3.2. Матрица жёсткости и разложение матрицы напряжений.
Будем использовать энергетический принцип для функций H*(p), которые имеют минимум, согласно критерию второй производной (положительной). Пусть уравнение (2) определяет функцию энергии, где каждое fij дважды непрерывно дифференцируемо и выбрано так, что первая производная fij’(рj – рi)2 = wij для каждого элемента, причём скаляры wij # 0 для всех тросов и распорок, а вторая производная fij’’(рj – рi)2 = cij > 0 для всех элементов. Заметим, что (3) гарантирует, что w является строгим и правильным напряжением. Здесь предполагается, что p — это конкретная (фиксированная) конфигурация (форма) структуры.
Чтобы найти локальный минимум энергии, нужно сначала найти критическую точку. Заметим, что точка p является критической точкой для H* тогда и только тогда, когда производная по направлению в точке p равна нулю для всех направлений p*. Следовательно, нам нужно найти производную по направлению от этой функции энергии в направлении p*, начиная с p.
Зададим p(t) = p + tp*. Тогда Dt (p(t)) = p*, где Dt - дифференцирование по t. Вычислим производную H*(p(t)) по t:
Dt (H*(p(t))) = ∑ij fij’(│pj(t)│2) [2 (pj(t) – pi(t)) (pj* – pi*)].
Производная по направлению представляет собой значение этой функции при t = 0:
Dt (H*(p(t)))t=0 = ∑ij fij’(│pj – pi│2) [2 (pj – pi) (pj* – pi*)].
Поскольку fij’ |pj – pi|2 = wij, с учётом (1) получим:
Dt (H*(p(t)))t=0 = 2 ∑ij wij (pj – pi) (pj* – pi*) = 2wR(p)p*.
Согласно сказанному выше, p является критической точкой H* тогда и только тогда, когда 2wR(p)p* = 0 для всех p*, то есть тогда и только тогда, когда wR(p) = 0, то есть тогда и только тогда, когда w является собственным напряжением в G(p).
Поскольку w является собственным напряжением для G (p), то остаётся проверить знак второй производной, необходимый для строгого минимума H * в точке p с точностью до соответствия. Для каждого направления p* нужно найти вторую производную по пути p(t), а затем вычислить её при t=0 и p(0)=p:
Dt 2(H*(p(t)))t=0 = ∑ij fij’’(│pj – pi│2) [2(pj – pi)(pj* – pi*)] 2 + ∑ij fij’ (│pj – pi│2) 2│pj* – pi*│2 = ∑ij 4cij [(pj – pi)(pj* – pi*)] 2 + ∑ij 2wij (pj* – pi*) (pj* – pi*).
Постоянную сij часто называют коэффициентом жёсткости элемента ( i , j ), поскольку в физике она обычно является функцией модуля Юнга материала элемента, его остаточной длины и площади поперечного сечения.
Жёсткие конгруэнции (соответствия) р образуют подмножество в пространстве всех конфигураций, и ясно, что Н* постоянна на этом подмножестве. Таким образом, когда p* — тривиальное бесконечно малое изгибание G(p), легко видеть, что и первая, и вторая производные H* вдоль пути в направлении p* равны нулю (это можно показать и прямым вычислением).
Теперь рассмотрим следующее предложение.