Рисунок 4.12. Ошибки при использовании ограничений на положение центра масс структуры тенсегрити при отслеживании траектории узла 4 .
4.5. Точность 33
10-18 Ошибка ограничения 10-17 Ошибка ограничения
7 1.4
c1 c1
6 c2 1.2 c2
с3 с3
5 1
4 0.8
3 0.6
2 0.4
1 0.2
0 0
0 50 100 150 200 250 0 50 100 150 200 250
Шаг Шаг
a. Результаты с радиусом траектории 0,035 м b. Результаты с радиусом траектории 0,05 м
Рисунок 4.13. Ошибки при использовании ограничений на положение центра масс структуры тенсегрити при отслеживании траектории узла 5 .
10-18 Ошибка ограничения 10-6 Ошибка ограничения
3.5 5
c1 c1
4.5
3 c2 c2
с3 4 с3
2.5 3.5
2 3
2.5
1.5 2
1 1.5
1
0.5
0.5
0 0
0 50 100 150 200 250 0 50 100 150 200 250
Шаг Шаг
a. Результаты с радиусом траектории 0,035 м b. Результаты с радиусом траектории 0,05 м
Рисунок 4.14. Ошибки при использовании ограничений на положение центра масс структуры тенсегрити при отслеживании траектории узла 6 .
5. Обсуждение полученных результатов
В этой главе кратко описана каждая область процесса проверки наряду с представлением и обсуждением полученных результатов. Кроме того, ограничениями метода, подробно описанного в главе 3, являются обсуждаемый и оспариваемый.
5.1. Функциональная Часть I.
Цель раздела 4.2 цель состояла в том, чтобы показать функциональность расширенного планировщика в практических приложениях. В качестве примера использовалась установка ограничений на допустимые изменения сил в тросах Ограничения были также основаны на ограничениях привода, полученных в Приложении B. Для выбранной траектории 4.2 видно, что на ограничения влияет только на один из девяти тросов, поскольку этот конкретный трос растянут сильнее всего и является единственным, который принуждает превысить максимальное значение изменений усилия. Это подтверждается, если посмотреть на множитель Лагранжа значения по всей последовательности на рисунке 4.3c. Проводится интересное сравнение между использование ограничений и отсутствие ограничений на рисунках 4.3a-4.3b. Последнее показывает изменения силы для пробега без ограничений. Из графика хорошо видно, что трос 7 будет иметь превышение ограничений на изменение силы. Также можно видеть, что активация ограничений на этот кабель отводит кабель 9 в сторону от приближения к максимальному изменению усилия. Эти результаты дают нам уверенность в планировании последовательности равновесных конфигураций при соблюдении пример приводит в действие ограничения, применяя ограничения неравенства.
5.2. Функциональная Часть II
Цель раздела 4.3 состояла в том, чтобы показать практическую функциональность, отличную от этой de-изображено в разделе 4.2. Это было сделано путем установки ограничений на центр масс структуры тенсегрити, которые требовали её удержания в пределах опорного основания (эти ограничения визуализированы на рисунке 4.4). Удержание центра масс в пределах основания опоры является критическим, поскольку играет важную роль в поддержании устойчивости при создании последовательности равновесных конфигураций.
Выбранную траекторию можно наблюдать на рисунке 4.5. На рисунке 4.6а видно, что два ограничения (c1 и c3) были активированы в разное время. Интересно сравнить их применение с отслеживанием одной траектории без каких-либо ограничений. На рисунке 4.6b ясно видно, что центр масс находится за пределами площади опоры, что на самом деле привело бы к неустойчивости структуры. Здесь же показано, что активация сразу двух ограничений в виде неравенств в отношении центра масс действительно может помочь в обеспечении устойчивости структуры тенсегрити (см. значения множителя Лагранжа по всей последовательности на рис. 4.6c). Эти результаты показывают, что применение ограничений может способствовать поддержанию устойчивости. Это также даёт нам уверенность в возможности использовании расширенного планировщика для практического применения в тенсегрити-роботах.
