M (p ) для некоторого t , £ (0, 1].
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Тот факт, что из (а) следует (б), следует из результатов выбора пути в алгебраической геометрии, хотя требуется небольшая предварительная работа, поскольку X(p) не является алгебраическим множеством. Пусть 4 — алгебраическое множество в R™*I<1*IS| состоящую из таких точек (Xps eos Xoo оо Viigp eos Zp my + +) 6 RHIC, что |x, —x, |? "=" |p, = pall® для всех {g, h} 6 B, |x, — x] + y2_, = lp, — p, |I* для всех {i, j} 6 C и |[х, — х, 11* = z{kmy = Рх — Р11* для всех {к, т} £ S. Ясно, что если (х, . . ., х,) ? X(p), то (x, ..., x,,... sYGgy cc Zim + ) ? A, где Yi |p: = pI” = lx = x для {i,j} 6 Cand 22 , \ = lx, — x, = |p — po? для
{к, т} £ §. Обратно, если (x;,...,x,... SVigy co Zim oo .)£A, то Йен и Zi my те же, что и раньше, и (х,..., х,) £ X(p). Теперь предположим, что G(p) не жесткая в R”. Тогда всякая окрестность точки р в R™ содержит точки X(p)—M(p) и, таким образом, каждая окрестность (p, 0)=(p;,...,p,...,0,...,0,...) в R™*ICI+ISI содержит точки 4 — М(р, 0), где М(р, 0) — алгебраическое множество M(p) x RI?I*ISI Следовательно, по лемме выбора кривой Милнора [10, лемма 3.1, с. 25], существует реальный аналитический путь
(Xp eves Xs oo es Vip vv os Zek mys +e ) [0, 1] — RM HICIHIS]
начиная с (р, 0) и принадлежащих 4 — М(р, 0) при +£(0, 1]. Тогда х(р) =
(x(2), . . ., x, (7) есть вещественный аналитический путь с x(0) = p и x(t) 6 X(p) — M(p) ? (0, 1].
Ясно, что из (b) следует (c), а из (c) следует (d). Наконец, если выполнено (d), то существует до ?[0, ¢,) такое, что x(7y) является последней точкой в M(p) при увеличении ¢. Так как x(zy) = (x1(%), --->X,(£p))£M(p), то существует жесткое движение L: R" — R" с Lx(zt) = Pi ^ 1 <i <wv. Следовательно, Lx = (Lx, ..., Lx,) отображает (¢, ¢,] в X(p) — M(p) и Lx(t) = p. Таким образом, всякая окрестность p пересекает X(p) — M(p), поэтому G(p) не
жесткая в R". []
4. БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ЖЁСТКОСТЬ И СТАТИКА .
Концепция бесконечно малой гибкости для структур тенсегрити возникает из понятия гибкости путем сосредоточения внимания на тангенциальных условиях, налагаемых неравенствами, определяющими X (p). Предположим, что G = (V; B, C, S) — абстрактный каркас тенсегрити с ov вершин и p 6 R™. Пусть x = (x, ..., Xx,) — гладкая функция на [0, 1] с x(0) = p и x(x) 6 X(p) при t 6 [0, 1]. Исследуя производную от ||x,(r) — x;(¢)||* при t = 0, находим, что
(x:(0) — x,(0)) - (x{(0) = x;(0)) = (p; — p;)- (x/(0) — x;(0))
равен нулю при {i,j} 6 B и меньше или равен нулю (соответственно больше
больше или равно нулю) для {i,j} 6 C (соответственно S). Таким образом, гладкое изгибание G(p) ставит в соответствие вектор скорости gp = x/(0) 6 Rn каждой вершине p из G(p) в таком способ которым
=0 for {i,j} ? B,
(pi =p) (wy — wp) <0 for {ij} EC, (4.1)
>0 for {ij} ?S.
Согласно определению 3.1 изгиб x(#) каркаса тенсегрити G(p) начинается в точке p, принадлежит X(p) для всех ¢, но не принадлежит M(p) для всех + > 0. В том же духе, мы требуем, чтобы бесконечно малое изгибание p мгновенно удовлетворяло ограничениям, налагаемым членами, т. е. удовлетворяло (4.1), но не принадлежало касательному пространству T(p) многообразия M(p) в точке p. Пусть
I(p) = { p ? R™: p satisfies (4.1) },
есть пространство бесконечно малых движений группы G(p). Заметим, что касательное пространство T(p)czI(p), так как, если и £ Т(р), то (р, — р;) — (уу; — ру) = 00 для всех 1 < i,j < wv.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Предположим, что G(p) — это каркас тенсегрити в R". Назовём G(p) бесконечн о ж ё стк ой в Rn, если T(p)= I(p), и бесконечно малой гибкости в Rn в противном случае. Элементы I(p) — T(p) называются бесконечно малыми изгибаниями G(p).
Одним из непосредственных следствий определения 4.1 является то, что замена кабелей и распорки каркаса тенсегрити сохраняют свою бесконечно малую классификацию. Более формально, если G = (V; B, C, S) и G' = (V; B, C', S'), где C' = Sand §' = C тогда G(p) бесконечно жесткая в Rn тогда и только тогда, когда G'(p) бесконечно жесткая в Rn.
