T ЕОРЕМА 5.7. Если структура тенсегрити G (p ) является гибкой в R ", то G (p )
бесконечно гибкая в R " .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Если G(p) 1 является гибким в Rn, то существует вещественный аналитический путь x: [0, 1] — R™ такой, что x(0) = p и x(p) 6 X(p) — M(p) для все ¢t ? (0, 1] по предложению 3.2. Так как x(¢) & M(p) для всех + > 0, то существует пара вершин, скажем, k и m, такая, что ||x,(z) ~ x,,(?)|| не является постоянной функцией. Таким образом, |[x,(z) — x,(?)|* — непостоянная вещественно-аналитическая функция на [0, 1], так что ее производная отлична от нуля при всех достаточно малых # > 0. Точно так же из вещественной аналитичности следует, что для любого { i,j} 6 C (соответственно §'), то либо || х;(¢) — х(D)|? постоянная на [0, 1] или ее производная отрицательна (соответственно положительна) при всех малых + > 0. Поэтому для всех достаточно малых положительных t имеем
=0 for {ij} ? B,
(x(1) — x(1))- (x(t) — x/(¢)); <0 for {i,j} ?C,
>0 for {ij} ES,
но
(x (1) = x,(2)) + (x (2) — x,,(¢)) # 0.
Следовательно, x'(¢) ? I(x(t)) — T(x(¢)) означает, что G(x(¢)) бесконечно гибка.
в R” для всех положительных ¢ вблизи 0. Поэтому G(p) бесконечно изгибаема в R” по теореме 5.4. []
Теперь покажем, что жесткость и бесконечно малая жесткость тенсегрити
каркаса G(p) эквивалентны для точек p общего положения для G. Таким образом, мы снова находим, что точки общего положения играют роль для каркасов тенсегрити, аналогичную той, которую играют обычные точки для каркасов.
ТЕОРЕМА 5.8. П усть G = (V ; B , C , S ) — абстрактный каркас тенсегрити и p 6 R ™ находится в общем положении для G . Тогда G (p ) ж ё сткая в Rn тогда и только тогда, когда G (p ) бесконечно ж ё сткая в Р».
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Теорема 5.7 дает одно направление. Наоборот, предположим, что G(p) бесконечно гибка в Rn. Если G(p) гибкая в Rn, то G(p) также является гибкой, поэтому мы предполагаем, что G(p) является жесткой в Rn. Поскольку p — регулярная точка группы G, G(p) чётна. бесконечно жесткая в R”. Пусть I(p) — пространство бесконечно малых движений G(p) и задана
A = {{i,j))EE=BUCUS:F,?I(p)}.
Очевидно, что B C A и, более того, A # E. Ввиду бесконечно малой гибкости G(p)
говорит, что существует up 6 I(p) — T(p) и для этого pu существует {k, m} 6 E с
pe Fo py 70, так как G(p) бесконечно жесткая в R”. Затем выберите v £ I(p) с
v — Fy, #0 для всех {i, j} £ Е — А. Тогда имеем
{iJ
=0 forall {i,j} ? 4,
(p, =p) (nv, — py) <0 forall {i,j} ? C — 4,
>0 для всех {i,j} ?S — A4.
Теперь «проинтегрируем» бесконечно малое изгибание », чтобы создать изгибание G(p).
Если А = J, то
x()=p+w=(p, +1t,...,p, + tv,)
удовлетворяет x(0) = p и, кроме того, x(t) 6 X(p) — M(p) для малых положительных ¢, поскольку производная от ||x,(f) — x,(¢)||> при # = 0 есть 2(p; — p;) — (; — ¥,). Поэтому G(p) гибка в R”. Наконец, предположим, что 4 непусто. Так как p находится в общем положении для G, p — точка максимального ранга df, и, следовательно, fo \(f, (p)) — многообразие вблизи p, касательное пространство которого в p равно ker df, (p). Так как v 6 ker df,(p), то существует гладкий путь х: R—f; '(f,(p)) с x(0) = p и x'(0) = ». Тогда |x,(¢) — x, (1) = |p, — pI? для всех £ и всех {i,j}£A. И [x(2) — x()I|> < || п; = p;|I* (соответственно > |p, — 2°) для всех малых положительных ¢ и всех {i, j} 6 C — A (соответственно S — A). Поэтому G(p) гибка в R". []
Следующий результат говорит о том, что для каркаса с «независимыми» рёбрами
замена любого края тросом или распоркой даёт гибкую структуру тенсегрити.
