ПРЕДЛОЖНЕНИЕ 3.2.1. Энергетическая функция Н* имеет строгий локальный минимум с точностью до совпадения, если квадратичная форма
H ( p *) = ∑ ij 2 wij ( pj * – pi *) ( pj * – pi *) + ∑ ij 4 cij [( pj – pi )( pj * – pi *)] 2
рассматривается как функция координат p *, удовлетворяющая условию H ( p *) ≥ 0 для всех p * и H ( p *) = 0 тогда и только тогда, когда p * — тривиальное бесконечно малое изгибание G ( p ). Другими словами, H положительно определена на любом дополнении тривиальных бесконечно малых изгибов.
Заметим, что fij для каждого троса и распорки является монотонной функцией с отличной от нуля производной. По этой причине мы можем считать, что собственное напряжение является строгим и правильным, или, другими словами, w отлично от нуля и имеет правильный знак для каждого троса и распорки.
Квадратичная форма H называется гессианом энергетической функции H*. Видно, что H сам по себе не описывается в виде суммы функций элементов G, как для энергии, то есть энергетический принцип неприменим непосредственно к H. И применяется он только потому, что H* может локально аппроксимировать H.
Перепишем формулу для H в терминах матрицы жёсткости C как диагональной матрицы размером dvxdv из элементов cij, строки и столбцы которой соответствуют элементам G. Если (i, j) является элементом G, то диагональные элементы С есть cij. Тогда
H = 2wR(p*)p* + 4(p*)TR(p)TCR(p)p* = 2(p*)TΩp* + 4(p*)TR(p) TCR(p)p* = (p*)T[2Ω + 4R(p)TCR(p)] p*.
При проектировании конструкций матрица R(p)TCR(p) называется матрицей жёсткости каркаса, Ω - геометрической матрицей жёсткости, или матрицей напряжений, а 2[Ω + 2R(p)TCR(p)] - тангенциальной матрицей жёсткости. Матрица R(p)TCR(p) заведомо положительно полуопределена с изгибами первого порядка в её ядре. Если каркас имеет бесконечно малую жёсткость, то Ω = 0 и её можно использовать, как описано выше. Для нас интересные случаи, когда имеются нетривиальные бесконечно малые изгибы и ненулевые собственные напряжения.
Замечание 3.2.1. Формулировка Предложения 3.2.1 относится к особому виду устойчивости, соответствующему инженерной концепции жёсткости первого порядка [30]. Если найти градиенты функции энергии VH как силы Fi в i-м узле (вершине), то набор сил в первом приближении определяется смещением вершин p*:
Fi = VH = 2 ∑ij wij (pj* – pi*) + 4 ∑ij cij [(pj – pi)(pj* – pi*)] (pj – pi).
Рассматривая все силы как один вектор-столбец F = (F1T,..., FvT)T, мы получаем:
F = [2Ω + 4R(p)TCR(p)] p*.
Все равновесные нагрузки (напряжения) возможны тогда и только тогда, когда матрица [2Ω + 4R(p)TCR(p)] обратима при ограничении ортогональным дополнением к тривиальным движениям - в этом случае деформация p* разрешает нагрузку F, то есть это допустимая физическая реакция конструкции, соответствующая положительной работе силы. Видно, что это возможно тогда и только тогда, когда р* имеет то же направление, что и F, то есть р*F ≥ 0 с равенством только при F = 0. Это просто другая формулировка того, что H положительно определена на дополнении к тривиальным движениям.
Если Н положительно полуопределена только на дополнении к тривиальным бесконечно малым движениям, то существует направление р*, в котором энергия не изменяется вплоть до второй производной. Реально может оказаться, что для энергии есть ещё эффекты третьего или более высокого порядка, также создающие жёсткость. Однако, если значение Н неопределено (не существует), то всегда существует направление р*, в котором энергия строго убывает.
Замечание 3.2.2. Можно понимать правило энергетических функций также с точки зрения физики. Если Н строго убывает в направлении р*, то любая гладкая функция энергии Н* с равновесными напряжениями wij как первыми производными и с коэффиуциентами жёсткости сij как вторыми производными для каждого элемента будут иметь локальный максимум в точке p вдоль линии p + tp*. Если высвободить эту энергию в направлении p*, то каркас будет продолжать двигаться в поисках меньшей общей энергии. Также можно интерпретировать поведение каркаса с точки зрения множителей Лагранжа.
3.3. Определение устойчивости к предварительному напряжению.
Известно, что если Q — квадратичная форма в конечномерном векторном пространстве, то существует симметричная матрица A такая, что Q(p) = pTAp, где p —вектор координат, записанный в представлении некоторого базиса векторного пространства. Если Q(p) ≥ 0 для всех векторов p, то Q (или A) называется положительно полуопределённой. Нулевое множество Q — это множество векторов p таких, что Q(p) = 0. Если Q положительно полуопределена и нулевое множество состоит только из нулевого вектора, то Q называется положительно определённой.
Определение 3.3.1. Будем говорить, что структура тенсегрити G(p) устойчива к предварительному напряжению, если существует правильное собственное напряжение (самонапряжение) w и неотрицательные скаляры cij. где (i,j) — элементы G(p), такое, что функция энергии, рассматриваемая как квадратичная форма в координатах p*
H = ∑ij wij (pj* – pi*)2 + ∑ij cij [(pi – pj)(pi* – pj*)]2
положительно полуопределена, cij = 0, когда wij = 0, где (i, j) — трос или распорка, и в ядре H находятся только тривиальные бесконечно малые изгибы p. В этом случае мы говорим, что w стабилизирует G(p) (здесь мы для упрощения не учитываем множители 2 и 4 в §3.2, поскольку их можно отнести соответственно к wij и cij).
Замечание 3.3.1. Если в Н для некоторого элемента (i, j) wij = 0 при cij > 0, то для применения энергетического принципа этот элемент должен быть стержнем. Например, представьте себе трос, у которого нет ненулевого собственного напряжения - конечно, он не будет жёстким, но он был бы устойчив к предварительному напряжению даже с нулевым собственным напряжением, если бы мы не настаивали на том, что может быть cij = 0, когда wij = 0. Вот почему данное определение настаивает на том, что каждый трос или распорка с нулевыми напряжениями не должны участвовать в формуле. Таким образом, если какой-либо каркас G(p) является устойчивым к предварительному напряжению, стабилизированным при собственном напряжении w, то мы можем так изменять G(p), чтобы иметь распорками только те элементы, в которых wij < 0, и тросами только те элементы, в которых wij > 0, удаляя все тросы или распорки с нулевым напряжением.
Заметим также, что если мы рассматриваем ненапряжённые элементы как не входящие в G, то увеличение любого cij сохраняет H положительно определённым (конечно, если оно уже было таковым). И если нас интересует только распознавание жёсткости каркаса, то можно предположить, что все они равны друг другу. Таким образом, если w стабилизирует G(p) при всех напряжённых тросах и распорках с коэффициентами жесткости сij, тогда w / max (cij) стабилизирует G(p) при всех коэффициентах жёсткости, равных единице (для упрощения).