T ЕОРЕМА 6.3. Обобщ ё нные многоугольники Грюнбаума бесконечно ж ё сткие в R .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Пусть G(p) — обобщенный многоугольник Грюнбаума, показанный на рис. 6.2. Ясно, что каркас G(p) бесконечно жёсткий в R*, так как его можно построить из fr. м треугольник р, р, р; добавлением двухвалентных вершин (с одной полосой, оставшейся в конце). Эта дополнительная полоса необходима, так как ее наличие гарантирует, что G(p) имеет нетривиальное напряжение. Имеем ранг df.(p) = 2v — 3, где Е — множество стержней G, так как G(p) бесконечно жесткая в R? (см. [2, уравнение 2, §3] или [13, §6.1] и [14, следствие 5.2]). Но dfz(p) имеет 2v — 2 строки, по одной на каждый стержень G, и, таким образом, между строками df.(p) существует нетривиальная линейная зависимость, т. е. нетривиальное напряжение w = (..., w; jy , --.) группы G(p). Нам нужно только проверить, что w (или его отрицательное значение) является собственным напряжением G(p). Применяя лемму 6.2 к трехвалентным вершинам ps, . . ., p, получаем, что два ребра многоугольника (распорки), инцидентные вершине, имеют один знак, а оставшийся член (трос), инцидентный вершине, имеет противоположный знак. Другое применение леммы 6.2 показывает, что [P, p,] имеет тот же знак, что и все остальные опоры G(p). Поэтому + w 1 является собственным напряжением G(p) и, таким образом, G(p) бесконечно жесткая по теореме 5.2. []
Гибкий многоугольник тенсегрити, показанный на рис. 6.3, демонстрирует необходимость требования, чтобы две вершины, к которым все остальные присоединены кабелями в обобщенных многоугольниках Грюнбаума, были последовательными вершинами..
РИС. 6.3
Далее мы рассмотрим многоугольники Коши, которые являются многоугольниками тенсегрити G(p) вида, показанного на рис. 6.4, с тросами, соединяющими вершины p, и p;, p, и py, . . ., р,_» и р,. Как установил Грюнбаум [9, с. 2.13], жёсткость многоугольников Коши следует из стандартных рассуждений, связанных с теоремой Коши о жесткости. Коннелли [S, теорема 4.1] устанавливает бесконечно малую жесткость многоугольников Коши, исследуя их бесконечно малые движения. Наш подход к бесконечно малой жёсткости Коши многоугольников основано на наблюдении, что многоугольники Грюнбаума и Коши многоугольники связаны друг с другом простым способом. Действительно, можно получить из Многоугольник Грюнбаума на рис. 6.1 к многоугольнику Коши на рис. 6.4 просто замена кабеля {2,5} на {3,5}, кабеля {2,6} на {4,6},..., кабеля {2,0} на
{т — 2, т}. Таким образом, из v — 2 тросов заменено v — 4, а тросы {1, 3} и {2, 4) остаются без изменений. Покажем теперь, что смешанные многоугольники, полученные в результате прерывания процедуры замены на любом этапе, бесконечно жестки в R®.Ps
РИС. 6.4
TEO РЕМА 6.4. П усть i тросов {2,5}, {2,6},...,{2,i + 4} многоугольник в Грюнбаума заменен ы тросами {3,5}, {4,6},...,{i + 2,i +4}. Тогда полученный смешанный многоугольник будет бесконечно ж ё стким в R .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Воспользуемся индукцией по числу i замен и применим теорему 6.1. Для одной замены полученный смешанный многоугольник бесконечно мал, поскольку он является комбинацией (в смысле теоремы 6.1) многоугольника Гринбаума на рис. 6.1 и многоугольника Гринбаума, показанного на рис. 6.5. Обратите внимание, что стержень {2, 5} исчезает, так как в первом он представляет собой трос, а во втором — распорку.
