Задание 13. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями.
Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, вычисляется по формуле:
.
Замечание. При вычислении длины кривой, заданной параметрическими уравнениями, нижний предел интегрирования должен быть меньше верхнего предела интегрирования.
Пример. Вычислить длину дуги астроиды, заданной уравнениями:
.
Решение.
Вычислим производные функций:
.
Вычислим подынтегральную функцию:
.
.
Следовательно, длина дуги 
(ед.).
Задание 14. Вычисление объема тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями в декартовых координатах.
Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная линиями 
, 
, 
, 
, где 
- непрерывная функция. Если ее вращать вокруг оси абсцисс, то получим тело вращения (рис.7), объем которого вычисляется по формуле:
Рис.7
Если криволинейную трапецию, ограниченную линиями 
, 
, 
, 
, где 
- непрерывная функция, вращать вокруг оси ординат, то получим тело вращения (рис.8), объем которого вычисляется по формуле:
Рис.8
Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная линиями , , 
, 
, где 
(рис.9), то объем полученного тела вращения вычисляется по формуле:
.
Рис.9
Пример. Криволинейная трапеция, ограниченная осью абсцисс и кривой 
вращается вокруг оси 
. Найти объем полученного тела вращения.
Решение. На рис.10 изображена криволинейная трапеция, которая вращается вокруг оси .
Рис.10
Точки пересечения кривой с осью : 
.
Следовательно, пределы интегрирования: 
.
Искомый объем тела вращения:
(куб.ед.).
Пример. Криволинейная трапеция, ограниченная осью ординат и кривой 
вращается вокруг оси 
. Найти объем полученного тела вращения.
Решение. На рис.11 изображена криволинейная трапеция, которая вращается вокруг оси .
Рис.11
Кривая — это парабола с вершиной (-4;2), которая пересекает ось ординат в точках 
Следовательно, пределы интегрирования: 
.
Искомый объем тела вращения:
(куб. ед.).
Пример. Фигура, ограниченная линиями 
и 
,вращается вокруг . Найти объем полученного тела вращения.
Решение. На рис.12 изображена фигура, которая вращается вокруг оси .
Рис.12
Точки пересечения параболы и прямой 
.
Следовательно, пределы интегрирования: 
.
Искомый объем тела вращения вычислим по формуле:
.
(куб. ед.).
2. Несобственный интеграл. Сходимость несобственного интеграла.
Задание 15. Сходимость несобственного интеграла.
Несобственные интегралы по бесконечному промежутку.
Пусть функция 
непрерывна на промежутке 
, тогда очевидно, что при любом 
имеет смысл интеграл 
. Будем расширять промежуток 
, увеличивая . Тогда, если существует предел: 
, то этот предел называется несобственным интегралом от функции 
по бесконечному промежутку и обозначается: 
.
Отметим, что если указанный предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Пример. Выяснить сходимость несобственного интеграла 
.
Решение.
.
Следовательно, исходный интеграл – сходится.