{k ,m } ? CU S . Если существует напряжение G (p ) с {k , m ) в его носителе, то
существует напряжение w группы G (p ) с {k , m } 6 supp w и рангом df ,(p ) = |A | для каждого собственного подмножества A из supp w .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Выберем напряжение w = (..., wg, jy + --) группы G(p) с {k, m} 6 supp w, для которого мощность supp w минимальна. Покажем, что « обладает требуемым свойством. Предположим, что существует правильное подмножество 4 в supp w такое, что df(p) имеет линейно зависимые строки. Рассмотрим нетривиальную линейную зависимость между строками df ,(p). Будем рассматривать его как линейную зависимость А = (..., Ai jy — + +) строк dfe(p), где Е = BU C U S, вводя нулевые коэффициенты при членах Э- А.
Для удобства предположим, что {k, m} £ С. Если А; ,,, # O, то либо A, либо —A имеет отрицательный коэффициент при {k, m}, но не является напряжением G(p) в силу нашего выбора w. Если Ak, my = 0, то либо для A, либо для —A существует член {g, h} с коэффициентом, противоположным по знаку коэффициенту wj, ,,. Таким образом, существует нетривиальная линейная зависимость » (либо A, либо —A) между строками df.(p) с supp » C supp w, Vik, my < 0 и Vig m@ig nm < 0 для некоторых {g, h }.
Рассмотрим выпуклую комбинацию
w+ (l—to=(...,t05 3+ (= Dwg jy...)
для + ? [0, 1]. Так как tv, , , + (I — Hw, 4, имеет противоположные знаки при t = 0 и ¢ = 1, существует 7; е (0, 1) с tw,» + (1 — twig ny = 0. Пусть 75 будет наименьшим такое значение ¢, что некоторая координата в supp w функции tv + (1 — f)w равна нулю. Тогда tok, my + (1 = tow ,y <0 и знаки остальных коэффициентов 7pv +
Все (1 — ¢y)w подходят (1, т. е. <0 для тросов и >0 для распорок) в зависимости от нашего выбора t. Поэтому tyr + (1 — ty)w — напряжение G(p) с {k, m} в его носителе. Но его поддержка содержит меньше элементов, чем supp w, что противоречит нашему выбору w. []
ТЕОРЕМА 5.6. Пусть G = (V ; B , C , S ) — абстрактный каркас тенсегрити с v вершинами. Тогда пересечение множества инфинитезимально гибких реализаций G и множества точек общего положения для G открыто в R ™.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Предположим, что р находится в общем положении для G и {р,} есть последовательность реализаций с р, — р, где каждая G (р,) бесконечно жесткая в R". Покажем, что G (р) также бесконечно жесткая в R" с помощью теоремы 5.2. Во-первых, заметим, что G(p) бесконечно жесткая в R", поскольку из бесконечно малой гибкости G(p) следует, что G(q) бесконечно малая гибкость для всех регулярных точек g ([1, следствие 2] и [2, §3]). Таким образом, G(¢) (а значит, и G(g)) бесконечно гибка для всех ¢, достаточно близких к регулярной точке p – получили противоречие.
Далее мы установим существование собственного напряжения G(p), показав, что для каждого {k, m} £ C U S существует напряжение G(p) с {k, m} в его носителе. Так как каждая G(p,) бесконечно жесткая, существует напряжение G(p,) с {k, m} в его опоре. Поэтому по лемме 5.5 для каждого / существует напряжение wj группы G(p,) с {k, m} 6 supp w и рангом df,(pj) = |A| для каждого собственного подмножества A из supp w,. Теперь выберем подпоследовательность {p,} (которую мы снова обозначим через {p,}), для которой все напряжения, заданные леммой 5.5, имеют одно и то же опорное множество D.
Пусть d =|D| и А = D — {{k, m}}. Так как p находится в общем положении для G, p, является также для всех достаточно больших /. Поэтому ранг df ,(p) = |4| = d — 1, но d строк df,(p) линейно зависимы, так как каждое р, обладает этими свойствами. Так как строки (d — 1) X nv матрицы df, (p) линейно независимы, то некоторая (d — 1) X (d — 1) подматрица df, (p) 1 неособа. Соответствующие столбцы df,(p) можно использовать для решения линейных зависимостей между d строками df,(p) (как в
доказательство теоремы 5.4). Находим линейные зависимости w= (..., wg; y,...)
среди строк df,(p) заданы w, ,,, произвольные и
Wey) = —ag; (Pk, my for {i,j} ec A
где каждое а, ..., (р) есть частное определителей (d — 1) X (4 — 1) матриц.
Предположим теперь, что {к, т} £ С. ;, = a, ;,(p) для {i,j} £ 4 дает линейную зависимость между строками df,(p). Нам нужно убедиться, что это собственно напряжение G(p), 1.е. знаки w; ;, подходят. В окрестности р подматрица (d — 1) X (d — 1) df неособа, а строки df остаются линейно зависимыми. Таким образом, для g вблизи p зависимости между строками df (g) также задаются w; ,,, произвольно и w; ;, = ~а; iy (Qwy, my для {i, j} 6 A. Ясно, что каждая G(p,) имеет напряжение с носителем D и wy ,,,, = —1. Поэтому при достаточно большом / ) неположительна для кабеля и неотрицательна для распорок. Полагая / — оо, находим, что а; ;,(p) 1s неположительна для кабелей и неотрицательна для стойки. [7]
Одним из следствий теорем 5.4 и 5.6 является то, что классификация абстрактной тенсегрити-структуры как бесконечно жесткой или бесконечно малой гибкой постоянна на компонентах множества точек общего положения.
Используя теорему 5.4 и существование реальных аналитических изгибов, довольно легко доказать, что бесконечно малая жесткость влечёт за собой жёсткость для каркасов тенсегрити. Впервые это заметил Коннелли [5, замечание 4.1].