СЛЕДСТВИЕ 5.9. Если G (p ), G = (V , E ) является каркасом в Rn с рангом dfy (p ) = |Е| , то G '(p ) является гибкой структурой тенсегрити в R ", где G ' получается
замен ой любого элемента E тросом или распоркой.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Поскольку каркас G(p) допускает только тривиальное напряжение, G'(p) не имеет собственного напряжения и, таким образом, G'(p) бесконечно гибка в R" по теореме 5.2. Но p находится в общем положении для G, так как rank df,(p) = |A| для любого непустого AczE. Поэтому G'(p) гибка в Rn по теореме 5.8. []
Завершим этот раздел рассмотрением влияния проективных отображений на структуры тенсегрити. Мы говорим, что L является проективным отображением R", если
Ax + b:
Lx ="22"2 forx ? R"withc- x + d+#0
c-x+d
где 4: R" — R" — линейное отображение, b, ¢c 6 R", d 6 R и отображение из R**! в d неособо. Для наших целей полезно думать о проективных отображениях в а
немного другим способом. Рассмотрим неособое линейное отображение L: R**!'. = R"*!. Для
x =(x;...,x,) ER"letX =(x,...,x, 1) ?R"!
Тогда композиция
xo Fo LE = (ry) 1 SE (5.1)
n+1 Yn+1
определяет проективное отображение L, где Lx = (у, /у, 415--++> х, /V, 4,) для х 6 R" с последняя координата у, ..., LX отлична от нуля.
H
4,
/
/
Gy q,
N\
AN
AN
43
G(p) G(q) G'(q)
РИС. 5.3
Рассмотрим p = (p,...,p) и g = (gq, . . ., q) в R™. Предположим, что существует проективное отображение L пространства Rn с Lp = ¢ для 1 < i < v. Для каркаса G с © вершин мы имеем, что G(p) бесконечно жесткая в R” тогда и только тогда, когда G(g) является бесконечно жесткая в R”. Этот результат, который иногда называют проективная инвариантность бесконечно малой жесткости не работает для структур тенсегрити. Например, рассмотрим рамки тенсегрити G(p) и G(g) в R? показано на рис. 5.3. Существует проективное отображение L на R? где Lp = gq; для 1 <i < 4, где показанная пунктирная линия H отображается буквой L в «линию в бесконечности». Ясно, что G(p) есть бесконечно жесткая в R? а G(g) бесконечно гибка в R%. Однако если мы заменим трос G, который пересекает H в реализации p, на распорку, а распорку G, который пересекает H в реализации p, тросом, то результирующий каркас тенсегрити G'(q), показанный на рис. 5.3, будет бесконечно жёстким в R2. Последняя теорема раздела показывает, что такое поведение типично для фреймворков тенсегрити.
T ЕОРЕМА 5.10. П усть р = (ру, . . ., рп), 4 = (qy , —— . ., qt )£R ™ и существует проективное отображение L пространства Rn такое, что v . Пусть G =(V ; B , C , S ) — каркас тенсегрити с v вершинами. Пусть G ' = (V ; B , C ', S ') — каркас тенсегрити, полученный заменой каждого троса {i ,j } группы G (соответственно стойка {i ,j } группы G ), для которой отрезок |p , p ;] пересекает гиперплоскость H , отображаемую L на бесконечность, по стойке (соответственно, кабелю), оставляя остальные элементы группы G не изменится. Тогда G (p ) бесконечно жесткая в Rn тогда и только тогда, когда G '(q ) бесконечно жесткая в Rn .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Пусть L: R"*' 5 R"*! — неособая линейная карта, для которой
композиция (5.1) дает L. Пусть Ai — (n + 1)-я координата Lp, £ R**! для
1 <i <v. Сначала покажем, что если w=(... Wei jy - + -) 18 линейная зависимость между строками dfy(p), где E = BU C U S, то w = (... AAW ys «2) ЯВЛЯЕТСЯ линейной зависимостью между строки dfg(q), где E"=BuU C'uU §" = E.
Это достигается тем, что различные отображения в композиции (5.1), определяющие
L действуют на матрицу df.(p).
Во-первых, поскольку
> win Fg = > winlooopp =p spp —Pp---)=0
(i, jYEE (i, jVEE
то
> wipe Bi = Pps By— Pin. )=0
{i,.j}EeE
начиная с последней координаты каждого р - это один. Ввиду линейности L имеем
> wu ....Lp,—Lp,....Lp,— Lp, ...)=0. (5.2)
(i.jYEE
Суммирование по i-му (n + 1)-набору столбцов (5.2) даёт
> wu(Lp,— Lp)=0, l<i<v. (5.3)
{yi {iJ} EE)
Суммирование по последней координате векторного уравнения (5.3) даёт скалярное
уравнение:
> wi (A —=A)=0 forl <i<wv. (5.4)
(ji {ij} EE)
По условию последняя координата A; каждого Lp отлично от нуля. У нас есть
5 Lp
> Moin 2-2) = 0, l <i <wv (5.5)
{ji {iJEE)
так как левая часть уравнения (5.5) равна произведению А; и вектор в (5.3) минус произведение скаляра в (5.4) на вектор Lp. Таким образом,
Lp, Lp, Lp, Lp, )
AMAw, ol. ——,...,,————,...| = 0.
