Задание 5. Интегрирование рациональных дробей.
Выражения вида 
; 
, где а - вещественное, k,l - натуральные числа, а квадратный трехчлен 
не имеет действительных корней, назовем простейшими сомножителями.
Известна основная теорема алгебры: любой многочлен 
степени n можно разложить в произведение простейших сомножителей:
,
где 
- число; 
.
Дроби вида 
, где k, l - натуральные числа, - простейший сомножитель, будем называть простейшими рациональными дробями.
Дробь 
называется правильной, если 
(m и nстепени многочленов, стоящих в числителе и в знаменателе, соответственно). Если 
, дробь называется неправильной.
Каждую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби: 
.
Теорема. Любая правильная рациональная дробь 
может быть представлена в виде суммы простейших рациональных дробей.
Эта сумма строится следующим образом в два этапа:
1) каждый простейший множитель вида 
порождает следующую сумму из 
слагаемых:
;
2) каждый сомножитель вида 
порождает следующую сумму из 
слагаемых:
.
В результате мы получим следующее разложение правильной дроби на простейшие:
.
Пример. Разложить дробь 
на простейшие дроби.
Решение. Так как дробь является неправильной, то сначала выделим целую часть (для этого достаточно найти частное и остаток от деления числителя на знаменатель):
.
Разложим знаменатель на простейшие сомножители:
.
Тогда
;
.
Две дроби, имеющие одинаковые знаменатели, равны, значит равны их числители:
.
Два многочлена тождественно равны тогда, когда у них совпадают коэффициенты при одинаковых степенях 
, следовательно, можно записать следующую систему уравнений:
.
Решая ее, находим: 
.
Окончательно получим: 
.
Из разложения следует, что интегрирование правильных рациональных дробей сводится к интегрированию простейших дробей.
Интегрирование простейших дробей:
I. 
;
II. 
;
III. 
.
Этот интеграл вычисляется методом выделения полного квадрата.
IV. 
, квадратный трехчлен не имеет действительных корней.
Первый интеграл берётся заменой:
,
второй интеграл вычисляется по формуле:
В результате получили формулу, в которой подынтегральное выражение имеет степень на единицу меньше. К нему вновь применяем ту же формулу пока не получим в знаменателе степень равную единице.
Пример. 
.
Решение. Подынтегральная дробь является правильной, так как степень многочлена в числителе меньше, чем в знаменателе. Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:
.
Составим систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов:
.
Отсюда 
.
Следовательно, 
.
Теперь вычислим исходный интеграл:
.
Пример. 
.
Решение. Сначала разложим дробь на простейшие:
.
.
.
Решая систему, получим: 
.
Тогда исходный интеграл примет вид:
.
Пример. 
.
Решение. Так как дробь является неправильной, то сначала выделим целую часть. В результате получим:
.
Теперь вычислим интеграл:
.
Пример. 
.
Решение. Подынтегральная дробь является правильной, так как степень многочлена в числителе меньше, чем в знаменателе. Разложим дробь на простейшие:
.
.
.
Решая систему, получим: 
.
Тогда исходный интеграл примет вид:
.