Неопределенный, определенный и несобственные интегралы.
Министерство образования и науки российской федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ
Методические указания
по теме: Неопределенный, определенный и несобственные интегралы.
Волгодонск
Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Функция 
называется первообразной функции 
на некотором интервале 
, если 
для всех значений 
. Если — первообразная , то очевидно, что бесконечное множество всех первообразных 
, отличающихся только константой, также будет первообразной . Множество всех первообразных функций 
называется неопределенным интегралом от функции и обозначается 
. При этом называется подынтегральной функцией, 
— подынтегральным выражением, 
— переменной интегрирования.
Согласно вышеприведенному:
,
где — некоторая первообразная функции ; 
— произвольная постоянная.
Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:
1) 
.
2) 
.
3) 
, где 
.
4) 
.
5) 
.
Таблица основных неопределенных интегралов:
1) 
| 2) 
|
3) 
| 4) 
|
5) 
| 6) 
|
7) 
| 8) 
|
9) 
| 10) 
|
11) 
| 12) 
|
13) 
| 14) 
|
Основные методы интегрирования.
Задание 1. Непосредственное интегрирование.
Непосредственное интегрирование предполагает использование свойств неопределенного интеграла, таблицы интегралов и различных формул из элементарной математики.
Пример. 
.
Решение. Воспользуемся формулой сокращенного умножения (квадрат суммы), свойствами степеней, свойствами 3-4 и формулой 1 таблицы интегралов:
Пример. 
.
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:
.
Следовательно, используя формулы 7 и 8 таблицы интегралов, получим:
Пример. 
.
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, раскрыв скобки, и воспользуемся формулами 2 и 4 таблицы интегралов:
.
Задание 2. Интегралы с квадратным трехчленом.
Интегралы с квадратным трехчленом - это интегралы вида: 
, 
, 
.
Для вычисления этих интегралов необходимо выделить в квадратных трехчленах знаменателей полный квадрат. В первых двух случаях квадратный трехчлен перепишется в виде: 
, в третьем случае он будет иметь вид: 
. В результате интегралы сводятся к табличным интегралам.
Замечание. Если коэффициент при 
в квадратных трехчленах не равен 1, то его предварительно нужно вынести за знак интеграла.
Пример. 
.
Решение. Выделим полный квадрат в знаменателе и воспользуемся формулой 10 таблицы интегралов:
Пример. 
.
Решение. Выделим полный квадрат в подкоренном выражении и воспользуемся формулой 14 таблицы интегралов: 
.
Пример . 
.
Решение. Выделим полный квадрат в подкоренном выражении и воспользуемся формулой 12 таблицы интегралов:
.