LE, HY us A; A, y ;
Так как последняя координата каждого Lj, /A, равна единице, w' = (... AN; yo.) 1s линейная зависимость между строками df. (гк). Следовательно, rank df.(p) > rank df. (к).
Далее заметим, что L~' определяет проективное отображение L~~! по композиции (5.1) при L'q = p при 1 < i < v. Кроме того, Ап есть (п + 1)-я координата Lg£R'*' при 1<i<v. Таким образом, если =(....w|,...) является линейной зависимостью между строками dfy(q), то w = (... A" '\"'w[, ;,,...) является линейной зависимостью между строками df.(p). Следовательно, ранг df. (p) = ранг df..(q). Поскольку размерность аффинной оболочки {p,...,p}, очевидно, равна размерности {q,....q,}, «предиктор ngidity» ([1, теорема] и [2, § 3]) дает, что каркас G(p) бесконечно жёсткий в Rn тогда и только тогда, когда каркас G'(q) бесконечно жёсткий в Rn.
Наконец, предположим, что структура тенсегрити G(p) бесконечно жесткая в R». Тогда G(p) бесконечно жесткая в Rn и существует собственное напряжение w = («wg jy.) группы G(p). Тогда o = (... ANw; y,...) 1S собственное напряжение G'(q), так как AA < 0 тогда и только тогда, когда р и р; лежат по разные стороны от H, гиперплоскости, отображаемой L на бесконечность. Следовательно, G'(g) также бесконечно жесткая в R". Наоборот, если G'(q) бесконечно жесткая в R", то собственное напряжение "' = (... wy; ---) G'(q) дает собственное напряжение w = (... A” nN” "Wii iy...) G(p). Следовательно, G(p) бесконечно жёсткая в Rn. []
6. ПЛОСКИЕ СТРУКТУРЫ ТЕНСЕГРИТИ .
Теперь применим общие результаты предыдущих разделов к ряду очень специфических проблем и вопросов, касающихся структур тенсегрити на плоскости. Некоторые методы, использованные в этом разделе, являются результатом совместной работы с Рачадом Антониусом и Яношем Бараксом из Groupe de Recherche Topologie Structurale. Большая часть раздела посвящена закреплению выпуклых многоугольников, края которых представляют собой распорки (или стержни) с помощью различных тросов внутри многоугольника.
Начнём с метода объединения двух бесконечно жестких тенсегрити-каркасов на плоскости. Хотя полученный здесь результат несколько громоздкий для формулировки и доказательства, он имеет интересные приложения к выпуклым многоугольникам на плоскости. Это наблюдалось в примерах Яношем Бараксом и включает в себя форму обмена цепями в базовой комбинаторной геометрии.
Рассмотрим два бесконечно жестких каркаса тенсегрити G'(p') и G"(p") в
Р? которые имеют общие вершины (где мы предполагаем, что общие вершины имеют
одинаковые индексы в G' и G"). Тогда любой элемент {k, m}, являющийся тросом G’
и распорка G” может быть удалена, а разумный выбор стержней, тросов и распорок
для остальных членов дает бесконечно малую жесткую структуру тенсегрити в
самолет. Чтобы свести к минимуму возможность путаницы, мы предполагаем, что вершины G'(p') различны, 1. т. е. p;'5 p/ для i # j, как и вершины G"(p").
T ЕОРЕМА 6.1. П усть G '(p ') и G "(p ") являются бесконечно ж ё сткими тенсегритными каркасов в R * (где вершины G '(p '), а также G "(p ") различны и определяются так, что p ; = p ” тогда и только тогда, когда i = j . Пусть E будет множеством пар вершин, которые соединены другим членом G ', чем G ". То есть, пусть
E =(B'n(C"US))U(C N(B US) US N(B UC.