5.3. Эффективность и надежность
В разделе 4.4 была подтверждена эффективность и надежность расширенного планировщика. Эффективный-эффективность была количественно оценена в терминах вычислительного времени, которое затем было измерено с ограничениями и без ограничений (это было сделано с соблюдением условий как из разделов 4.2, так и из 4.3). Результаты показали, что вычислительные затраты на использование ограничений были намного больше, чем у нас-обрабатываю их. Для условий, изложенных в разделе 4.2, вычислительные затраты составили приблизительно в 100 раз больше при применении ограничений. Что касается условий, изложенных в разделе 4.3, то затраты были примерно в 60 раз выше при введении ограничений. Некоторые из этих различий могут это может быть связано с реализацией кода, и время может быть сокращено путем рефакторинга кода.
Однако эти результаты подтверждают, что при введении ограничений есть существенное отличие в вычислительном времени. В определенной степени это было ожидаемо, поскольку метод SQP является итеративной процедурой оптимизации.
Устойчивость метода к небольшим изменениям параметров была подтверждена путём варьирования параметров ns, τ и im - они были увеличены и уменьшены на 2% соответственно. Огонь-результаты показывают, что метод достаточно надежен для обработки изменений входных параметров. Это ап-груши, которые уменьшают параметры, приводят к росту ошибки ограничения, тогда как увеличение в параметрах уменьшает погрешность. Это может быть объяснено несколькими факторами.
Во-первых, если максимальный количество итераций и критерии завершения ошибки ограничения увеличиваются, это приведет к больше итераций наряду с более строгими критериями точности. Это приводит к меньшей ошибке ограничения. Уменьшение этих параметров будет иметь противоположный эффект или приведет к снижению точности.
Во-вторых, FBRP использует приближение первого порядка в (2.9), что означает, что меньшие шаги, в результате повышается точность, т.е. аппроксимация становится более точной. Увеличение параметра ns означает увеличение количества шагов для траектории, что приведет к тому, что каждый шаг становится меньше.
5.4. Точность
Цель раздела 4.5 состояла в том, чтобы продемонстрировать точность метода. Это было сделано при отслеживании двух разных траекторий для узлов 4, 5 и 6. Ограничения были наложены на центр масс и точность конструкции были количественно определены в терминах ошибки ограничения. При этом ожидалось, что последовательно будут получены значения, меньшие, чем установленные критерии завершения SQP τ = 5 ·−510. На рисунках 4.12 - 4.14 можно заметить, что действительно для всех различных траекторий ошибка меньше установленного допуска. Основываясь на этих результатах, мы можем быть уверены в эффективности метода. точность. Можно отметить, что для траектории с r = 0,05м в узле 6 (рис. 4.14б) ошибка больше по сравнению с другими случаями - это можно объяснить тем фактом, что данная траектория по сравнению с другими вызывает наибольшую нагрузку на ограничения, что связано с суммой смещения массы над пропастью основания опоры. Возможно, более крупная траектория привела бы к пределу использования метода и в конечном итоге к сбою, однако это указывало бы на неосуществимую и непрактичную траекторию в рамках текущего набора ограничений.
5.5. Ограничения метода
5.5.1. Стабильность
Ограничение предлагаемого метода заключается в том, что в результате желаемого изменения переменных состояния может получается конфигурация, которая не лежит на равновесном многообразии - это происходит, когда предписанная траектория неосуществима. Это явление может быть преодолено с помощью адаптивных траекторий при их коррекции, т.е. при динамической корректировке траектории, чтобы избежать конфигураций, которые приводят к неустойчивым структурам тенсегрити. Другим ограничением методов плотности сил в целом является то, что результат может быть трудно предсказуем при предписанном наборе плотностей сил, поскольку их величины не обязательно (не всегда) интуитивно понятны [20, 40, 53].