Предположим, что все смешанные многоугольники, полученные не более чем i заменами, являются бесконечно жестким, и рассмотрим смешанный многоугольник, показанный на рис. 6.6. заменами i + 1 {2, 5} на {3,5}, {2,6} на {4,6},...,{2,i +5} на
{я + 3,7 + 5}. Смешанный многоугольник на рис. 6.6 представляет собой комбинацию (в смысле Теорема 6.1) смешанных многоугольников, показанных на рис. 6.7. Смешанный многоугольник на (а) включает только i замен и, таким образом, является бесконечно малой жесткостью. И Коши многоугольник в (б) с вершинами p,, ps3, . . ., П; +5 единиц, получаемых из соответствующего многоугольника Гринбаума путем i замен (когда многоугольник Грюнбаума вяжется из вершины р,;). Поэтому смешанный многоугольник на рис. 6.6 является бесконечно жёстким по теореме 6.1. []
РИС. 6.5
Pits Piya
РИС, 6.6
Pits Dia Pit 3 Piya
РИС. 6.7
Можно надеяться, что замены, связанные с переходом от Грюнбаума к Многоугольники Коши необязательно строить последовательно. Однако шестиугольник тенсегрити G(p), показанный на рис. 6.8, который получен из многоугольника Грюнбаума с шестью вершин заменой троса {2, 6} на {4, 6) бесконечно гибок в R?. На самом деле, Hy = My = py = 0 и pj = ps = pg, как показано, представляют собой бесконечно малое изгибание G(p).
Pp,
РИС. 6.8
Обратите внимание, что различные схемы создания бесконечно жесткой тенсегрити
ранее рассмотренные многоугольники работают для всех выпуклых реализаций многоугольника. Их бесконечно малая жесткость не зависит от расположения вершин, длин ребер и других метрических свойств реализации выпуклого многоугольника. Гринбаум [9, с. 2.13] спрашивает, типично ли это. То есть, если G(p) и G(g) являются многоугольниками тенсегрити, то являются ли они одновременно жесткими или одновременно гибкими? На самом деле вопрос Грюнбаума был задан для многоугольников тенсегрити с перемычками в качестве ребер многоугольников и без распорок, но это не имеет значения — ответ в обоих случаях отрицательный.
ПРИМЕР 6.5. Рассмотрим шестиугольник тенсегрити G(p), показанный на рис. 6.9. С
|Е| = 10 = 20 — 2, G(p) допускает нетривиальное напряжение при всех значениях х. Идея в том, что при x = 2 классические результаты о реализациях полного двудольного графа K; 5 на плоскости (см. [3, теорема 14] или [13, пример 2.4]) дают нетривиальное напряжение G(p) с нулевым коэффициентом для стержня {1,5}. Неудивительно, если коэффициент этой полосы меняет знак при x = 2. Решение множества зависимостей w=(...,w(jp--) между строками матрицы dfg(p), где КЭ равно множества стержней G, находим, что при х = 1, —2 напряжения G(p) имеют вид
W(1,2) = W2,3) = O34) = Gas) =A
We1,4y = Wi2,5) = -A/2, Wry, 6) = Wis, 6) = A(x — 1),
Wi, 5) = A(x — 2)/2(x — 1), W¢3, 6) = -2\/ (x + 2)
где A — произвольное действительное число. Для x = 3/2 многоугольник тенсегрити G(p) бесконечно жесткийв R?, поскольку G(p) бесконечно жесткая и любое A даёт положительное собственное напряжение G(p). С другой стороны, G(p) бесконечно мала в R', когда x = 3, так как знак w, 5, тогда противоположен знакам коэффициентов других канатов G(p) для всех нетривиальных напряжений. Заметим также, что для обоих значений x из вида напряжений следует, что rank df,(p) = |4| для каждого собственного подмножества A множества E. Таким образом, x = 3/2 ведет к точке p общего положения, как и x = 3. Следовательно, G(p) жесткая при x = 3/2 и гибкая при x = 3 по теореме 5.8. . (G(p) также является гибким при x = 2, но проверка этого затруднительна, поскольку p не находится в общем положении при x = 2.) Кроме того, все наши выводы остаются в силе, являются ли шесть ребер шестиугольника стержнями или стойками.
py = (1,1) ps = (1,1)
p, =(-1,-1) Cop, =(1,-1).
