Задание 8. Замена переменной.
Пусть выполняются следующие условия:
1) функция 
непрерывна на отрезке 
;
2) функция 
непрерывна вместе со своей производной 
на отрезке 
;
3) 
, 
;
4) функция 
определена и непрерывна на отрезке .
Тогда 
.
Пример. 
.
Решение.
.
Задание 9. Интегрирование по частям.
Определенный интеграл по частям вычисляется по формуле:
,
где 
— непрерывно дифференцируемые функции на отрезке 
. Случаи, в которых следует применять интегрирование по частям, такие же, как в неопределенном интеграле.
Пример. 
.
Решение.
.
Задание 10. Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными в декартовых координатах.
В декартовой системе координат элементарной фигурой является криволинейная трапеция (рис.1), ограниченная линиями 
, 
, 
, 
, площадь которой вычисляется по формуле:
Рис.1
Площадь фигуры (рис.2) вычисляется по формуле:
Рис.2
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
Решение. Построим чертеж к задаче (рис. 3).
— это парабола (ветви направлены вверх, вершина находится в точке с координатами (0;-2));
— прямая, проходящая через начало координат.
Найдем точки пересечения кривых. Для этого решим систему уравнений: 
.
Отсюда 
Площадь фигуры вычислим по формуле:
(кв.ед.).
Рис. 3
Задание 11. Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрическими уравнениями.
Если фигура ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями, то площадь вычисляется по формуле:
Пример. Вычислить площадь эллипса, заданного параметрическими уравнениями: 
.
Решение. Дан эллипс с полуосями: большая — 
, малая — 
. Сделаем чертеж к задаче (рис.4).
Рис. 4
В силу симметричности фигуры вычислим 
площади. Найдем пределы интегрирования:
так как 
, то 
;
.
.
.
Следовательно, площадь 
(кв.ед.).
Задание 12. Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах.
В полярной системе координат элементарной фигурой является криволинейный сектор (рис.5), площадь которого вычисляется по формуле:
Рис. 5
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линией 
Решение. Так как 
определяет расстояние до соответствующей точки, то 
. Следовательно, область определения функции определяется неравенством 
. Общее решение этого неравенства имеет вид:
где 
.
Отсюда 
. Так как в полярной системе координат выполняются ограничения на область изменения 
, то область допустимых значений функции 
в полярной системе координат состоит из трех промежутков, описывающихся соответствующими неравенствами:
Выбрав несколько значений 
из указанных промежутков, построим график функции (рис. 6).
Рис.6
В силу симметричности фигуры вычислим 
площади, где полярный угол 
.
.
Следовательно, площадь всей фигуры 
(кв.ед.).