5.5.2. Эффективность
Если управляемая структура тенсегрити имеет много элементов, то процесс поиска решение становится очень сложным. Это не оказывает серьезного влияния на базовый план всего тела тем точнее, чем это эффективно с точки зрения вычислений. Однако это проблема для метода SQP, а именно, из-за дорогостоящей в вычислительном отношении матрицы градиента ограничений. В этом коде имплементируются- внедрение расширения SQP может увеличить вычислительное время в сто раз. Однако, FBRP предполагает квазистатический процесс, поэтому большие затраты времени на вычисления здесь – не серьёзная проблема.
5.5.3. Эффект Маратоса
Известное ограничивающее поведение метода SQP часто называют эффектом Маратоса [36]. Это поведение характеризуется тем, что метод SQP неоднократно отклоняет шаги, которые могли бы значительный прогресс на пути к решению. Это происходит из-за кривизны кон-деформации недостаточно представлены при линеаризации в модели SQP. Этот фе-номенклатура рассматривается в разделе 3.2.1 с помощью метода коррекции второго порядка, применяемого в виде метода линейного поиска.
5.5.4. Требование к рангу градиента
Другим известным ограничением методов SQP является условие градиента ограничения полного ранга матрицы. Однако, то подробно рассматривается в разделе 3.3.5 (путём добавления и удаления ограничений из подзадачи QP).
6. Заключение
Цель исследований при написании этой диссертации состояла в том, чтобы усовершенствовать метод Полного Эталонного Плана для приближения к управляемому движению всего тела роботов-тенсегрити. Это усовершенствование состояло в том , чтобы внедрить надёжный способ учёта ограничений в виде неравенств внутри планировщика, т. е. для вычисления равновесной конфигурации, удовлетворяющей определённым ограничениям разного вида (раньше в поиск можно было включать только ограничения в виде равенств). Расширение и улучшение метода было реализовано путём последовательной оптимизации квадратичного программирования для каждого шага de-хвостатый в главе 3.
6.1. Выводы о достоверности
Этот подход был проверен с использованием численной реализации, подробно описанной в главе 4. В целях наглядности проверка была применена к простейшей форме тенсегрити (3-призме). Проверка состояла из двух различных практических приложений: эффективности, теста на работоспособность и, наконец, подтверждение точности.
Первым практическим применением было применение ограничений неравенства к максимальному допускается изменение усилия в тросовых элементах робота tensegrity. Это должно было представлять собой сценарий, в котором можно было бы учитывать ограничения привода при управлении тенсегрити-роботом.
Второе практическое применение заключалось в ограничении центра масс тенсега-структура rity в пределах своей базы поддержки. Это было сделано для иллюстрации сценария, в котором необходимо было бы обеспечить устойчивость такой структуры.
Обе эти проверки привели к результатам, которые подтверждают возможность применение этого метода на практике. Эффективность метода оценивалась также путем измерения вычислительного времени управляемого метода FBRP с ограничениями в виде неравенств и без них. В нынешнем виде метода SQP это привело к существенному увеличению вычислительного времени, что было ожидаемо из-за итерационного характера метода и текущая неоптимизированная реализация кода.
Устойчивость метода к изменениям параметров была проверена путем выполнения предыдущих тестов с различными входными параметрами. Этот метод оказался успешным в обеспечении соблюдения неравноправных- ограничения ity с различными входными параметрами. Тем не менее, были некоторые заметные, но бывшие- очевидные изменения в точности. Наконец, точность метода была количественно оценена в терминах ошибки ограничения.Различные узловые траектории отслеживались при наложении ограничений на структуру тенсегрити центр масс. Для всех рассматриваемых траекторий ошибки ограничения находились в пределах заданных, что подтверждает точность подхода.
6.2. Общие выводы
В соответствии с поставленной целью этого тезиса у нас теперь есть средства применения планировщика ссылок всего тела для управления узлом тенсегрити при одновременном применении ограничений в виде неравенств. Хотя предлагаемый метод имеет некоторые ограничения, такие, как вычислительная эффективность, он приводит нас на шаг ближе к управлению движениями всего тела роботов тенсегрити на практике.
Библиография
[1] JB Aldrich, RE Skelton, and K Kreutz-Delgado. Control synthesis for a class of light and
agile robotic tensegrity structures. In American Control Conference, 2003. Proceedings
of the 2003, volume 6, pages 5245–5251. IEEE, 2003.
[2] BenFrantzDale. An svg of a physically possible tensegrity structure in 3d, with a
shadow., 2008. URL https://commons.wikimedia.org/wiki/File:3-tensegrity.
svg. Under Creative Commons Attribution 3.0.
[3] Thomas Bliss, Tetsuya Iwasaki, and Hilary Bart-Smith. Central pattern generator con-
trol of a tensegrity swimmer. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 18(2):586–597,
2013.
[4] Valter Böhm and Klaus Zimmermann. Vibration-driven mobile robots based on single
actuated tensegrity structures. In Robotics and Automation (ICRA), 2013 IEEE Interna-
tional Conference on, pages 5475–5480. IEEE, 2013.
[5] Bob Burkhardt. Tensegrity icosahedron, 1994. URL https://commons.wikimedia.
org/wiki/File:Tensegrity_Icosahedron.png. Under Creative Commons Attribu-
tion 2.5.
[6] Bob Burkhardt. Tensegrity tetrahedron, 2004. URL https://commons.wikimedia.
org/wiki/File:Tensegrity_Tetrahedron.png. Under Creative Commons Attribu-
tion 3.0.
[7] Ken Caluwaerts, Jérémie Despraz, Atıl I¸sçen, Andrew P Sabelhaus, Jonathan Bruce,
Benjamin Schrauwen, and Vytas SunSpiral. Design and control of compliant tenseg-
rity robots through simulation and hardware validation. Journal of The Royal Society
Interface, 11(98):20140520, 2014.
[8] Antonello Cherubini, Giacomo Moretti, Rocco Vertechy, and Marco Fontana. Experi-
mental characterization of thermally-activated artificial muscles based on coiled ny-
lon fishing lines. AIP Advances, 5(6):067158, 2015.
[9] Ching-Ping Chou and Blake Hannaford. Measurement and modeling of mckibben
pneumatic artificial muscles. IEEE Transactions on robotics and automation, 12(1):
90–102, 1996.
[10] Steve Collis. Brisbane, 2011. URL https://upload.wikimedia.org/wikipedia/
commons/d/dd/Brisbane_%286868660143%29.jpg. Under Creative Commons Attri-
bution 2.0.
[11] Geoffrey HG Dyson, BD Woods, and PR Travers. The mechanics of athletics. Holmes &
Meier Publishers, 1986.
[12] G Gomez Estrada, H-J Bungartz, and Camilla Mohrdieck. Numerical form-finding of
tensegrity structures. International Journal of Solids and Structures, 43(22-23):6855–
6868, 2006.
[13] Jeffrey Friesen, Alexandra Pogue, Thomas Bewley, Mauricio de Oliveira, Robert Skel-
ton, and Vytas Sunspiral. Ductt: A tensegrity robot for exploring duct systems. In 2014
IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA), pages 4222–4228.
IEEE, 2014.
[14] Jeffrey M Friesen, Paul Glick, Michael Fanton, Pavlo Manovi, Alexander Xydes, Thomas
Bewley, and Vytas Sunspiral. The second generation prototype of a duct climbing
tensegrity robot, ducttv2. In 2016 IEEE International Conference on Robotics and Au-
tomation (ICRA), pages 2123–2128. IEEE, 2016.
[15] R Buckminster Fuller. Synergetics. Pacific Tape Library, 1975.