Далее мы представляем несколько простых примеров фреймворков тенсегрити. Через бумажные стержни будут обозначены сплошными линиями, тросы — штрихами, а распорки — двойными линиями. Структура тенсегрити G(p) в R*, показанная на рис. 4.1, одновременно жесткая и бесконечно жесткая в R? как и структура тенсегрити G’(p), полученная перестановка тросов и распорок G(p). Теперь рассмотрим G(p) и G'(p) как каркасы тенсегрити в R> (с четырьмя копланарными вершинами). Тогда G(p) жесткая но бесконечно гибкая в R’. (Присвоение любой вершине ненулевого
вектор, перпендикулярный плоскости четырех вершин, и нулевые векторы к
оставшиеся вершины дают бесконечно малое изгибание G(p).) Однако G'(p) 1s оба
гибкая и бесконечно гибкая в R’. Таким образом, «взаимозаменяемость» тросов и распорок не работает для жестких тенсегрити-каркасов. §§ 6 и 7 содержат еще много примеров.
Gp)
РИС. 4.1
Одним из основных результатов изучения каркасов является эквивалентность бесконечно малой жесткости и «статической жесткости» (которая определяется как разрешимость всех равновесных сил). Аналогичный результат для каркасов тенсегрити, кажется, играет даже более важную роль в теории, и его доказательство также более интересно. Прежде чем установить эту эквивалентность, мы определим основные понятия статики для фреймворков тенсегрити.
Мы начинаем с создания в каждом элементе тенсегрити-структуры G(p) в R"
сила растяжения или сжатия, направленная вдоль элемента, при условии, что
в кабеле допускается только растяжение и только сжатие в стойке. Точнее,
предположим, что каждому {i,j} 6 BU C U § соответствует скаляр w, ; такой, что
ви; у(р, — р;) 1s — сила, действующая на вершину р со стороны стержня; (и w,,,,(p; — p,) 1s сила, действующая на p). Если ш, ;; < 0 сила называется растяжением в элементе, а если w;, ;, > 0 — сжатием в элементе. Напряжением каркаса тенсегрити G(p) в R" называется набор w = (..., w; ,,, ...) скаляров, по одному для каждого {i,j} 6 E = BU C U S, такой, что w; ,, < 0 (соответственно > 0) для всех {i,j}£C (соответственно S') и мы,
(2; —p;) =0, 1 <i <wo. (4.2)
(Jj: {LJ}EE)
Условие (4.2) говорит о том, что силы в каждой вершине находятся в равновесии, т. е. их сумма равна нулю. Удобно заменить v уравнений в R" в (4.2) одним уравнением в R". Для этого положим
Fiipny=1(x,...,x,) ER" xX: XR" = R"™
где х, = 0 для k #i,j, х, = р, —р и х; =р, — р. Тогда w = (-..wg +) 18 напряжение G(p) тогда и только тогда, когда ww; ,, < 0 для кабелей, ш;; 1 > 0 для стоек и
> wupFu,y=0
(i,j}EE
Затем мы позволяем внешним силам действовать на вершины тенсегрити-структуры G(p) в R». Поскольку нас интересует статика, мы ограничиваем наше внимание системами внешних сил, которые находятся в «равновесии». Вектор F = (F, ..., F,) 6 R" 1 является равновесной силой для p = (p,..., p,) 6 R™, если F 6 T(p)™*, ортогональное дополнение касательного пространства Т(р) в точке р к многообразию точек, конгруэнтных р (Читатель, привыкший думать о силах равновесия в измерениях два и три в терминах моментов, может счесть это определение странным.
удобно с этим, следует проверить, что для p = (p, ..., p,) ERY F = (F,,..., F)£T(p)" тогда и только тогда, когда приложение сил F , к вершинам p, создает нулевой крутящий момент вокруг каждой оси, что эквивалентно 3°_, F. = 0 и
i=1 ££
27_1p, X F,=0
где «XX» обозначает перекрестное произведение в R’. Точно так же для p=(p,....p) ER® F=(F,...,F)? T(p)" тогда и только тогда, когда 3%_, F. = 0 и 3v_1p, — F¥ = 0, где (а, Ь)* = (Ь, — а) для (а, Ь) £ R2) Вектор F = (F| ,..., F)) 6 R™ является разрешимой силой для каркаса тенсегрити G(p) в Rn, если существуют скаляры w; ;, {i,j} 6 E= BU C U S, такие что wi, 3 < 0 (соответственно > 0) для всех {i, j} 6 C (соответственно S) и
> wi y(pi — py) =F, I <i<w,
ERTL
или, что экввиалентно
2 wupFuy=F
{i,j} EE
Заметим, что напряжение системы тенсегрити G(p) — это просто единичная сила F = (0, ..., 0) ? R™.
Пространство Т(р)* равновесных сил для р является векторным пространством. С другой стороны, множество A разрешимых сил для G(p) является выпуклым конусом, а значит, является выпуклое множество, замыкающееся при умножении на неотрицательные скаляры. Нетрудно показать, что всякая разрешимая сила для G(p) является равновесной силой для p. Каждому F, ..., £ Т(р)~, так как для up £ Т(р) имеем
Foy p= (Pp; — pj) (1 — i) = 0
в комментарии перед определением 4.1. Поскольку всякая разрешимая сила F для G(p)
1s является линейной комбинацией векторов F (i,j) {i,j} 6 BU CU S§, имеем R C
Т(р)*. Статическая жёсткость определяется обратным включением.