Віднімання векторів

Дата: 2025-05-21; Просмотры: 3
Оценка:
0.00 из 5.00 — оценок
Скачиваний: 0

Операція віднімання векторів вводиться як протилежна до додавання. Означення. Різницею векторів і називається такий вектор , який в сумі з вектором дає вектор : - = якщо + = . /1/

Доведемо, що вектор існує і притому єдиний. Припустимо, що вектор існує. Тоді, додавши до обох частин рівності вектор (- ) і користуючись властивостями суми векторів, маємо: (- )+ + =(- )+ . /2/

Отже, якщо вектор існує, то він визначається попередньою рівністю /2/, а тому єдиний. Дійсно, підставивши /2/ в /1/, одержимо правильну рівність: + +(- )= .

Отже, вектор, який визначається формулою /2/, є різницею векторів і : - = +(- )= . За правилом трикутника + = . Звідси
= - (мал. 10).

Отже, для побудови різниці векторів і досить відкласти ці вектори від спільного початку ( = , = ) і провести вектор від кінця B вектора-від’ємника до кінця C вектора-зменшуваного; цей вектор і є шуканою різницею - : = - .

 

Множення вектора на число

Означення. Добутком вектора на дійсне число α називається вектор , який задовольняє такі умови:

1) = * ;

2) , якщо α >0, і , якщо α <0.

Такий вектор позначається = α .

Операція добутку вектора на число має такі властивості.

Властивість 1. α* =0* = для будь-якого дійсного числа α і будь-якого вектора . Ця властивість випливає з умови 1) означення.

Властивість 2. Для будь-якого вектора 1* = ; -1* =- . Ця властивість випливає безпосередньо з означення.

Властивість 3. Для будь-якого вектора і будь-яких дійсних чисел α і β: α(β )=(αβ) .

Доведення. Нехай α(β )= , (αβ) = . Доведемо, що = . Маємо:

= * = * * ,

= * = * * .

Отже, = . Покажемо, що . Якщо α і β одного знаку, то вектор однаково напрямлений з і однаково напрямлений з .Отже, . У випадку коли числа α і β протилежних знаків, , . Отже, також , що й треба було довести.

Властивість 4. Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання векторів, тобто α( + )=α +α , для , і α R.

Доведення. Нехай α > 0. Відкладемо вектори = , = , =α , =α (мал. 11). Тоді + = , α +α = . Покажемо, що =α . Оскільки вектори і α , і α відповідно однаково напрямлені, то відповідні кути A і у трикутників OAB і рівні (як кути утворені при перетині двох паралельних прямих третьою). Крім того, сторони цих трикутників, що прилягають до рівних кутів, пропорційні: . Тому OAB ~ . Звідси випливає, що OAB= , а це означає, що промені OB і збігаються, тобто . Крім того =α* = * . Тому =α* .

Аналогічно розглядається випадок, коли α <0 (мал. 12).

Випадок α = 0 тривіальний. Отже, α ( + ) = α +α .

Властивість 5. Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання чисел, тобто (α+β) =α +β , і α, β R.

Доведення. Розглянемо два можливих випадки: αβ >0 і αβ <0 (випадок αβ=0 не викликає труднощів).

1. Нехай αβ >0, тобто числа α і β одного знаку. Тоді вектори (α+β) і α +β однаково напрямлені. Крім того,

;

.

Отже, і вектори (α+β) та α +β рівні.

2. Нехай αβ <0, тобто числа α і β різних знаків. Якщо α = -β, то (α+β) =(-β+β) =0 =0; α +β = -β + β =0, отже, властивість справджується.

Якщо α -β, тоді –α, α+β або –β, α+β одного знаку. Нехай, наприклад, -α, α+β одного знаку. Тоді за доведеним (-α) + (α+β) =(-α+α+β) =β (α+β) = α +β , що і треба було довести.

2. Колінеарність векторів

Означення. Два ненульових вектори і називається колінеарними, якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні або лежать на одній прямій.

Позначення: || (мал. 13).

Очевидно, колінеарні вектори або однаково напрямлені (мал. 13а), або протилежно напрямлені (мал. 12b). Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору. Тому, якщо відомо, що деякі два вектори неколінеарні, то жоден з них не є нульовим вектором.

Теорема. (перша ознака колінеарності двох векторів). Два ненульових вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли існує деяке число α таке, що =α . /1/

Доведення.

1. Необхідність. Нехай || . Тоді або , або . Якщо , то = , оскільки ці вектори однаково напрямлені, то вони мають однакові модулі: = = . Позначивши α = , дістанемо =α . Якщо , то аналогічно доводиться, що = - . Нехай α = - , тоді також = α .

2. Достатність. Нехай виконується рівність /1/, тоді і або однаково, або протилежно напрямлені, а отже, вони колінеарні. Теорему доведено.

Зауваження 1. Якщо = 0, 0, то теорема також справджується. У цьому випадку α =0.

Зауваження 2. Оскільки для колінеарних векторів і завжди існує тільки одне число α таке, що = α , то звідси формально можна написати: α = , тобто можна розглядати відношення двох колінеарних векторів.

Відношення : двох колінеарних векторів розуміють як число, на яке треба помножити вектор , щоб дістати вектор . Отже, відношенням двох колінеарних векторів є число, яке дорівнює відношенню їх модулів, взяте зі знаком «плюс», якщо вектори і однаково напрямлені, і зі знаком «мінус», якщо вектори протилежно напрямлені.

3. Компланарність векторів

Означення. Три ненульових вектори називаються компланарними

якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні одній площині або лежать в одній площині.

Очевидно, що коли компланарні вектори , , відкласти від довільної точки O ( = , = , = ), то точки О, А, В, С лежатимуть в одній площині (мал. 14).

Отже, якщо вектори компланарні, то існують такі їх представники, які лежать в одній площині.

Очевидно, що якщо серед трьох векторів є два колінеарних, то ці вектори компанарні. І навпаки, якщо три вектори некомпланарні, то серед них немає колінеарних.

Теорема 1. (про розклад вектора за двома не колінеарними векторами). Якщо вектори , , компланарні, а вектори , неколінеарні, то існують єдині числа α, β такі, що: = α + β . /2/

Інакше кажучи, вектор можна розкласти за векторами і і до того ж єдиним способом.

Доведення. Доведемо спочатку існування чисел α і β, що задовольняють рівність /2/. Відкладемо від деякої точки O вектори = , = , = . Оскільки ці вектори компланарні, то точки О, А, В, С лежать в одній площині. Вектори і неколінеарні, тому O, A, B не лежать на одній прямій.

Можливі два випадки:

1. Точка С належить прямій ОВ (мал. 15a). Тоді вектори і колінеарні і, отже, за попередньою теоремою, = β , де β – деяке число. Отже, =0* + β , тобто має місце розклад /2/.

2. С (ОВ). Проведемо || OB (мал. 15b). Тоді за правилом трикутника = + . Але ця рівність можлива тільки тоді, коли α = , β = . Дійсно, якби, наприклад, α , то було б, || , що суперечить умові теореми. Отже, припущення неправильне. Тому існує єдиний розклад вектора за векторами і . Теорему доведено.

Теорема 2. (про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами). Якщо вектори , , некомпланарні, то для будь-якого вектора , існують і притому єдині числа α, β, γ такі, що = α +β +γ .