[16] Philip E Gill and Walter Murray. Numerically stable methods for quadratic program-
ming. Mathematical programming, 14(1):349–372, 1978.
[17] Philip E Gill and Elizabeth Wong. Sequential quadratic programming methods. In
Mixed integer nonlinear programming, pages 147–224. Springer, 2012.
[18] Donald Goldfarb and Ashok Idnani. A numerically stable dual method for solving
strictly convex quadratic programs. Mathematical programming, 27(1):1–33, 1983.
[19] Gregor Gregorcic. The singular value decomposition and the pseudoinverse. matrix,
2(1):2, 2001.
[20] RB Haber and JF Abel. Initial equilibrium solution methods for cable reinforced mem-
branes part i—formulations. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineer-
ing, 30(3):263–284, 1982.
[21] Carter S Haines, Márcio D Lima, Na Li, Geoffrey M Spinks, Javad Foroughi, John DW
Madden, Shi Hyeong Kim, Shaoli Fang, Mônica Jung de Andrade, Fatma Göktepe, et al.
Artificial muscles from fishing line and sewing thread. science, 343(6173):868–872,
2014.
[22] Shinichi Hirai, Yuusuke Koizumi, Mizuho Shibata, Minghui Wang, and Li Bin. Active
shaping of a tensegrity robot via pre-pressure. In 2013 IEEE/ASME International Con-
ference on Advanced Intelligent Mechatronics, pages 19–25. IEEE, 2013.
[23] Cheng-yu Hong, Alice Agogino, and Edward A Lee. Viability of tensegrity robots in
space exploration. 2014.
[24] Donald E Ingber. Tensegrity: the architectural basis of cellular mechanotransduction.
Annual review of physiology, 59(1):575–599, 1997.
[25] Atil Iscen, Adrian Agogino, Vytas SunSpiral, and Kagan Tumer. Controlling tensegrity
robots through evolution. In Proceedings of the 15th annual conference on Genetic and
evolutionary computation, pages 1293–1300. ACM, 2013.
[26] Atil Iscen, Adrian Agogino, Vytas SunSpiral, and Kagan Tumer. Robust distributed con-
trol of rolling tensegrity robot. In The Autonomous Robots and Multirobot Systems
(ARMS) Workshop at AAMAS, volume 2013, 2013.
[27] M James. The generalised inverse. The Mathematical Gazette, 62(420):109–114, 1978.
[28] Mark Khazanov, Ben Humphreys, William Keat, and John Rieffel. Exploiting dynamical
complexity in a physical tensegrity robot to achieve locomotion. Advances in Artificial
Life, ECAL, 12:965–972, 2013.
[29] Mark Khazanov, Jules Jocque, and John Rieffel. Evolution of locomotion on a physical
tensegrity robot. In ALIFE 14: The Fourteenth Conference on the Synthesis and Simu-
lation of Living Systems, pages 232–238, 2014.
[30] Kyunam Kim, Adrian K Agogino, Deaho Moon, Laqshya Taneja, Aliakbar Toghyan,
Borna Dehghani, Vytas SunSpiral, and Alice M Agogino. Rapid prototyping design and
control of tensegrity soft robot for locomotion. In Robotics and Biomimetics (ROBIO),
2014 IEEE International Conference on, pages 7–14. IEEE, 2014.
[31] Sangbae Kim, Cecilia Laschi, and Barry Trimmer. Soft robotics: a bioinspired evolu-
tion in robotics. Trends in biotechnology, 31(5):287–294, 2013.
[32] Yuusuke Koizumi, Mizuho Shibata, and Shinichi Hirai. Rolling tensegrity driven by
pneumatic soft actuators. In Robotics and Automation (ICRA), 2012 IEEE International
Conference on, pages 1988–1993. IEEE, 2012.
[33] Harold W Kuhn and Albert W Tucker. Nonlinear programming. In Traces and emer-
gence of nonlinear programming, pages 247–258. Springer, 2014.
