Гипотеза. Жесткость и бесконечно малая ж ё сткость эквивалентны для многоугольников тенсегрити с о стержнями в качестве р ё бер многоугольника.
7. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СТРУКТУРЫ ТЕНСЕГРИТИ .
Интерес к тенсегрити-каркасам на плоскости и, в частности, к тенсегрити-многоугольникам отчасти связан с бесконечно малой жесткостью некоторых тенсегрити-каркасов в R®, возникающих из выпуклых многогранников. Как предполагал Грюнбаум [9, с. 2.12] и подтверждено Уайтли [15, следствие 3.5 и следствие 3.6] и Коннелли [5, теорема 5.1], выпуклый многогранник с гранями, являющимися бесконечно малыми жесткими многоугольниками тенсегрити, образует в пространстве бесконечно жесткий каркас тенсегрити. В этой постановке бесконечно малая жесткость пространственного каркаса тенсегрити вытекает из плоскостной бесконечно малой жесткости его граней.
Одни и те же методы устанавливают множество однотипных результатов (см. [18,
Следствие 3.5]). Например, предположим, что G(p) — это структура тенсегрити в R’.
удовлетворяющие следующим свойствам:
(i) вершины G(p) различны и их аффинная оболочка равна R';
(i1) каждая вершина графа G(p) принадлежит ребру выпуклой оболочки P графа p,, . . ., p, (s0 ни одна вершина не лежит ни внутри грани P, ни внутри P);
(111) [p;, p;] содержится в dP для каждого элемента {i,j} группы G (поэтому ни один элемент группы G не проходит через внутренность P);
(iv) для каждой грани P множество вершин и членов G(p), принадлежащих грани, образует бесконечно малый тенсегрити-каркас в плоскости грани.
Тогда G(p) бесконечно жесткая в R'. Либо бесконечно малые движения
Коннелли или статику Уайтли можно использовать для доказательства этого результата. В обоих случаях доказательство основано на теореме Александрова о жесткости, утверждающей, что триангулированный выпуклый многогранник, все вершины которого лежат на естественных ребрах многогранника, инфинитезимально жесткий в R> (см. [2, § 6, следствие 1] или [15]. , теорема 3.1]). В доказательстве 1t нет необходимости доказывать существование собственного напряжения (хотя по теореме 5.2 существование собственного напряжения является следствием результата).
С другой стороны, собственные напряжения можно использовать различными способами, чтобы установить бесконечно малую жесткость некоторых тенсегрити-каркасов, некоторые грани которых не могут быть бесконечно мало жесткими в плоскости. Один очень простой способ построения таких примеров основан на том факте, что сложение напряжений отдельных граней может привести к напряжению всего каркаса тенсегрити с довольно причудливым распределением знаков.
ПРИМЕР 7.1. Рассмотрим куб тенсегрити G(p) в R’, показанный на рис. 7.1. Каждая грань куба опирается на обе диагонали. Верхняя и нижняя грани состоят
полностью из тросов, а на четырех оставшихся гранях есть распорки для диагональных растяжек. Поскольку нетривиальное напряжение двустворчатого квадрата на плоскости имеет коэффициенты одного знака для двух диагоналей и противоположного знака для четырех краев квадрата, сумма четырех таких напряжений дает напряжение G( p) с соответствующими знаками на все, кроме верхней и нижней граней куба. Добавление достаточно малых напряжений верхней и нижней граней приводит к правильному напряжению G(p). Бесконечно малая жесткость группы G(p) является следствием теоремы Александрова о жесткости. По теореме 5.2 G(p) бесконечно жесткая в R®, хотя верхняя и нижняя грани G(p), очевидно, изгибаются на плоскости.
РИС. 7.1 .
Более экзотические примеры можно создать с помощью следующей общей теоремы для модификации бесконечно мало жесткой структуры тенсегрити. Мы говорим, что подмножество F множества B стержней каркаса тенсегрити G(p) в R” свободно, если существует собственное напряжение w в G(p) с F N supp w = J. Идея нашего следующего результата 1, что некоторые из свободных стержней бесконечно жесткой тенсегрити-каркаса G(p) могут быть заменены подходящим образом выбранными тросами и распорками, а трос или распорка G(p) могут быть удалены таким образом, что результирующий тенсегрити-каркас также бесконечно жесткая.
