ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2. Каркас тенсегрити G(p) является статически ж ё стким в R", если равновесная сила для каждого узла р есть разрешимая сила для G(p), т.е. если Т(р)*czR.
Теперь мы можем установить эквивалентность бесконечно малой жёсткости и статической жёсткости для каркасов тенсегрити. Доказательство опирается на стандартные результаты конечномерной теории выпуклости. Пусть для подмножества X C R”
XT" ={p?ER"p-x>0forallx ? xX}
Если X — замкнутый выпуклый конус в R" и х, £ R" — X, то стандартное разделение результаты (см., например, [8, теорема 1, с. 11] или [11, теорема 11.3, с. 97]) влекут что существует up 6 R" с р 6 X *, но р — х, < 0. Вооружившись этим, вполне легко показать, что
1) для Y CR" и X замкнутый выпуклый конус в R", Y cz X тогда и только тогда, когда XTCY*;
ii) для Y Cc R", Y * 7 — наименьший замкнутый выпуклый конус в R", содержащий Y.
Наконец, геометрически очевидно, но не совсем тривиально доказать (см. [11, теорема 19.1, с. 171]), что (ii) если ¥ = {y,...,y} является конечным подмножеством R”, то выпуклый конус {Z%_, А, у;: А, > 0 при 1 < i < к), порожденный Y, замкнут в R" и поэтому равен Y + 7).
T ЕОРЕМА 4.3. П усть G (p ) — каркас тенсегрити в R ", где G = (V ; B , C , S ). Тогда G (p ) бесконечно ж ё сткая в R " тогда и только тогда, когда G (p ) статически жесткая в R ".
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Пусть Y = {—F ,: {i,j} 6EBU C}yU{F, , {i,j} 6 BUS}. Тогда
пространство I( p) бесконечно малых движений группы G(p) есть Y * и множество R разрешимых сил для G(p) есть выпуклый конус, порожденный Y. В силу (i) имеем Y* = I(p) C T(p) тогда и только тогда, когда T(p)*czI(p)* = Y**. Но T(p)* = T(p)*, так как T(p) есть подпространство и Y +" = AR в силу (iii). Следовательно, всякое бесконечно малое движение принадлежит T(p) тогда и только тогда, когда всякая равновесная сила разрешима. [7]
Аналогичный аргумент показывает, что равновесная сила F; ,, не является разрешимым
сила для G(p) тогда и только тогда, когда существует бесконечно малое движение yu группы G(p), которое мгновенно уменьшает расстояние между pj и pj, т. е. удовлетворяет Fy; ,-р = (р; =р) (1, — 1) <0.