T ЕОРЕМА 4.4.1. Если тенсегрити-каркас G ( p ) устойчив к предварительному напряжению, то он является жёстким второго порядка.
Доказательство. Пусть w — предварительное напряжение, стабилизирующее G(p). Тогда из комментариев к определению устойчивости к предварительному напряжению следует, что w также стабилизирует подкаркас G(p), состоящий из тех же стержней и всех тросов и распорок с wij # 0. Таким образом, без ограничения общности можно считать, что w - строгое (например, wij # 0 на всех тросах и распорках G).
Предположим, что (p',p") является изгибом второго порядка G(p), где p' - нетривиальный изгиб первого порядка. Мы хотим найти противоречие. Согласно стресс-тесту первого порядка, (pi − pj)(pi’ − pj’) = 0 для всех элементов G (поскольку wij # 0 на всех тросах и распорках). Таким образом, по условию второго порядка
≤ 0 для тросов (I, j)
Ipi’ − pj’I2 + (pi − pj)(pi’’ − pj’’) = 0 для стержней (I, j)
≥ 0 для распорок (I, j)
для всех элементов (I, j) в группе G. В любом случае, поскольку w является правильным для всех элементов (I, j) группы G, то
wij |pi’ − pj’|2 + wij (pi − pj)(pi − pj) ≤ 0.
Но так как p' является нетривиальным изгибом G(p) первого порядка и поскольку w является стабилизирующим собственным напряжением для G(p), то
wR(p)p' = ∑ij wij |pi’ − pj’|2 = (p’)TΩp’ > 0
согласно Предложению 3.4.2. Напомним, что wR(p) = 0, и
0 < wR(p’)p’ = wR(p')p' + wR(p)p’’ = ∑ij wij (pi’ − pj’)2 + wij (pi − pj)(pi’’ − pj’’) ≤ 0.
Таким образом, мы получили противоречие, а значит, G(p) является жёсткой второго порядка. Теорема доказана
Замечание 4.4.1. Оказывается, существуют тенсегрити-каркасы, не устойчивые к предварительному напряжению при любом предварительном напряжении, но при этом сохраняющие жёсткость второго порядка. Например, этим свойством обладает структура в примере на Рис. 9b. Два «тетраэдрических» блока устойчивы к предварительному напряжению, следовательно, на этих блоках все изгибы второго порядка тривиальны. Любой такой изгиб второго порядка должен доходить до поворота вокруг общей точки 0, однако, это нарушает условие распорки или троса на ненагруженных соединительных элементах первого порядка.
Однако, в §5.3 мы увидим, что если пространство изгибов первого порядка или пространство собственных внутренних напряжений одномерно, то жёсткость второго порядка и устойчивость к предварительному напряжению совпадают. Это также поможет нам найти примеры стержневых каркасов, которые являются жёсткими второго порядка, но не устойчивыми к предварительному напряжению.
5. СТРЕСС-ТЕСТ (ТЕСТ НАПРЯЖЕНИЙ).
5.1. Двойственность в линейной алгебре.
Сначала сформулируем некоторые известные принципы двойственности в линейной алгебре, которые мы позже будем интерпретировать как «стресс-тест» («тест напряжений») на жёсткость второго порядка. Эти принципы двойственности являются частным случаем принципов двойственности, используемых в линейном программировании.
Пусть A - вещественная матрица с размерам dxe, имеющая блочную форму:
A = A0
A+
где A0 и A+ — некоторые обозначенные подмножества строк матрицы A. В наших приложениях A будет соответствовать матрице жёсткости, причём A0 описывает строки, соответствующие стержням G, а A+ - описывает пронумерованные строки распорок и тросов G, со строками для распорок, умноженными на —1. Однако, для общих утверждений этого раздела нам пока не потребуются никакие специальные свойства A.
Теперь мы можем переформулировать стресс-тест первого порядка в этом несколько более общем контексте. Будем использовать обозначение для вектора (x1, x2,...) < 0, если xi < 0 для всех I =1,2,...