РИС . 6.9
Кажется, мало что известно о том, что отличает кабельные схемы, которые дают
бесконечно жёсткие многоугольники тенсегрити для всех выпуклых реализаций от тех, которые этого не делают.
Наконец, результаты этой статьи проливают некоторый свет на, возможно, наименее понятную из гипотез Гринбаума [9, гипотеза 6, с. 2.14]. Эта гипотеза имеет дело с многоугольниками тенсегрити G (p) с полосами в качестве ребер многоугольника (и без распорок) и говорит, что если G(p) жесткая в R? то и тенсегрити Каркас G’(p), полученный заменой стержней G(p) на кабели и кабелей G(p)- стержнями. Тот факт, что обратная гипотеза, как известно, неверна (см. пример 6.7 или [9, рис. 13]), добавляет загадочности этой гипотезе. Здесь мы доказываем инфинитезимальную версию гипотезы и предлагаем собственную гипотезу.
T ЕОРЕМА 6.6. Пусть G (p ) — многоугольник тенсегрити с стержнями, а не распорками в качестве ребер многоугольника и не менее чем с четырьмя вершинами. Если G (p ) бесконечно жесткая в R ’, то каркас тенсегрити G ’(p ) с B =C , C ’=B и S ’=D также является бесконечно жестк им в R ?.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Поскольку G(p) бесконечно жесткая, G(p) бесконечно жесткая и G(p) имеет собственное напряжение w = (..., 0 3, ...) по теореме 5.2. Бесконечно малая жесткость G(p) вместе с тем, что v > 4, влечет C#*J. Таким образом, существует вершина, имеющая хотя бы один инцидентный ей кабель. Поскольку собственно напряжение 1s, все тросы, инцидентные этой вершине, имеют отрицательные коэффициенты. Следовательно, по лемме 6.2 два ребра многоугольника (бруски), инцидентные этой вершине, имеют положительные коэффициенты. Применяя лемму 6.2 к последовательным вершинам многоугольника, мы находим, что все стержни {i,j} многоугольника тенсегрити имеют w; 4 > 0. Конечно, все тросы имеют отрицательные коэффициенты, так как напряжение правильное. Поскольку G'(p) = G(p) бесконечно жесткая и —w 1s собственное напряжение G'(p), G'(p) бесконечно жесткая в R% [J
Ясно, что заставляет этот аргумент работать - это тот факт, что существование напряжения с отрицательными коэффициентами для всех внутренних элементов подразумевает, что все ребра многоугольника имеют положительные коэффициенты. Однако наличие напряжения с отрицательными коэффициентами для всех ребер многоугольника не обязывает все внутренние элементы иметь положительные коэффициенты. Это объясняет несостоятельность обращения теоремы 6.6, пример которого мы сейчас приведём.
ПРИМЕР 6.7. Пусть G(p) — шестиугольник тенсегрити из примера 6.5 с x = 3 и стержнями вместо распорок для шести граней шестиугольника. Тогда G'(p) бесконечно жесткая в R? поскольку G'(p) бесконечно жесткая и любое A < 0 дает собственное напряжение G'(p). Но, как мы видели в примере 6.5, G(p) бесконечно гибка в R*, когда x = 3.
Конечно, теорема 6.6 и её обращение справедливы для многоугольников тенсегрити со стойками в качестве ребер многоугольника. Но это всего лишь частный случай «взаимозаменяемости» распорок и тросов в бесконечно мало жестком тенсегрити-каркасе, о котором говорилось после определения 4.1.
Завершим этот раздел гипотезой, которая, если она верна, подтвердила бы
гипотезу Гринбаума 6: