Додавання векторів, властивості операції додавання векторів

Дата: 2025-05-21; Просмотры: 4
Оценка:
0.00 из 5.00 — оценок
Скачиваний: 0

Введемо операцію додавання векторів, яка відіграє важливу роль в векторній алгебрі.

Означення. Нехай задано два вектори і . Від деякої точки A відкладемо вектор = , потім від точки B відкладемо вектор = . Вектор = називається сумою векторів і і позначається так: = + (мал. 5). Помітимо, що для знаходження двох неколінеарних векторів доводиться будувати трикутник. Тому вказане правило додавання векторів називають правилом трикутника. Це правило можна сформулювати так: для будь-яких трьох точок A, B і C + = , або: сумою векторів і євектор , який сполучає початок вектора з кінцем вектора при умові, що вектор відкладено від кінця вектора .

З цього правила випливає правило паралелограма: якщо вектори і відкладені від спільного початку O, = , = (мал. 6) і на них побудовано паралелограм OACB, то сумою векторів + є вектор = , який виходить з того ж початку і збігається з діагоналлю OC паралелограма.

Розглянемо властивості операції додавання векторів.

Властивість 1. Операція додавання векторів комутативна, тобто для будь-яких векторів і : + = + .

Доведення: За правилом трикутника маємо (мал. 7):

Властивість 2. Операція додавання векторів асоціативна, тобто для будь-яких векторів , , : ( + )+ = +( + )

Доведення: Візьмемо довільну точку A і від неї відкладемо вектори = , = , = (мал. 8). Тоді + = , ( + )+ = ; + = ; +( + )= . Отже, ( + )+ = +( + ).

Властивість 3. Сумою протилежних векторів є нуль-вектор: +(- )=0.

Доведення. Нехай = , тоді - = , і за правилом трикутника матимемо +(- )= + = =0.

Властивість 4. Нуль-вектор є нейтральним елементом операції додавання: + = + .

Доведення: Нехай = , = , тоді за правилом трикутника + = + = = .

З наведених властивостей додавання векторів випливає, що операція додавання векторів має ті ж властивості, що й операція додавання чисел. Тому часто при перетворенні сум векторів діємо так само, як і при перетворенні числових виразів: ( + )+ = +( + )=( + )+ = ( + ).

Сума більшої кількості векторів знаходиться за правилом многокутника. Щоб знайти суму n векторів (мал. 9), потрібно з довільної точки O відкласти вектор = , з його кінця – вектор = ,…, = (початок кожного наступного вектора-доданка є кінцем попереднього). Вектор = буде сумою даних векторів.