Пусть {k,m}£(C'N SHU S'NC"). Пусть G =(V ; B , C , S ), где V = V '
UV ', B =B UB "UE --{{kkm }}, C =C '"UC ""-E и S =S "US "-E . Пусть p =(...,p ,...) где p ,=p ]if £V ' и p ,=p , iffi £V ". Тогда G (p ) является бесконечно ж ё стким каркасом тенсегрити в R >.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Напомним, что в R* и ? Т(р) тогда и только тогда, когда w = (py, ..., pn) = (+ pF, ..., t + rp¥), где t ? R% r ? R и (а, Ь)* = (Ь, а) для (а, Ь) £ R*. Теперь применим теорему 5.2. По следствию 5.3 G'(p') с удаленным баром {k, m} есть бесконечно жесткая, как и G”(p”) с удаленным стержнем {k, m}. Отсюда следует, что G(p) бесконечно жесткая. Чтобы убедиться в этом, пусть u — бесконечно малое движение G(p). Затем существуют #/ 6 R* и * 6 R такие, что w=1t+r'p* для всех V', так как G'(p') с выброшенным стержнем {k, m} бесконечно жесткая. Аналогично, существуют t" 6 R?* и r" 6 R такие, что w=1t"+r"p/* для всех Vv",
При i = k, m имеем t' + r'p/* = t" + r"p/*, так как p; = р/ = р,. Таким образом (¢' — t") + (r — r"p¥=0 for i=k, mso(r—r")p¥— pk) =0. Так как p, + p, мы имеем r' = r” и, следовательно, ¢t’ = ¢”. Таким образом, uy = t' + r'p* для всех вершин р в G(p), что говорит о u£T(p). Следовательно, G(p) бесконечно жёсткая в R2.
Для завершения доказательства покажем, что G(p) имеет собственное напряжение. Предположим, что {k, m} ? C''N §". Поскольку G'(p') бесконечно жесткая, существует собственное напряжение w' G'(p) (80 Wig py < 0). Точно так же существует собственное напряжение w" в G"(p") (поэтому Вик, мой > 0). Вводя нулевые коэффициенты для некоторых ребер, можно рассматривать как w’, так и w” как напряжения каркаса тенсегрити G(p), дополненные стержнем {к, м}. Тогда легко проверить, что
144 4 _ 4 144
является собственным напряжением G(p). [Дж
Аналог теоремы 6.1 в R” действителен при условии, что две системы разделяют n
вершины, аффинная оболочка которых имеет размерность п — 1. Теорема 6.1 и ее последующие размерные обобщения справедливы и для жесткости. То есть два жестких тенсегрити каркасы объединяются, чтобы дать еще один жесткий каркас тенсегрити.
Доказательство теоремы 6.4 дает несколько примеров использования теоремы 6.1. Далее докажем техническую лемму о распределении знаков коэффициентов напряжения в вершине. Этот простой результат является двумерным аналогом леммы об индексе, связанной с теоремой Коши о жесткости (см., например, [7,
лемма 5.3] или [12, теорема 6.1}).
ЛЕММА 6.2. П ксть р; ? R ’> — {0} и w , ER — {0} для 1 <j <n . Если Z }_, wp ; = 0, то не существует такой прямой, проходящей через начало координат, что {p ;: «; > 0} есть содержится в одном открытом полупространстве, определяемом прямой и {p ;: w ; < 0} содержится в другом открытом полупространстве.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Если такая строка существует, то каждый w;p; принадлежит одному открытому полупространству и, следовательно, 27_, wp; # 0.
Теперь сосредоточимся на схемах тенсегрити в плоскости довольно особого вида. Многоугольник тенсегрити G(p) является каркасом тенсегрити в R? со следующими свойствами:
(i) вершины G(p) различны и образуют множество вершин выпуклого многоугольника P на плоскости;
(ii) распорки G(p) — это ребра P;
(111) множество стоек в G пусто.
Одним из следствий этого определения является то, что каждый кабель многоугольника тенсегрити проходит через внутреннюю часть P. Параллельная теория развивается, если рассматривать выпуклые многоугольники с перемычками в качестве ребер и без распорок. Мы вступаем в контакт с этой теорией в конце раздела.
Далее рассмотрим различные схемы создания бесконечно малых тенсегрити-полигонов. Наши доказательства основаны на повершинном анализе знаков коэффициентов в напряжении на основе леммы 6.2. Но есть и другие возможности. Например, можно использовать теорему Максвелла о проекциях многогранников для изучения напряжений (в этой теории собственные напряжения на многоугольниках тенсегрити с плоскими графами соответствуют проекциям выпуклых многогранников (см. [16])) или можно рассмотреть в детализируйте бесконечно малые движения, допускаемые членами.
РИС. 6.1
Возможно, самыми простыми многоугольниками тенсегрити являются многоугольники Грюнбаума, введенные в [9], которые имеют тросы, соединяющие одну вершину со всеми несмежными вершинами многоугольника, и один дополнительный трос, соединяющий две вершины, смежные с этой вершиной. См. рис. 6.1, где стойки, как обычно, обозначены двойными линиями, а тросы — штрихами. На самом деле не сложнее доказать бесконечно малую жесткость обобщенных многоугольников Грюнбаума, в которых выбраны две смежные вершины, а каждая другая вершина соединена кабелем ровно с одной из этих двух вершин (как показано на рис. 6.2).
РИС. 6.2