорівнюють різниці відповідних координат цих векторів;

3) координати добутку вектора на число дорівнюють добутку відповідних координат цього вектора на дане число.

Доведення: доведемо наприклад перше твердження. Нехай у деякому базисі ( , , ), ( , , ), ( , , ). Тоді за означенням координат вектора

= + + , = + + .

Отже, + = + + + + + = ( + ) + ( + ) + ( + ) .

Звідси випливає, що координати вектора + відповідно дорівнюють + + , + , + , що й треба було довести.

Аналогічно доводяться й інші властивості.

Теорема (2-га ознака колінеарності двох векторів): для того, щоб два вектори ( , , ), ( , , ) задані в деякому базисі ( , , ), були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб їх координати були пропорційними.

Доведення: якщо = , то твердження очевидне. Припустимо, що .

1. Необхідність. Нехай || . Тоді існує таке число λ, що = λ , звідки випиває, що = λ , = λ , = λ ;

= λ.

Отже, якщо вектори колінеарні, то їх координати пропорційні.

2. Достатність. Нехай = λ, тоді = λ , = λ , = λ . Помноживши ці рівності на вектори , , відповідно, дістанемо = λ , = λ , = λ . Додавши ці рівності дістанемо + + = λ + λ + λ або + + = λ( + + ), тобто = λ || . Теорему доведено.

5. Тривимірний векторний простір і його підпростори

Побудована нами не порожня множина вільних векторів, у якій введені операції додавання векторів, множення вектора на число, що задовольняють зазначені властивості, а саме:

, : + = + ;

, , :( + ) + = + ( + );

, : + = + = ;

(- ): + (- ) = ;

: 1* = ;

α, β R, : α(β ) = (αβ) ;

α, β R, : (α + β) = α + β ;

α R, , : α( + ) = α + α – називається векторним простором. Позначимо його .

У векторних просторах розглядається поняття базису векторного простору і розмірності. Введемо означення цих понять.

Означення: базисом векторного простору називається система векторів, яка задана в певному порядку і задовольняє умови:

1) ця система векторів лінійно незалежна;

2) будь-який інший вектор із даного векторного простору є лінійною комбінацією даної системи векторів.

Інакше кажучи, базисом векторного простору називається максимальна система лінійно незалежних векторів даного векторного простору.

Означення: розмірністю векторного простору називається число векторів базису, тобто максимальна кількість лінійно незалежних векторів.

З попередніх теорем випливає, що базисом побудованого нами векторного простору є будь-яка система трьох не компланарних векторів, взятих у певному порядку. Справді, система будь-яких трьох некомланарних векторів лінійно незалежна, а за теоремою про розклад вектора за трьома не компланарними векторами будь-який вектор із даного векторного простору є лінійною комбінацією даної системи векторів.

Тому розмірність даного простору дорівнює трьом. У зв’язку з цим побудований нами векторний простір називається тривимірним векторним простором.

Означення: нехай L – непорожня множина векторів із векторного простору . Множина L називається векторним підпростором простору , якщо виконуються такі умови:

1) якщо L, L, то + L;

2) якщо L, то і α L α R.

Тобто підмножина L простору буде векторним підпростором простору , якщо вона сама є векторним простором.

6. Скалярний добуток векторів

Нехай , − ненульові вектори. Відкладемо від деякої точки O вектори = , = . Кутом між векторами і називається кут між променями OA і OB (мал. 18). Позначають: ( , ) = φ. Для будь-яких векторів і маємо 0 ≤ ( , ) ≤ π.

Означення: скалярним добутком двох векторів називається число, яке дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними: = cos( , ).

Теорема: скалярний добуток векторів ( , , ), ( , , ), заданих в ортонормованому базисі, обчислюються за формулою:

= + + . /6/

Доведення. Якщо один із векторів або обидва нульові, то формула очевидна. Припустимо, що , і розглянемо два випадки.

1. Вектори і не колінеарні. Відкладемо вектори = , = (мал. 19). Нехай ( , ) = φ.

З OAB за теоремою косинусів – 2 OAOBcosφ, або ,

звідки

= . Отже, = + + .

2. Вектори і колінеарні. Тоді = λ , = λ , = λ , = λ ;

= λ = cos(λ , ) = λ = λ( ) = λ + λ + λ = + +

Теорему доведено.

З теореми і означення випливають такі властивості скалярного добутку векторів:

1. = 0 тоді і тільки тоді, коли , якщо , .

2. = = = .

3. = .

4. (α ) = α( ), α R;

5. ( + ) = + .

Формула, аналогічна до формули /6/, має місце і в просторі . Справді, нехай в ортонормованому базисі простору задано вектори ( , ), ( , ). Тоді, користуючись властивостями 1–5, дістанемо: = ( + )( + )= + ( + ) + = + . Отже, = + /7/

З означення скалярного добутку і /6/, /7/ випливають такі формули для обчислення косинуса кута між векторами:

– у просторі :

cos( , ) = ;

– в просторі :

cos( , ) = .

Векторна алгебра може ефективно використовуватися для розв’язування задач елементарної геометрії.