T ЕОРЕМА 7.2. П усть G '(p ') является бесконечно жестким каркасом тенсегрити в R ", где множество F ' C B ' стержней G '(p ') свободно. Предположим, что каркас тенсегрити G "(p ") не имеет стержней (B " = OJ ), его вершины являются подмножеством множества вершин G '(p ") (где вершины G '(p '), а также G "(p ") различны и пронумерованы так, что pj = p / тогда и только тогда, когда i = j ) и существует собственное напряжение "" G "(p "). Предположим, что {k ,m } £(C 'N SUS " NC "). Рассмотрим G =(V ; B ,C ,S )y с V =V ', B = C 'NSH UE " NCH UB =F " NE ) ~ {{k ,m }}, C =(C "Nn CU (F NCH UCC " — EYU (C '" — EY и S =S '"Nn SH UF " NSH US " — E ) U (S " — E "), где E ' и E " — члены G ' и G ", соответственно. Тогда G (p ') бесконечно жесткая в Rn .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Пусть w' — собственное напряжение G'(p') с F' N supp «' = J. Мы рассматриваем как ', так и w' как напряжения каркаса, заданного G(p') вместе со стержнем {k, m}. Предположим, что {k, m} 6 C' NS" s0 Wi ,,y < 0, а wy} ,,, > 0. Тогда легко убедиться, что
_ 7 ro 1”
w = Wik, mw Wik, mW
является собственным напряжением G(p’). Кроме того, каркас G'(p') с баром {k, m}
по следствию 5.3 бесконечно жесткая в Rn, а значит, G(p') также
бесконечно жесткая в R”, так как у нее еще больше стержней. Таким образом, G(p') бесконечно жесткая в Rn по теореме 5.2. []
Теорему 7.2 можно использовать вместо теоремы 6.1 для доказательства бесконечно малого жесткость смешанных многоугольников в теореме 6.4. Существует несколько приложений теоремы 7.2. участвует в построении нашего следующего примера, который является бесконечно жёстким кубом тенсегрити, у которого каждая грань подвижна в плоскости.
ПРИМЕР 7.3. Рассмотрим бесконечно жесткий тенсегрити-куб G’(p’), показанный на рис. 7.2, где каждая грань, кроме передней, скреплена одним стержнем. Примечание, что множество B’ всех баров G’(p’) свободно. Далее рассмотрим планарную тенсегрити. рамки G”(p”), показанной на рисунке 7.2. Полагая p" совпадающим с верхней гранью G''(p') и комбинируя G'(p') и G"(p") по теореме 7.2, мы получаем инфинитезимально жесткий тенсегрити-каркас G'"'(p") показано на рисунке 7.3. Пусть теперь p" совпадает с боковой гранью G'"'(p') и снова применим теорему 7.2. Продолжая таким же образом как для другой стороны, так и для нижней грани, мы придем к бесконечно малой жесткости тенсегрити куб G(p') показан на рисунке 7.3. Заметим, что G(p') имеет 3v — 5 элементов, только один из которых является стержнем. Легко продолжить процедуру еще на один шаг и найти бесконечно мало жесткий тенсегрити-куб с 3v — 4 элемента, ни один из которых не является бруском Мы не знаем, существует ли бесконечно малый тенсегрити-куб с 3v — 5 элементами и без брусков.
РИС. 7.2
РИС. 7.3
Завершим раздкл кратким обсуждением структур тенсегрити в R', возникающих из полного двудольного графа Ks. Рассмотрим (каркасную) реализацию G(p) функции Ki
в Р? такое, что оба пятимножества вершин имеют аффинную оболочку R> и все десять вершин не лежат на квадрике в R>. Тогда пространство напряжений G(p) одномерно и каркас G(p) бесконечно жёсткий в R® (см. [3, пример 17]). Более того, напряжения G(p) довольно легко описать (и даже вычислить).
Пусть a,,...,as и b,,..., bs — два пятимножества вершин. Задажим (ау, . . ., ас) — аффинную зависимость от (а, . . ., ас), что означает =5_, аа, = 0 и ¥°_, п = 0. Пусть (В, ..., Вs) — аффинная зависимость от (Ь, ..., bs). Тогда несложно убедиться, что при задании коэффициента «;8; к краю [a;, b;] для 1 < i,j < 5 дает напряжение G(p). Введение тросов и распорок в соответствии со знаками произведений ;f по теореме 5.2 приводит к структуре тенсегрити с бесконечно малой жёсткостью в R?.