[34] Arthur D Kuo. An optimal control model for analyzing human postural balance. IEEE
transactions on biomedical engineering, 42(1):87–101, 1995.
[35] John DW Madden, Nathan A Vandesteeg, Patrick A Anquetil, Peter GA Madden, Arash
Takshi, Rachel Z Pytel, Serge R Lafontaine, Paul A Wieringa, and Ian W Hunter. Ar-
tificial muscle technology: physical principles and naval prospects. IEEE Journal of
oceanic engineering, 29(3):706–728, 2004.
[36] Nicholas Maratos. Exact penalty function algorithms for finite dimensional and con-
trol optimization problems. 1978.
[37] Milenko Masic and Robert E Skelton. Open-loop control of class-2 tensegrity towers.
In Smart Structures and Materials, pages 298–308. International Society for Optics and
Photonics, 2004.
[38] MATLAB. version 9.3.0 (R2017b). The MathWorks Inc., Natick, Massachusetts, 2017.
[39] Jorge Nocedal and Stephen J Wright. Sequential quadratic programming. Numerical
optimization, pages 529–562, 2006.
[40] Thouraya Nouri-Baranger. Computational methods for tension-loaded structures.
Archives of computational methods in Engineering, 11(2):143, 2004.
[41] Kazuhiro Otsuka and Clarence Marvin Wayman. Shape memory materials. Cambridge
university press, 1999.
[42] Liviu Panait. Theoretical convergence guarantees for cooperative coevolutionary al-
gorithms. Evolutionary computation, 18(4):581–615, 2010.
[43] Aftab Patla, James Frank, and David Winter. Assessment of balance control in the
elderly: major issues. Physiotherapy Canada, 42(2):89–97, 1990.
[44] Jean-Paul Pinaud, Soren Solari, and Robert E Skelton. Deployment of a class 2 tenseg-
rity boom. In Smart Structures and Materials 2004: Smart Structures and Integrated
Systems, volume 5390, pages 155–163. International Society for Optics and Photonics,
2004.
[45] Josep M Porta and Sergi Hernández-Juan. Path planning for active tensegrity struc-
tures. International Journal of Solids and Structures, 78:47–56, 2016.
[46] Michael JD Powell. A fast algorithm for nonlinearly constrained optimization calcula-
tions. In Numerical analysis, pages 144–157. Springer, 1978.
[47] Andrew P Sabelhaus, Jonathan Bruce, Ken Caluwaerts, Yangxin Chen, Dizhou Lu, Yue-
jia Liu, Adrian K Agogino, Vytas SunSpiral, and Alice M Agogino. Hardware design and
testing of superball, a modular tensegrity robot. 2014.
[48] Andrew P Sabelhaus, Jonathan Bruce, Ken Caluwaerts, Pavlo Manovi, Roya Fallah
Firoozi, Sarah Dobi, Alice M Agogino, and Vytas SunSpiral. System design and lo-
comotion of superball, an untethered tensegrity robot. In 2015 IEEE International
Conference on Robotics and Automation (ICRA), pages 2867–2873. IEEE, 2015.
[49] Claudia Schmid and Lorenz T Biegler. Quadratic programming methods for reduced
hessian sqp. Computers & chemical engineering, 18(9):817–832, 1994.
[50] Mizuho Shibata, Fumio Saijyo, and Shinichi Hirai. Crawling by body deformation of
tensegrity structure robots. In Robotics and Automation, 2009. ICRA’09. IEEE Interna-
tional Conference on, pages 4375–4380. IEEE, 2009.
[51] Kenneth Snelson. Snelson on the tensegrity invention. International Journal of Space
Structures, 11(1-2):43–48, 1996.
[52] Cornel Sultan, Martin Corless, and Robert E Skelton. Tensegrity flight simulator. Jour-
nal of Guidance, Control, and Dynamics, 23(6):1055–1064, 2000.