Задание 6. Интегрирование тригонометрических выражений.
Пусть 
— рациональная функция своих аргументов.
1) Интегралы вида 
, где m и n - целые числа.
Рассмотрим два случая:
а) Среди чисел m, n есть хотя бы одно нечетное. Тогда отделяем от нечетной степени один сомножитель и выражаем с помощью формулы 
оставшуюся функцию в четной степени. Вводим новую переменную и приходим к табличному интегралу.
Пример. 
.
Решение.
.
б) Оба числа m, n- четные неотрицательные.
Применим формулы:
.
Пример. 
.
Решение.
.
2) Интегралы вида 
, где 
и 
входят в подынтегральную рациональную функцию, только в четных степенях.
Делается замена: 
.
При этом 
.
Пример. 
.
Решение.
.
3) Интегралы вида 
, где и входят в подынтегральную рациональную функцию в нечетных степенях.
Делается универсальная тригонометрическая подстановка: 
. В результате сводится к интегралу от рациональной дроби.
При этом 
.
Пример. 
.
Решение.
.
Приводим к общему знаменателю подынтегральную функцию. А поскольку дроби равны и их знаменатели равны, то равны и числители:
.
Два многочлена равны, когда равны коэффициенты при соответствующих степенях:
.
Получаем:
.
Задание 7. Интегрирование иррациональных выражений.
Рассмотрим некоторые типы интегралов, которые надлежащей подстановкой могут быть сведены к интегралам от рациональных функций, а, следовательно, могут быть выражены через элементарные функции. Пусть R(u) — рациональная функция переменной u. Возможны несколько случаев.
1) Интегралы вида: 
и 
, где 
и 
– рациональные функции от 
и 
, соответственно, а 
— натуральное число.
С помощью подстановок 
и 
указанные интегралы сводятся к интегрированию рациональных функций от t и z, соответственно.
Пример. 
.
Решение. Сделаем замену 
, откуда 
, 
. В результате получим:
.
Исходный интеграл сведен к интегралу от рациональной функции – неправильной дроби, которую интегрируем с помощью выделения ее целой части:
.
Таким образом, 
, где 
.
Пример. 
.
Решение.
Полагая 
, имеем 
, 
, 
.
Откуда:
.
Таким образом, мы пришли к интегралу от рациональной функции переменной t, представленной неправильной дробью. Интегрируем ее методом выделения целой части:
.
Таким образом, 
, где .
Пример. 
.
Решение. Сделаем замену 
, откуда 
, 
, 
.
Имеем:
, где 
.
2) Если в подынтегральную функцию входят радикалы с разными показателями вида 
, 
и т.д. или 
, 
и т.д.
Сводим к интегрированию рациональных функций от переменных tи z с помощью подстановок 
и 
соответственно, где k - наименьшее общее кратное показателей корней, т.е. чисел n, p, …
Пример. 
.
Решение. Показатели радикалов подынтегральной функции равны 2 и 3. Их наименьшее общее кратное (наименьшее число, которое делится на 2 и на 3) равно 6. Поэтому произведем замену переменной 
. Тогда 
, 
, 
, 
.
Следовательно,
, где 
.
Пример. 
.
Решение. Показатели радикалов подынтегральной функции равны 2 и 4. 
. Поэтому производим замену переменной 
. Тогда 
, 
.
Следовательно,
, где .
3) Интеграла вида 
.
— рациональная функция от 
и 
, 
- натуральное число и выполнено неравенство 
.
С помощью замены переменной 
нахождение такого интеграла сводится к интегрированию рациональной функции от t .
Пример. 
.
Решение. Положим 
, откуда 
, 
, 
, 
.
Следовательно,
,
где 
.
Пример. 
.
Решение. Полагая 
, имеем 
, 
, 
.
Тогда
, где 
.
4) Тригонометрические подстановки.
Интегралы 
, 
, 
приводятся к интегралам от рациональных функций относительно 
и 
с помощью следующих тригонометрических подстановок:
для интеграла 
: 
;
для интеграла 
: 
;
для интеграла 
: 
.
Пример. 
.
Решение. Это интеграл второго типа. Поэтому применим подстановку 
.
Тогда 
.
.
Следовательно,
, где 
.
Пример . 
.
Решение. Этот интеграл первого типа и поэтому применим подстановку 
.
Тогда 
, 
.
Следовательно,
, где 
.
1. Определенный интеграл и его приложения
Если 
— некоторая первообразная функции 
, непрерывной на отрезке 
, то определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница:
.
Пример. 
.
Решение.
.