ИСТОЧНИКИ
1. L. Asimow and B. Roth, The rigidity of graphs, Trans. Amer. Math. Soc. 245 (1978), 279-289.
2. The rigidity of graphs. 11, J. Math. Anal. Appl. 68 (1979), 171-190.
3. E. Bolker and B. Roth, When is a bipartite graph a rigid framework?, Pacific J. Math 90 (1980), 27-44.
4. C. R. Calladine, Buckminster Fuller's “tensegrity’” structures and Clerk Maxwell’s rules for the construction of stiff frames, Internat. J. Solids and Structures 14 (1978), 161-172.
5. R. Connelly, The rigidity of certain cabled frameworks and the second order rigidity of arbitrarily triangulated convex surfaces, Adv. in Math. 37 (1980), 272-299.
6. R. B. Fuller, Synergetics: Explorations in the geometry of thinking, Macmillan, New York, 1975.
7. H. Gluck, Almost all simply connected closed surfaces are rigid, Geometric Topology, Lecture Notes in Math., vol. 438, Springer-Verlag, Berlin, 1975, pp. 225-239.
8. B. Grunbaum, Convex polytopes, Wiley, New York, 1967.
9. B. Grunbaum and G. Shephard, Lectures in lost mathematics, mimeographed notes, Univ. of Washington.
10. J. Milnor, Singular points of complex hypersurfaces, Ann. of Math. Studies, no. 61, Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1968.
11. R. T. Rockafellar, Convex analysis, Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1970.
12. B. Roth, Rigid and flexible frameworks, Amer. Math. Monthly 88 (1981), 6-21.
13. W. Whiteley, Introduction to structural geometry. 1, Infinitesimal motions and infinitesimal rigidity (preprint).
14. Introduction to structural geometry. 11, Statics and stresses (preprint).
15. Infinitesimally rigid polyhedra (preprint).
16. Motions, stresses and projected polyhedra (preprint).
DEPARTMENT OF MATHEMATICS, UNIVERSITY OF WYOMING, LARAMIE, WYOMING 82071
DEPARTMENT OF MATHEMATICS, CHAMPLAIN REGIONAL COLLEGE, ST. LAMBERT, QUEBEC, J4P 3P2, CANADA
GROUPE DE RECHERCHE TOPOLOGIE STRUCTURALE, UNIVERSITE DE MONTREAL, MONTREAL, QUEBEC
H3C 3J7, CANADA
ПОЛНОУПРАВЛЯЕМЫЕ СТРУКТУРЫ
ТЕНСЕГРИТИ
Оптимизация с ограничениями в виде неравенств
Автор: Кьяртан Гудмундсон
соискание степени магистра наук
Делфтский технологический университет,
Публичная защита 28 февраля 2019 года
Номер студента: 4516028
Диссертационный комитет:
И.О. Дж. О. Ван дер Вейде, Делфтский университет, научный руководитель
Профессор, доктор технических наук Х. Валлери, Делфтский университет
Доктор Л. Петернел, Делфтский университет
Электронная версия этого тезиса доступна по адресу http://repository.tudelft.nl /.
АННОТАЦИЯ
Тенсегрити - это структурная форма, определяемая как набор жёстких элементов, подвешенных в сетке постоянного растяжения. Эта структура соответствует требованиям устойчивости к ударам и механической надёжности, однако её нелинейная связанная динамика и часто сложная геометрия требуют продвинутых стратегий управления. Эталонную стратегию планирования привода для
приближения роботов-тенсегрити к контролируемым движениям всего тела предложил Гвидо Турнуа [56] в 2017 году. Эта стратегия, называемая планировщиком ссылок всего тела (FBRP), находит последовательность равновесных конфигураций для структуры тенсегрити преимущественно для передвижения по требуемой траектории в пространстве. Однако этот метод не предусматривает определенных ограничений, например, на привод и усойчивость конструкции, которая деформируется при получении указанных равновесных конфигураций. Это было сделано с помощью оптимизации, т.е. для решения этой проблемы в этой работе мы внедрили надёжный способ учёта ограничений, такой, как метод количественного квадратичного программирования при соблюдении ограничений в виде неравенств для каждой конфигурации с использованием метода FBRP. Эффективность предложенного подхода была проверена в сценариях практических приложений с ограничениями в виде неравенств, и результаты показали прогресс в практической осуществимости. Кроме того, были подтверждены надёжность, эффективность и точность метода. Расширенная реализация продемонстрировала устойчивость к исзменениям параметров и хорошие результаты с точки зрения точности. Однако, учитывая итеративный характер метода, он стал более дорогостоящим в вычислительном отношении, чем его предшественник.
