5. Общие свойства структур тенсегрити
В этом разделе рассматривается общее поведение фреймворков тенсегрити и рассматриваются такие вопросы, как следующие. Есть ли у каждой абстрактной структуры тенсегрити «общая» классификация? Существует ли «предиктор жесткости» для тенсегрити-фреймворков? Существует ли плотное открытое множество реализаций, для которых согласуются жесткость и бесконечно малая жесткость? Какова топологическая природа множества бесконечно жестких реализаций? Как проективные карты влияют на фреймворки тенсегрити?
Сначала сформулируем некоторые определения. Пусть G = (V; B, C, S) — абстрактная каркас тенсегрити с v вершинами. Для каждого непустого подмножества 4 из EF = BU C U S, мы каким-то образом упорядочиваем элементы в 4 и определяем граничную функцию f: R™ — RM множества А по fap op) = (. , С, §), если rank dfg(p) = max{rank dfg(q): ¢ 6 R™} и говорят, что р находится в общем положении для G = (V; В, С, §), если rank df,(p) = max{rank df,(q): ¢ 6 R™} для любого непустого A C E. Замечание что строки матрицы df.(p) — это векторы 2F, ... для {i,j} 6 E. Таким образом, напряжение каркаса G(p) есть просто линейная зависимость между строками df.(p ).
Далее мы рассмотрим некоторые свойства фреймворков, которые можно назвать «универсальные». Регулярные точки каркаса G образуют плотное открытое подмножество R™ [1, с. 283]. Для регулярных точек мы либо всегда имеем жесткость, либо всегда имеем гибкость [1, следствие 2]. Поскольку жесткость и бесконечно малая жесткость эквивалентны в регулярных точках ([1, теорема] и [2, §3]), мы имеем плотное открытое множество реализаций, для которых классификация постоянна и два понятия жесткости совпадают. Абстрактная структура G является жесткой в общем положении в R", если G(p) является жесткой (или, что то же самое, бесконечно малой жесткостью) в R" для всех регулярных точек p в G. В противном случае говорят, что G является гибкой в общем положении в R". Общая классификация задается «предсказателем жесткости, который включает ранг производной краевой функции [1, теорема]. Так как G(p) бесконечно жесткая, то p — регулярная точка G [2, теорема, § 3], множество бесконечно жестких реализаций G открыто (оно либо пусто, либо совпадает с множеством регулярных точек). Наконец, бесконечно малые свойства каркасов проективно инвариантны.
РИС. 5.1
Первое указание на более сложную природу структур тенсегрити в отличие от других даётся тем фактом, что абстрактные структуры тенсегрити могут не иметь общей классификации в R?. На рис. 5.1 показаны реализации той же абстрактной схемы тенсегрити G = (V; B, C, J), где четыре полосы в B обозначены сплошными линиями, а два троса в C — штрихами. Все реализации, близкие к показанной в (а), являются жесткими в R?, в то время как близкие к показанному в (b) - все гибкие в R%. Таким образом, существуют непустые открытые множества как жестких, так и гибких реализаций. Для всех реализаций p, близких к показанным в (a) и (b), каждое ненулевое напряжение G(p) присваивает внутренним элементам коэффициенты одного знака (в (a) два внутренних элемента - оба троса, и три внутренних элемента). элементы, два стержня и трос, в (b)) и коэффициенты противоположного знака к остальным элементам G(p). Вскоре мы увидим, что распределение знаков этих напряжений объясняет жесткость реализаций вблизи (а) и гибкость реализаций вблизи (б).
Следующая техническая лемма является ключом к нескольким частям первой теоремы
этого раздела.
ЛЕММА 5.1. П усть Y = {y ,...,y ,} C R ". Тогда Y * = Y * тогда и только тогда, когда существуют положительные скаляры \,, . ..,\, с %_Ay , = 0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Если Y* = Y+, то Y** = {Z*_ A yj: A, > 0 при 1 <i <k) является подпоространством. Поэтому для каждого j имеем —y, = St_1 AY» A => 0 для 1 <i <k, что
дает Aj у; +--+ +(1 + А), +--+ +А yp, = 0. Сумма k таких выражений дает линейную зависимость от у,, . . ., у, со всеми положительными коэффициентами.
