Алгоритм 1. Допустимые плотности силы
Шаг 0: Укажите начальный вектор плотности силы q0, чтобы получить E0 с помощью (5). Сформируйте B- и g0 при указанных линейных ограничениях. Устагновите значение i = 0.
Шаг 1: Присвойте значение 0 h* наименьшим (по абсолютному значению) собственным значениям Ei, чтобы получить Ei- с помощью (39).
Шаг 2: Находится gi+1, вычисляется qi+1 из (35) и обновляется Ei+1 с помощью (5).
Шаг 3:Если n – ранг(Ei+1) = h*, то q^ = q i+1 ипроцесс поиска завершается; в противном случае установите значение i вместо i+1 и вернитесь к Шагу 1.
В итоге на первом этапе находится допустимый вектор плотности силы q^ и соответствующая ему матрица равновесия E^, обладающая требуемым дефицитом ранга h*.
4.3.2. Определение узловых координат
Пусть H E Rdnxdn (d = 2 или 3) обозначает тензорное произведение единичной матрицы I E Rdxd и E = E-:
H = IØE- (40)
Тогда уравнения равновесия во всех направлениях (проекциях) могут быть представлены в виде:
HХ = 0 (41)
Следует отметить, что в каждом направлении можно указать h* компонент узловых координат, поскольку дефицит ранга E равен h*. Следовательно, дефицит ранга H равен dh*, то есть существует dh* независимых узловых координат. Тогда решение (41) можно записать в виде:
X = Gb (42)
где G E Rdnxdh* удовлетворяет уравнению HG = 0, а b E Rdh* - вектор коэффициентов. Если мы укажем независимый набор узловых координат X- E Rdh* и найдём соответствующие компоненты G- E Rdh*xdh* матрицы G, где ранг(G-) =dh*, то конфигурация структуры в узловых координатах X может быть определена как
X = G(G-)-1X- (43)
G- может быть получена с использованием алгоритма, представленного Zhang et al. (2006), где для последовательного поиска независимого набора узловых координат широко используется уменьшенный ряд строк G (RREF).
В качестве простого примера определения независимого набора узловых координат на основе RREF транспонированной формы GТ матрицы G рассмотрим двумерную структуру тенсегрити на рис. 2. Она состоит из n=5 узлов и m=8 элементов. Плотности сил элементов 1-4 и 5-8 зададим равными 1,0 и -0,5 соответственно для структуры в состоянии саморавновесия. Тогда матрица равновесия E с использованием (7) равна:
-4.0 -1.0 -1.0 -1.0 -1.0
-1.0 0.0 0.0 0.5 0.5 (44)
E = -1.0 0.0 0.0 0.5 0.5
-1.0 0.5 0.5 0.0 0.0
-1.0 0.5 0.5 0.0 0.0
Поскольку H определяется E из (40), достаточно исследовать только нулевое пространство G в E, которое можно записать в виде:
0.0 1.0 0.0
1.0 1.0 0.0
G = -1.0 1.0 0.0 (45)
0.0 1.0 -1.0
0.0 1.0 1.0
Из (45) можно видеть, что ранг G равен 3, следовательно, недостаток ранга h* матрицы E тоже равен 3, что удовлетворяет условию невырожденности (12) для двумерной структуры (d=2). RREF матрицы GТ равен:
1.0 0.0 2.0 0.0 2.0
RREF(GТ) = 0.0 1.0 -1.0 0.0 0.0 (46)
0.0 0.0 0.0 1.0 -1.0
Из (46) можно видеть, что столбцы, соответствующие группам узлов {1,2,4}, {1,2,5}, {1,3,4} и
{1,3,5} соответственно, являются линейно независимыми . Следовательно, в одной из этих четырёх групп можно указать координаты трёх узлов для получения новой невырожденной конфигурации.
Поскольку структура тенсегрити должна удовлетворять условиям саморавновесия, для оценки точности результатов может быть использован вектор неуравновешенных нагрузок e E Rdn, определяемый следующим образом:
e = HX (47)
Для определения ошибки расчёта используется евклидова норма e:
n = √eТe (48)
В итоге, алгоритм определения формы самонапряжённой структуры с помощью предлагаемого метода адаптивной плотности сил можно представить следующим образом: