Рис. 2. Двумерная структура тенсегрити.

Дата: 2025-04-30; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Например, равновесная матрица E двумерной (плоской) структуры тенсегрити на рис. 2, где тонкие и толстые линии обозначают соответственно тросы и распорки, может быть записана из (7) в виде:

q1+q2+q3+q4 −q1 −q2 −q3 −q4

q1 q1+q5+q7 0 q5 q7

E = q2 0 q2+q6+q8 q6 q8

−q3 q5 q6 q3+q5+q6 0

q4 q7 q8 0 q4+q7+q8

Матрица равновесия E для структур тенсегрити также является квадратной и симметричной. Определим дефицит ранга h матрицы E:

h = n – ранг(E) (9)

Тогда в уравнениях (8) и (9) существуют h их независимых компонентов x, y и z соответственно, которые могут быть заданы произвольно. Из определения матрицы E (7) легко заметить, что суммы элементов строки или столбца E всегда равны 0 для отдельно стоящей структуры тенсегрити (без фиксированных узлов), а следовательно, E всегда имеет по меньшей мере дефицит ранг h=1 для любой тенсегрити структуры. Более того, при существовании и положительных, и отрицательных значений плотностей сил (для тросов и стоек соответственно) значения h могут быть больше, если плотности сил удовлетворяют некоторым специфическим условиям.

Дж.Я. Чжан, М. Осаки / Международный журнал по твердым телам и структурам 43 (2006) 5658-56735663

2.4. Условие невырожденности структур тенсегрити

Зададим значения координат x0, y0 и z0 в виде

x0 = a0x I

y0 = a0y I (10)

z0 = a0z I

где все элементы единичного вектора I E Rⁿ равны 1, а коэффициенты a0x, a0y и a0z могут иметь произвольную величину. Поскольку для структур тенсегрити сумма элементов любой строки E всегда равна нулю, то очевидно, что x0, y0 и z0 являются решениями соответствующих трёх уравнений (8). Соответственно, уравнения (8) могут быть записаны в общей форме следующим образом:

x x0 aix 0 0 σi

y = y0 + ^h-1∑ 0 aiy 0 ∙ σi (11)

z z0 0 0 aiz σi

где σi находится в нулевом пространстве E, то есть Eσi = 0. Из (11) следуют такие свойства сохранения:

1) Если h = 1, все узлы вырождаются в один узел a0x, a0y, a0z, который здесь называется базовым узлом.

2) Если h =2, то (11) определяет линию, проходящую через базовый узел.

3) Уравнение (11) образует двумерное пространство (плоскость) в случае h = 3 и трёхмерное пространство, если h = 4. Оба из этих пространств решений содержат базовый узел.

Следовательно, в нашей задаче, которая заключается в получении невырожденной d-мерной (d = 2 или 3) структуры тенсегрити, дефицит ранга h матрицы E должен удовлетворять следующему условию:

h = h* = d + 1 (12)

Следовательно, проблема нахождения допустимой формы для структуры тенсегрити сводится к проблеме отыскания набора плотностей сил, удовлетворяющих условию h = h*. Вассарт и Мотро (1999) предложили три практических метода нахождения возможного набора плотностей силы для достижения требуемого ранга E: 1) интуитивный, 2) итеративный и 3) аналитический. Интуитивный метод подходит для структур только с небольшим числом членов. Итеративный метод, видимо, основан на опыте проб и ошибок, когда требуемый недостаток ранга находится точным итеративным поиском набора плотностей силы, который даёт требуемый недостаток (однако детали этого метода не были представлены). Аналитический метод считается наиболее эффективным среди этих методов: здесь матрица равновесия E анализируется на основе метода исключения Гаусса в символической форме для нахождения соотношения плотностей сил, удовлетворяющих условию невырожденности (12).

3. Жёсткость структур тенсегрити

В этом разделе описывается матрица касательной жесткости общей предварительно-напряженной конструкции со штифтовым соединением (шарнирно-сочленённой). Покажем, что матрица равновесия E соответствует матрице геометрической жёсткости в общей формулировке по методу конечных элементов.

Обозначим как ek и Ak модуль Юнга и площадь поперечного сечения элемента k, lk и lk0 – длину элемента k в предварительно напряжённом и начальном ненапряженном состояниях соответственно. Будем полагать, что стойки и тросы состоят из линейно эластичных материалов, тогда плотность силы qk может быть записана в виде:

qk = 1/lk*(ekAk(lk – lk0)/lk0 = ekAk(1/lk0 – 1/lk) (13)

Обозначим L0, L и K диагональные матрицы, диагональными элементами которых являются соответственно lk0, lk и ekAk. Матрицу K можно считать постоянной, поскольку элементы предполагаются линейно упругими, так что ek постоянны, а изменениями площадей поперечного сечения элементов Ak можно пренебречь, пока деформации очень малы. Тогда матрица плотностей сил Q запишется в виде:

Q = K(L0^-1 – L^-1) (14)

Эквивалентные векторы узловых нагрузок в направлениях x, y и z, которые совместимы с деформацией структуры, обозначим как f_x, f_y и f_z соответственно. Тогда уравнения равновесия запишутся в виде:

f_x = Ех + E^fx^f

f_y = Ey + E^fy^f (15)

f_z = Ez + E^fz^f

Найдём частные производные по координате x уравнений (15):

∂f_x/∂x = (x∂E/∂x1 + x^f∂E^f/∂x1, x∂E/∂x2 + x^f∂E^f/∂x2, …, x∂E/∂x_n + x^f∂E^f/∂x_n) + E

∂f_y/∂x = (y∂E/∂x1 + y^f∂E^f/∂x1, y∂E/∂x2 + y^f∂E^f/∂x2, …, y∂E/∂x_n + y^f∂E^f/∂x_n) (16)

∂f_z/∂x = (zE/∂x1 + z^f∂E^f/∂x1, z∂E/∂x2 + z^f∂E^f/∂x2, …, z∂E/∂x_n + z^f∂E^f/∂x_n)

где xi обозначает координату x свободного узла i. Учитывая определения E = C^тQC и E^f = C^тQC^f в (5), где C и C^f постоянны,

∂E/∂xi = C^т∂Q/∂xi C (17)

∂E^f/∂xi = C^т∂Q/∂xi C^f

Поскольку L0 в (14) является постоянной, то

∂Q/∂xi = K(L^-1)²∂L/∂xi (18)

также постоянна. Обозначим как U, V и W диагональные матрицы разниц координат элемента k в направлениях x, y и z соответственно:

U = diag(Cx + C^fx^f)

V = diag(Cy + С^fy^f) (19)

W = diag(Cz + C^fz^f)

L в предварительно напряжённом состоянии удовлетворяет квадратичному соотношению:

L² = U² + V² + W² (20)

Частное дифференцирование формулы (20) по xi приводит к выражению:

∂L/∂xi = L^-1(U*∂U/∂xi + V*∂V/∂xi + W*∂W/∂xi) (21)

Из (19) имеем

∂U/∂xi = diag(Ci)

∂V/∂xi = 0 (22)

∂W/∂xi = 0

где Ci - i-й столбец C. Тогда из уравнений (17)–(19), (21) и (22) получим:

x∂E/∂xi + x^f∂E^f/∂xi = C^тK(L^-1)³Udiag(Ci)(Cx+C^fx^f) = C^тK(L^-1)³Udiag(Cx+C^fx^f)Ci = C^тK(L^-1)³U²Ci (23)

Обозначая в (23) D_x = C^тUL^-1, уравнения (16) можно записать в виде:

∂f_x/∂x = C^тK(L^-1)³U²C + E = D_xKL^-1D_x^т + E (24)

∂f_y/∂x = D_yKL^-1D_x^т (25)

of_z/∂x = D_zKL^-1D_x^т (26)

где D_y = C^тVL^-1 и D_z = C^тWL^-1.

Матрица касательной жёсткости K E R^3nx3n конструкции определяется частным дифференцированием эквивалентного вектора узловых нагрузок F = (f_x; f_y; f_z)^т E R³ⁿ по вектору узловых координат X = (х; y; z)^т E R³ⁿ , что можно записать в виде матрицы тензора:

∂f_x/∂x ∂f_x/∂y ∂f_x/∂z

K = ∂F/∂X = ∂f_y/∂x ∂f_y/∂y ∂f_y/∂z (27)

∂f_z/∂x ∂f_z/∂y ∂f_z/∂z

Обозначим I E R^3x3 единичную матрицу и D =(D_x, D_y, D_z). Из уравнений (24)–(26) и аналогичного уравнения для частного дифференцирования по y и z следует, что K можно записать в виде:

K = K^E + K^G, (28)

K^E = DKL^-1D^Т,

K^G = IØE, (29)

где K^E - матрица линейной жёсткости, а K^G - матрица геометрической жёсткости, соответствующая состоянию предварительного напряжения, где напряжённое состояние равновесия рассматривается как эталонное состояние, Ø – тензорное произведение Кронекера. Легко заметить, что K, K^E и K^G являются симметричными, потому что K, L^-1 и E симметричны. Матрица линейной жёсткости не зависит от начальных длин элементов l_k0, но зависит от текущих длин lk после деформации под действием предварительного напряжения. В случае, если структура не имеет предварительного напряжения, геометрическая матрица жёсткости исчезает, и мы будем иметь lk = lk0, поскольку предварительное напряжение не вводится и ни в одном элементе конструкции нет деформации.

Матрица касательной жёсткости, представленная выше, может быть использована для любой конструкции со штифтовым соединением, включая предварительно напряжённые структуры.

При анализе структур тенсегрити (без фиксированных узлов) должны быть соответствующим образом учтены движения твёрдого тела. Окончательная форма матрицы касательной жёсткости, полученнаявыше , эквивалентна записанным Гостем (2006), Масичем и др. (2005) и Мураками (2001).

Такова основная идея метода адаптивной плотности силы, представленного в следующем разделе, который устанавливает для отрицательных собственных значений матрицы равновесия E значение 0 для удовлетворения требования дефицита ранга. Если все собственные значения матрицы геометрической жёсткости неотрицательны, это может привести к сверхустойчивости, описанной Коннелли (1999), что, несомненно, увеличит возможности достижения сверхустойчивой структуры.

4. Метод адаптивной плотности сил

Аналитический подход, представленный Вассаром и Мотро (1999), может быть недостаточно эффективным для структур с достаточно большим количеством элементов, поскольку здесь плотности сил анализируются в символической форме. Это побуждает нас предложить новый численный метод для отслеживания требуемого дефицита ранга матрицы равновесия E с меньшими усилиями. Предлагаемый метод называется адаптивным методом плотности силы, поскольку 1) он является расширением базовой формулировки и первоначальной идеи метода плотности сил, предложенного для поиска форм кабельных сетей, и 2) метод основан на анализе собственных значений E и может автоматически регулировать значения плотностей силы, чтобы удовлетворить требованию дефицита ранга .

4.1. Формирование вектора плотностей сил

Пусть I обозначает множество элементов, подсоединённых к узлу i. Как следует из определения матрицы равновесия E (7), её i-й столбец Ei в E может быть записан в терминах вектора плотности сил q спомощью матрицы Bi E R^nxm в виде:

Biq = Ei (30)

где (j,k)-компонент Bi;j,k (k = 1,2,...,m)матрицы Bi определяется как

1, если i = j в элементе k

Bi;j,k = -1, если узлы i и j не подсоединены к элементу k (31)

0 в других случаях

Например, для структуры тенсегрити на рис. 2 матрица B1 равна:

1 1 1 1 0 0 0 0

-1 0 0 0 0 0 0 0

B = 0 -1 0 0 0 0 0 0

0 0 -1 0 0 0 0 0

0 0 0 -1 0 0 0 0

Обозначая B^Т =[B₁^Т; ...; B_i^Т; ...; B_n^Т]и g^Т =[E1^Т ; ...; Ei^Т ; ...; E_n^Т], для поиска q имеем следующую систему:

Bq = g (32)

Из определения матрицы B следует, что во всех её строках разные k-е компоненты (k=1,2,...,m) равны 1, а остальные равны нулю. Поэтому ранг B равен m, т.е. она имеет полный ранг.

На некоторые удельные плотности сил можно задать линейные ограничения в виде связи между двумя значениями или прямым присвоением значений, чтоможет быть сформулировано с использованием постоянной матрицы B_e и вектора g_e:

B_eq = g_e (33)

Обозначим B = [B^Т; B_e^Т ] и g =[g^Т; g_e^Т ], тогда можно объединить уравнения (32) и (33):

B_eq = g (34)

где B – постоянная полноранговая матрица. Тогда решение по методу наименьших квадратов системы (34) будет равно (Borse,1997):

q = B^-1g (35)

где B^-1 – матрица, обратная обобщённой матрица B.

4.2. Анализ собственных значений и спектральное разложение матрицы равновесия

Симметричную матрицу E E R^nxn можно записать, применяя спектральное разложение:

E = ФΛФ^Т (36)

где диагональные элементы {λ1, λ2,..., λn} диагональной матрицы Λ представляют собой собственные значения матрицы Е, расположенные в порядке возрастания:

λ1 ≤ λ2 ≤...λn (37)

Ясно, что число ненулевых собственных значений E равно её рангу. В матрице Ф i-е столбцы Фi являются собственными векторами, соответствующими собственным значениям λi. Пусть r обозначает число неположительных (отрицательных или нулевых) собственных значений матрицы E, тогда возможны следующие два случая:

Случай 1: r ≤ h*

Случай 2: r > h*

В случае 1 можно просто присвоить значение 0 первым h* собственным значениям E:

ki = 0, i = 1 ;2 ;... ;h* (38)

Тогда преобразованная матрица равновесия E^- выражается через матрицу Λ^- с модифицированными собственными значениями:

E^- = ФΛ^-Ф^Т (39)

В этом случае матрица равновесия Е^- имеет требуемый дефицит ранга h* при отсутствии отрицательных собственных значений.

Однако, в случае 2 (r >h*) недостаток ранга будет больше, чем требуется, если выполняется та же операция, что и в случае 1. Для этого случая существует несколько альтернативных вариантов, например, можно (a) присвоить положительные значения некоторым отрицательным собственным значениям; или (b) задать в процессе поиска формы более, чем h* независимых координат,

как будет показано в следующем разделе. Поскольку произвольно выбранные начальные плотности сил обычно приводят к r ≤ h*, в этом исследовании мы будем рассматривать только случай 1.

Вместо присвоения значение 0 h* минимальным собственным значениям E можно присвоить значение 0 её собственным значениям, малым по абсолютной величине. В некоторых случаях последняя стратегия более выгодна при поиске новых самонапряжённых форм, как будет показано в последнем примере раздела 5.

4.3. Процесс поиска формы

Здесь впервые представлен метод адаптивной плотности сил для получения допустимого набора плотностей сил путём анализа и переноса собственных значений матрицы равновесия E с присвоением значения 0 её h* наименьшим собственным значениям, чтобы получить преобразованную матрицу равновесия E^- из соотношения (39).Затем на её основе независимо определяется набор узловых координат, соответствующий (новой) невырожденной геометрической форме самонапряжённой структуры.

4.3.1. Возможные плотности силы

Из уравнений (38) и (39) легко получить преобразованную матрицу равновесия E^-, имеющую требуемый дефицит ранга. Затем из (35) определяется новый набор плотностей сил с обновленным значением E (= E^-). Окончательный возможный набор плотностей сил может быть получен в итерационном процессе, потому что (35) даёт лишь приближённое решение q.

Пусть q₀ обозначает приемлемый вектор плотности сил, обеспечивающий требуемый дефицит ранга E. Тогда алгоритм поиска плотности сил можно представить следующим образом (индекс указывает номер итерации):