ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.1.1. Пусть G(p) — любой независимый стержневой каркас с изгибом второго порядка (p',p") в R d . Тогда существует аналитическое изгибание p(t) в G(p) с
p (0) = p
D t [ p ( t )]│ t =0 = p ’
D t 2 [ p ( t )]│ t =0 = p ’ ’
Доказательство. Пусть
МG(p) = { q E Rdv | |qi — qj] = |pi —pj| для элементов (i, j) }
— множество всех конфигураций, эквивалентных G(p). Согласно [1] или [29], поскольку G(p) независима, МG(p) есть гладкое аналитическое многообразие с размерностью не менее d(d + 1)/2 в окрестности p (когда размерность аффинной оболочки р не меньше d — 1), и мы можем естественным образом отождествить касательное пространство Тр к МG(p) в точке р с изгибами первого порядка G(p).
Пусть h: Тр → МG(p) — гладкое аналитическое отображение такое, что выполняются следующие условия:
(a) В окрестности точки p в Тр h является вещественным аналитическим диффеоморфизмом на окрестность точки p в МG(p).
(b) Отождествление касательного пространства к Тр с самим собой h(p) = p и dhp(p') = p' для всех p' E Тр, где dhp — дифференциал h по p.
Например, этими свойствами обладает экспоненциальная функция.
Пусть q(t) = p + tp' + 1/2t2p'’ — гладкий аналитический путь в Тр при q(0) = p,
Dt [q(t)]│t=0 = p’ и Dt2[q(t)]│t=0 = p’’, которые мы найдём позже. Также зададим p(t) = h(q(t)), которое является гладким аналитическим изгибом G(p) с p(0) = p. Тогда
Dt [p(t)]│t=0 = Dt [h(q(t))]│t=0 = dhq(t)(Dt[q(t)]) (9)
и
Dt [p(t)]│t=0 = dhp(p’) = p’
по условию (b). Так как p(t) E МG(p), то p(t) является аналитическим изгибом G(p) и, значит, вторые производные квадратов длин рёбер равны нулю. Переформулируя это через матрицу R(p), мы получаем:
R(Dt [p(t)]) Dt [p(t)] + R(p(t)) Dt2[p(t)] = 0.
что при t = 0 даёт
R(p’)p’ + R(p)r" = 0,
где r” = Dt2[p(t)]│t=0. Мы должны выбрать q" так, чтобы r" = p" как заданному вектору. Вспоминая, что (p',p") является изгибом G(p) второго порядка, мы видим, что для любого q"
R(p’)p’ + R(p)p” = 0 = R(p’)p’ + R(p)r”,
откуда
R(p)(p” — r") = 0. (10)
Дифференцируя (9) снова, получаем
Dt2[p(t)] = Dt [dhq(t)] Dt [q(t)] + dhq(t) Dt2[q(t)].
Применяя цепное правило к каждому элементу матрицы dhq(t), мы видим, что Dt[dhq(t)]│t=0 зависит только от р’ и не зависит от q’’. Пусть s" будет значением второй производной p(t) (то есть r") при q" = 0 и t = 0, то есть
s = Dt [dhq(t)] Dt [q(t)]│t=0
Оно тоже не зависит от выбора q’’. Тогда мы должны решить линейное уравнение
p” = s” + dhp(q”) = s’’ + q’’
относительно q”. Напомним, что dhp является тождественным отображением согласно условию (b). В силу (10), (p',s") является изгибом второго порядка G(p), а p" — s" является изгибом первого порядка R(p) и, следовательно, принадлежит Tp. Таким образом, находим q” = p” — s”. Тогда p(t) является искомым изгибом, как определено выше.
Замечание 6.1.1. Один из способов сделать наглядным приведённое выше доказательство — подумать о добавлении некоторой кривизны q’’ к кривой q(t), чтобы отменить кривизну MG(p) и получить заданную вторую производную p’’. Для наших целей не требуется, чтобы p(t) действительно была аналитической - lостаточно, чтобы она была только дважды дифференцируемой.
Таким образом, мы изложили результаты в более общей форме в духе Определения 2.1.2 (c). Кажется естественным, что должно существовать обобщение этого результата на любое число производных.
6.2. Гипотеза Рота .
Теперь мы можем доказать гипотезу Рота в общем случае.