Наоборот, если Z*x, A, y, = 0 с A, > 0 и pu 6 Y*, то
k k
O=p- 2 Ayi=2 Np-y)
i=1 i=1
Так как А(р-у) > 0 и А, > 0 для всех i, мы имеем pu-y, = 0 для всех i. Поэтому
LEY
С положительной зависимостью в лемме 5.1 тесно связан особый вид
напряжений структур тенсегрити. Собственное ударение w = (...,w(; 5, ...) напряженности каркас G(p) — напряжение G(p), удовлетворяющее w; , <0 для всех {i,j}£C и почему; 5 > Для всех {i, j} 6 S. Заметим, что нулевое напряжение w = (..., 0,...) 1 является собственным напряжение G(p), если C = q = J. Из леммы 5.1 следует, что существует собственное напряжение G(p) тогда и только тогда, когда пространство I(p) бесконечно малых движений G(p) равно пространству бесконечно малых движений G(p). Следующая теорема устанавливает некоторые связи между бесконечно малой жесткостью и жесткостью для каркаса тенсегрити G(p) и оответствующего каркаса G(p). Его можно рассматривать как расширение предсказателя жесткости от фреймворков до фреймворков тенсегрити.
T ЕОРЕМА 5.2. Пусть G(p) — тенсегрити-фреймворк в R". Тогда следующие утверждения эквивалентны:
а) G(p) бесконечно жесткая в Rn;
б) G(p) бесконечно жесткая в Rn и существует собственное напряжение G(p);
в) G(p) бесконечно жесткая в Rn и существует собственное напряжение G(p);
г) G(p) жесткая в Rn, p — регулярная точка G и существует собственное напряжение G(p);
д) G(p) жесткая в Rn, p — регулярная точка G и существует собственное напряжение G(p).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Пусть Y = {—F;;: {i,j} 6BU C}U({F,;: {i,j} 6 BUS}. Тогда
I(p) = Y* и T(p)czY+ в соответствии с комментарием перед определением 4.1. Если я (р) = T(p), то Y*czY* и, значит, Y* = Y. По лемме 5.1 существует положительное
зависимость между элементами Y, которая дает правильное напряжение G (p). Таким образом (а) следует (b) и (b) явно следует (¢). Теперь покажем, что из (с) следует (а). Поскольку G(p) имеет собственное напряжение, существует линейная зависимость между элементами Y с положительными коэффициентами для всех элементов Y, возникающих из тросов и распорок. Каждый столбец {i,j} дает два элемента * F, , Y, поэтому легко найти линейную зависимость между элементами Y со всеми положительными коэффициентами. Таким образом, I(p) = Y* = Y* по лемме 5.1. Также пространство Y+ бесконечно малых движений G(p) равно T(p), так как G(p) бесконечно жесткая в R”. Поэтому I(p) = T(p), т. е. G(p) бесконечно жесткая в Rn. Этим устанавливается эквивалентность (а) — (с).
Так как каркас G(p) бесконечно жёсткий в Rn тогда и только тогда, когда G(p) жёсткий в Rn и p — регулярная точка G (см. [2, теорема, § 3]), (c) и (е) эквивалентны.
Наконец, очевидно, что (d) влечет (e) и все, что остается, это 1, чтобы показать, что если G(p) бесконечно жесткая в Rn, то G(p) жесткая в R". Мы отложим доказательство этого факта. немного, это теорема 5.7. []
Теорема 5.2 объясняет отсутствие общей классификации тенсегрити.
рамки. Обратите внимание, что схема тенсегрити на рис. 5.1(а) имеет правильное напряжение. в то время как на рисунке 5.1 (b) нет. Поэтому наличие собственного ударения для одной реализации (или даже непустого открытого множества реализаций) не означает существования плотного открытого множества реализаций с собственным ударением. Таким образом, бесконечно малая жесткость одной реализации не означает бесконечно малую жесткость плотного открытого множества реализаций. С другой стороны, теорему 5.2 можно рассматривать как своего рода предсказатель жесткости тенсегрити-фреймворков, поскольку она заменяет вопрос об бесконечно малой жесткости 1-тенсегрити-каркаса G(p) вопросом об бесконечно малой жесткости каркаса G(p ) и наличие напряжения G(p) с противоположными знаками на тросах и стойках G(p).
Следующее следствие гласит, что если G(p) — бесконечно жёсткий каркас тенсегрити, то G(p) — бесконечно жёсткий каркас с чрезмерными связями.
СЛЕДСТВИЕ 5.3. Если G (p ) является бесконечно жестким каркасом тенсегрити в R ", то каркас G '(p ), полученный удалением любого троса или распорки из G и заменой оставшихся элементов G стержнями, является бесконечно ж ё стким в R ".