Предисловие
Окончание этого дипломного проекта знаменует финишную черту моего пути в Делфтском университете технологий. Это был невероятный опыт обучения, не только в академическом плане, но и в культурном и социальном плане. Первоначальным фокусом моего исследовательского проекта было создание прототипа робота-тенсегрити с
управляемыми скрученными полимерными мышцами (TCPM). Цель состояла в том, чтобы достичь контролируемого движения всего тела прототипа через использование эталонного плана всего тела.
Я хочу поблагодарить автора метода FBRP Гвидо Турнуа за его помощь и вклад в начальной фазе проекта. Узнав из первых рук о физических ограничениях TCPM и ограничениях метода FBRP, стало ясно, что подход нуждается в поддержке - дополнительной работе с целью учёта определённых практических ограничений. Это и побудило тему этого дипломного проекта, который фокусируется на совершенствовании FBRP для учёта практических ограничений.
Этот проект занял больше времени, чем я предполагал, и были моменты, когда я был близок к тому, чтобы сдаться. Я хочу поблагодарить моих руководителей Йоста ван дер Вейде и Хейке Вэллери за их помощь и ценное руководство. Кроме того, я хочу поблагодарить Йоста за то, что он не отказывался от руководства во время этого довольно долгого и громоздкого путешествия. Наконец, я благодарю моего дорогого партнёра Кристин за то, что ты всегда подталкиваешь меня и поддерживаешь в самых трудных ситуациях - конечно, я никогда не справился бы с этим без тебя.
Содержание
1 Введение
1.1 Роботы-тенсегрити
1.2 Управление тенсегрити
1.3 Планировщик материалов по всему телу
1.4 Значение метода
2. Полный Эталонный План тела - справочная информация
2.1 Уравнения равновесия
2.2 Планировщик ссылок
2.3 Начальные условия
3. Методика
3.1 Добавление ограничений в виде неравенств
3.2 Последовательное квадратичное программирование
3.2.1 Линейный поиск
3.2.2 Приближение Гессе
3.2.3 Алгоритм последовательного квадратичного программирования
3.3 Метод активного набора
3.3.1 Предопределение
3.3.2 Первоначальное предположение
3.3.3 Направление шага
3.3.4 Длина шага
3.3.5 Добавление и удаление ограничений
3.3.6 Алгоритм метода активного набора
4. Проверка работы метода
4.1 Настройка
4.2 Функциональная Часть I
4.3 Функциональная Часть II
4.4 Эффективность и надёжность
4.5 Точность
5. Обсуждение полученных результатов
5.1 Функциональная Часть I
5.2 Функциональная Часть II
5.3 Эффективность и надёжность
5.4 Точность
5.5 Ограничения метода
5.5.1 Устойчивость
5.5.2 Эффективность
5.5.3 Эффект Маратоса
5.5.4 Требование к рангу градиента
6. Заключение
6.1 Выводы по проверке метода
6.2 Общие выводы
Библиография
Приложение А. Метод нулевого пространства
Приложение B. Исполнительные устройства
B.1 Производство скрученных и намотанных полимерных мышц
B.2 Экспериментирование
B.3 Результаты
Приложение C. Проверка повторяемости результатов
1.Введение
В последнее десятилетие внимание исследователей в области робототехники привлекла особая структура, навеянная и вдохновлённая биологией, поскольку она была найдена на многих уровнях в природе, начиная от молекулярной биологии [24], и ныне уже используется в повседневной жизни, например, в архитектуре моста Курилпа на рисунке 1.1 - эта структурная форма называется тенсегрити.
