T ЕОРЕМА 4.3.1. Если каркас тенсегрити G ( p ) является жёстким второго порядка, то он является жёстким.
Доказательство. Предположим, что G(p) не является жёстким (затем мы покажем, что G(p) не является жёстким второго порядка, найдя изгиб второго порядка (q', q") такой, что q' не является 1-тривиальным в точке p).
Поскольку G(p) не является жёстким, мы знаем, что G(p) имеет нежёсткий аналитический изгиб p(t), согласно Определению 2.1.2 (c) (подробнее см. [6] или [9]). Определим для l =1,2,...
p(l) = Dt l p(t)|t=0
Предположим, что p',...,p(k) является k-тривиальным для всех k = 1,2,.... Тогда для любых (i, j), а не только для элементов G, при всех k =1,2,...
Dt k [ |pi(t) − pj(t)|2] |t=0 = 0,
откуда следует, что |pi(t) — pj(t)|2 постояннo по t, а значит, p(t) является жёстким аналитическим изгибом, что противоречит нашему выбору p(t). Таким образом, для некоторого к ≥ 1 изгиб р’,..., р(k) не является k-тривиальным.
Пусть теперь k будет наименьшим положительным целым числом, таким, что p’,...,p(k) не является k-тривиальным при фиксированном k (если k = 1, жизнь становится особенно лёгкой). Согласно Предложению 4.2.1, мы можем изменить p(t) так, что только p’,...,p(k-1) не только будет (k -1)-тривиальна, но и будет выполняться p’ = … = p(k-1) = 0 (при k = 1 ничего не делаем). Заметим, что согласно Лемме 4.2.3, 0 = p’,...,p(k-1) ещё не является k-тривиальным .
Заметим, что для любого элемента (i, j)
Dt k [ |pi(t) − pj(t)|2] |t=0 = ∑l=0k k (pi(l) − pj(l))(pi(k-l) − pj(k-l)) = 2(pi − pj)(pi(k) − pj(k)).
l
Следовательно, p(k) является изгибом первого порядка G(p). По Лемме 4.2.2, p(k) не является 1-тривиальным.
Пусть q’ = p(k). Приступим к нахождению q”. Мы ещё должны обратить внимание на условия, аналогичные условиям первого порядка. Напомним, что E0 — множество стержней G, E_ — множество тросов G, E+ — множество распорок G. Для каждого n = k, k + 1,..., 2k − 1 зададим
En = { (I, j) ? E0UE_UE+ │ (pi − pj)(pi(l) − pj(l)) = 0 для l = 1,…, n-1
(pi − pj)(pi(n)− pj(n)) # 0 для l = n.
Заметим, что когда m = 1,..., n и (I, j) ? En, или когда (I, j) — стержень, то
Dt m [ |pi(t) − pj(t)|2] |t=0 = ∑l=0m m (pi(l) − pj(l))(pi(m-l) − pj(m-l)) = 2(pi − pj)(pi(m) − pj(m)) =
l
= 0, если (i, j) ? E0
= 0, если m = 1, 2,..., n−1 и (i, j) ? En
< 0, если m=n и (i, j) ? En∩E_
> 0, если m=n и (i, j) ? En∩E+
так как либо p(l) = 0, либо p(m-l) = 0 при l = 1,..., m−1 ≤ 2k—1 (заметим, что в любом En есть только тросы или распорки). Другими словами, только для этих элементов из En справедливо строгое изгибание G(p) первого порядка p(n).
Найдём последовательность действительных чисел ε1 >> ε2 >>… >> εk-1 > 0 и определим
r' = p(k) + ε1p(k+1) + ε1p(k+2) +…+ εk-1p(2k-1),
где εi >> εi+1 означает, что εi+1 выбрано достаточно малым, чтобы последующие неравенства оставались выполненными. Мы видим, что r’ также является (нетривиальным) изгибом G(p) первого порядка. Действительно, мы требуем, чтобы для элемента (i, j) в G
< 0 для (i, j) ? (EkU…UE2k-1)∩E_
(pi − pj)(ri’ − rj’) = > 0 для (i, j) ? (EkU…UE2k-1)∩E+ (7)
= 0 в других случаях
Чтобы увидеть, что это возможно, проведём доказательство по индукции. Определим для n = k, k+1,..., 2k+1
r'(n) = p(k) + ε1p(k+1) +... + εn-k p(n),
где r’(k) = p(k). Потребуем, чтобы для элементов (I, j) в G
< 0 для (I, j) ? (EkU…UEn)∩E_
(pi − pj) (ri’(n) − rj’(n)) > 0 для (I, j) ? (EkU…UEn)∩E+ (8)
= 0 в других случаях
Но это верно для n = k, и если εn+1 > 0 выбрано достаточно малым, то можно удовлетворить (8) для n + 1, предполагая, что оно верно для n. Другими словами, для каждого троса и распорки G либо г' является строгим, либо г' и р’,..., р(2к−1) такие, как для стержня (I, j), удовлетворяющего условиям первого порядка.
Зададим теперь большое действительное число B > 0 и определим
q’’ = 2 / 2k p(2k) + Br’.
k
Вспоминая, что q' = p(k), проверим, что (q', q") является изгибом второго порядка G(p) при достаточно большом B. Для (i, j) ? EkU…UE2k-1 найдём
(pi − pj)(qi’’ − qj’’) + |qi’ − qj’|2 = 2 / 2k (pi − pj)(pi(2k) − pj(2k)) + B(pi − pj)(ri’ − rj’) + |qi’ − qj’|2 > 0 для (I, j) ? E_∩(EkU…UE2k-1) k
< 0 для (I, j) ? E+∩(EkU…UE2k-1)
если B выбрано достаточно большим в (7).
Если элемент (i, j) принадлежит G, но (i, j) ¢ EkU…UE2k-1, то (pi − pj) (ri’ − rj’) = 0 и (pi − pj)* *(pi(l) − pj(l)) = 0 при l = 1,..., 2k−1. Тогда
Dt2k[ |pi(t) − pj(t)|2] |t=0 = ∑l=02k 2k (pi(l) − pj(l))(pi(2k-l) − pj(2k-l)) = 2(pi − pj)(pi(2k) − pj(2k)) +
+ 2k |pi(k) − pj(k)|2 = 2k [(pi − pj)(qi − qj) + |qi’ − qj’|2] ≤ 0, если (i, j) ? E_ \ (EkU…UE2k-1)
K k = 0, если (i, j) ? E0 \ (EkU…UE2k-1)
≥ 0, если (i, j) ? E+ \ (EkU…UE2k-1)
Таким образом, в любом случае выполняются условия второго порядка, поэтому (q', q") является изгибом второго порядка G(p) и q' не является 1-тривиальным. Теорема доказана.
Замечание 4.3.1. Общая схема приведенного выше доказательства такая же, как в [6], за исключением того, что тросы и распорки могут вызывать сложности. Например, дифференцирование длины ребра позволяет обнаружить любой трос или распорку, но это вызывает появление соответствующего знака производной где-то от уровня k до 2k. Поэтому промежуточные уровни от k+1 до 2k−1 нужно вводить в (q',q") осторожно.
4.4. Устойчивость к предварительному напряжению и жёсткость второго порядка.
Покажем, что устойчивость к предварительному напряжению – более сильное требование, чем жёсткость второго порядка.