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что G = (V; B, C, S) и пусть G' = (V,E), где E=BU CU S — {{k, m}} для некоторого {k, m} 6 C U S. Если G(p) бесконечно жесткая в R”, то
I(p) = T(p) и существует собственное напряжение G(p). Если up £ I'(p), т. е. u — Fn = 0 для всех {i, j} £ E, то p — Fioom = 0 еще и потому, что G (p) имеет собственное напряжение. Следовательно, un 6 I(p) = T(p), так что G'(p) бесконечно жесткая в Rn. []
До сих пор в этой статье мы думали о структуре тенсегрити G(p) как о
первичным и иногда рассматриваемым ассоциированным каркасом G(p). Альтернативно, можно начать с каркаса и спросить, есть ли на нём бруски, которые можно заменить
тросыами или стойками. Теорема 5.2 утверждает, что если G(p) является бесконечно жестким каркасом с ненулевым напряжением, то существуют стержни G(p), замена которых подходящим образом выбранными тросами и распорками приводит к бесконечно малому жёсткому каркасу тенсегрити. На самом деле, согласно теореме 5.2, таким образом возникает любой бесконечно жёсткий тенсегрити-каркас.
Далее исследуем топологическую природу множества бесконечно жестких
реализации абстрактной структуры тенсегрити. Используемые приемы близки
связанные с теми, кто занимается правилом Крамера для решения систем линейных уравнений.
ТЕОРЕМА 5.4. Пусть G = (V ; B , C , S ) — абстрактный каркас тенсегрити с v вершинами. Тогда множество {p £R ™: G (p ) бесконечно жесткая в Rn } бесконечно жестких реализаций группы G открыто в R ™.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Предположим, что G(p) бесконечно жёсткая в R". Тогда p — регулярная точка G и, скажем, rank dfg(p) = k, где E = BU C U S. Тогда некоторая k X k подматрица матрицы |Е| X nv матрица dfg(p) невырожденна, для простоты пусть это подматрица, образованная первыми k строками и столбцами. Тогда w ? R®! является напряжением G( p) тогда и только тогда, когда A(p)w = 0, где A(p) — k X | Э| матрица, которая является транспонированной матрицей состоящая из первых k столбцов df;(p). Пусть a(p) — неособый k X k матрица, состоящая из первых k столбцов матрицы A(p). Умножая на а(р)~', находим что множество решений w линейной системы A(p)w = 0 есть
. = (w}, ..., wg) E RIEl: wo. arbitrary for k <i < |E]|
|E|
и
w, = — a;(p)w, for 1 “ick
Jj=k+1
где aj(p) — определитель матрицы, полученной заменой i-го столбца a(p) на j-й столбец A(p), дел`нный на определитель a(p). Поскольку G(p) бесконечно ж`сткая в Rn, существует собственное напряжение G(p) по формуле
теоремы 5.2. Это означает, что некоторый выбор w,,,,..., wg даёт решение w = (0, ..., wg) задачи A(p)w = 0 с w, < 0 (соответственно > 0) для я переписка- к тросам (соответственно распоркам) G(p). Тот же выбор w, , , . . ., вг| BIV представляет собой решение w = (wy, . . ., © gp) уравнения A(g)w = 0 с ; отрицательное для тросов и положительное для распорок при условии, что q достаточно близко к p, поскольку
|E|
Ww =- > a, (q)w;, 1 <i <k,
j=k+1
определяет (непрерывно зависит) от g для g вблизи p. Это даёт правильное напряжение G(q) для ¢
возле стр.
Остаётся лишь напомнить, что множество бесконечно жёстких реализаций каркаса G — это просто открытое множество регулярных точек G ([1, следствие 2] и [2, теорема, §3]). По теореме 5.2 заключаем, что G(q) - бесконечно жёсткая в Rn для всех q, достаточно близких к р.
РИС. 5.2
Бесконечно гибкие реализации структуры тенсегрити могут не быть открытыми. Например, структура тенсегрити G(p) в R? с тремя коллинеарными
вершины, показанные на рис. 5.2, бесконечно малы в R2%. Но существуют
реализации q группы G, сколь угодно близкой к p, для которых G(q) бесконечно жесткая в R? (как показано на рисунке 5.1(а)). Однако верно, что бесконечно малые гибкие реализации, находящиеся в общем положении, образуют открытое множество. Доказательство опирается на следующую лемму о напряжениях с минимальным числом ненулевых координат. Поддержка напряжения w= (... Wi, - +») каркаса тенсегрити,
обозначается supp w, есть множество {{i, j}: w; , # 0} элементов с ненулевыми коэффициентами.
ЛЕММА 5.5. Пусть G = (V ; B , C , S ) — абстрактная структура тенсегрити и