Каркасы (рамки) тенсегрити
Б. РОТ У.У A Й ТЛИ
АННОТАЦИЯ . Каркас тенсегрити состоит из стержней, которые сохраняют расстояние между определенными парами вершин, а также тросов , обеспечивающих верхнюю границу расстояния между некоторыми другими парами вершин, и распорок, которые дают нижнюю границу расстояния между другими парами вершин. Настоящая статья устанавливает некоторые основные результаты, касающиеся жёсткости, гибкости, бесконечно малой жёсткости и бесконечно малой гибкости структур тенсегрити. Затем эти результаты применяются к ряду вопросов, проблем и предположений, касающихся структур тенсегрити на плоскости и в пространстве.
1. ВВЕДЕНИЕ
Жёсткость и гибкость каркасов активно изучались в последние годы и, хотя многие вопросы остаются без ответа, в настоящее время получен значительный объём полезных и интересных результатов. Однако наши знания о каркасах тенсегрити (состоящих из стержней, которые сохраняют расстояние между определёнными парами вершин, а также тросов, обеспечивающих верхнюю границу расстояния между некоторыми парами вершин, и распорок, которые дают нижнюю границу расстояния между другими парами вершин) находится в зачаточном состоянии. Структуры Тенсегрити, очевидно, представляют интерес для архитекторов и инженеров (например, см. Calladine [4] и Fuller [6]); и, пожалуй, более удивительным является их появление в работе скульптора Кеннета Снельсона. Симбиоз обоычных рам и каркасов тенсегрити стал очевиден только в последнее время. Например, недавняя работа Коннелли [S] о жёсткости каркасов, заданных триангулированными поверхностями, в значительной степени опирается на каркасы тенсегрити. С другой стороны, одна из тем данной статьи заключается в том, что знание обвчных каркасов часто улучшает и наше понимание структур тенсегрити. Это взаимовыгодное взаимодействие между изучением ферм и структур тенсегрити, вероятно, останется важной чертой предмета.
Настоящая статья устанавливает некоторые основные результаты, касающиеся структур тенсегрити, а затем применяет их к нескольким открытым проблемам и гипотезам на плоскости и в пространстве. Более конкретно, в §3 определяется жёсткость и гибкость для структур тенсегрити и показывается, что эти понятия инвариантны при различных изменениях в определениях. В § 4 после определения бесконечно малой жёсткости и бесконечно малой гибкости для каркасов тенсегрити устанавливается эквивалентность бесконечно малой жёсткости и статической жёсткости для каркасов тенсегрити, используя стандартные результаты конечномерной теории выпуклости. В §5 рассматриваются соотношения между бесконечно малой жёсткостью и жёсткостью тенсегрити-каркаса G(p) и каркаса G(p), полученного из G(p) заменой всех его элементов (стержней, тросов и распорок) стержнями. Помимо прочего, показано, что G(p) бесконечно жёсткая тогда и только тогда, когда G(p) бесконечно жёсткая и существует напряжение G(p), которое ставит в соответствие отрицательный коэффициент каждому кабелю G(p) и положительный коэффициент каждой стойке G(p). В §5 также исследуются различные общие свойства структур тенсегрити. В частности, мы идентифицируем плотное открытое множество реализаций, для которых жёсткость и
бесконечно малые жесткости эквивалентны. §6 фокусируется на плоских структурах тенсегрити и подробно рассматриваются некоторые открытые проблемы и гипотезы, касающиеся напряжённых многоугольников, исследованных Гринбаумом и Шепардом [9]. Наконец, в §7 рассматриваются рамки тенсегрити в трёхмерном пространстве.
*Классификация предметов математики 1980 года: первичный 51F99; вторичная 52А25, 70Б15.
*Первый автор благодарен Бранко Грюнбауму и Вашингтонскому университету за гостеприимство во время его творческого отпуска.
2. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ
Абстрактная структура тенсегрити G = (V; B, C, §) есть множество VV = {1,...,v}, элементы которого называются вершинами, вместе с попарно непересекающимися множествами B, C и S двухэлементных подмножеств V, называемых стержнями, тросами и распорками соответственно. Элемент абстрактной структуры тенсегрити 1s элемент множества E = BU C U S. Когда C = § = J, мы часто ссылаемся на G = (V; B, C, S) в качестве абстрактного каркаса и запишем G = (V, B). Структура тенсегрити G(p) в R" — это абстрактная структура тенсегрити G = (V; B, C, S) вместе с Точка
p =(p,...,p,) ER" X ++ XR"=R",
G(p) есть реализация G в R", полученная размещением вершины i в точке p в R". Мы часто называем G(p) каркасом в R*, если C = § = &.
Для абстрактной структуры тенсегрити G = (V; B, C, S) мы обозначим через G
абстрактный каркас G = (V, B), где V = 7V и B = BU CU S. Таким образом, G(p) есть
каркас в R» получается заменой всех элементов тенсегрити
каркас G(p) в R” стержнями.
На протяжении всей статьи |4| обозначает мощность множества 4.
3. ЖЁСТКОСТЬ И ГИБЕОСТЬ .
Жёстким движением L пространства Rn называется отображение L: Rn — Rn, удовлетворяющее условию |Lx — Ly|| = ||х — у|| для всех х, у £ R". Будем говорить, что р = (р, ..., р,) и ф = (q, —> qt) в R™ конгруэнтны, если существует жёсткое движение L: R” — Rn такое, что Lp, = q, при 1 < i < wv. Обозначим через М(р) гладкое многообразие в R™ точек, конгруэнтных р. Алгебраическое множество — это множество общих нулей набора многочленов. Тогда M(p) — алгебраическое множество
{q =(qp----9,) ER" |p; — pill? = lg; — gll%, I <i,j< v}.
Пусть G(p) является каркасом тенсегрити в R». Каждая строка G(p) сохраняет
расстояние между парой вершин, а каждый трос (соответственно, стойка) устанавливает верхнюю границу (и соответственно нижнюю границу) расстояния между парой вершин. Таким образом, мы приходим к выражениям:
X(p)={x=(x;...,x) ER": |x; = x|| = |p; — p;ll for all
{i,j} ? B, |x; — x;|| < lp; — pjll forall {i,j} ? C
and ||x; — x;|| > lp; — pl for all {i,j} ? S},
множества точек в R™, удовлетворяющих ограничениям, накладываемым элементами
каркаса тенсегрити G(p). Неявным в нашем определении X(p) является требование,
что трос (или распорка), соединяющий вершины p; и р; имеет длину ||p, — p,||. Поскольку твёрдые движения сохраняют расстояние, мы имеем M(p)czX(p).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Пусть G(p) будет каркасом тенсегрити в R». G(p) жесткая в Rn, если существует окрестность U точки p в R™ такая, что X(p) Nn U = M(p) n U. G(p)
1 является гибким в Rn, если существует непрерывный путь х: [0, 1] > R™ такой, что x(0) = p и x(t) 6 X(p) — M(p) для всех t+ 6 (0, 1]. Такой путь называется изгибанием G(p).
Некоторые авторы называют гибкие рамки «механизмами» и используют слово
«жесткий» как синоним жесткого. Некоторые примеры жесткой и гибкой тенсегрити
каркасы даны в следующем разделе после определения 4.1. Следующее
предложение устанавливает эквивалентность нежесткости и гибкости, а также дает две другие эквивалентные формы определения гибкости для структур тенсегрити.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.2. П усть G (p ) — структура тенсегрити в пространстве R ". Тогда следующие утверждения эквивалентны:
а) G (p ) не является жесткой в Rn ;
b ) существует вещественный аналитический путь х: [0, 1] — Rn ™ такой, что х(0) = р и х(/) 6 X (рР) — М(р) для всех t 6 (0, 1] ;
c ) G (p ) гибкая в R ”,
d ) существует непрерывный путь x : [0, 1] — X (p ) такой, что x (0) = p и x (t ) &