6. Первый и второй замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций.
Вопросы к экзамену (I к., I с.)
1. Множества, операции над множествами. Стандартные множества. Действительные числа. Абсолютная величина числа и его свойства. Окрестность. Понятие функции. Способы задания функций.
2. Комплексные числа, операции над комплексными числами. Три формы задания комплексных чисел.
3. Числовая последовательность и ее пределы. Основные теоремы. Арифметические операции над пределами последовательностей.
4. Бесконечно малые и бесконечно большие переменные величины и их свойства. Неопределенности и правила их раскрытия. Предел функции при х>а и х -» со.
5. Правый и левый пределы функции, бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы о пределах функций.
6. Первый и второй замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций.
7. Непрерывность функций. Свойства непрерывных функций. Разрывы функций и классификация точек разрыва функций. Свойства непрерывных функций на замкнутом отрезке.
8. Элементарные функции и их графики. Правила преобразования графиков.
9. Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.
10. Таблица производных.
11. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой. Метод Ньютона, производные и дифференциалы высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления (т. Ролля, Лагранжа, Коши).
12. Раскрытие неопределённостей. Правило Лопиталя. Формула Тейлора.
13. Возрастание и убывание функции. Необходимые и остаточные условия возрастания и убывания функции. Экстремумы функции (max. min). Необходимые условия существования экстремумов функции; Y наибольшее, Y наименьшее экстремумов функции.
14. Исследование функции на экстремум с помощью второй производной. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.
15. Пример исследования функции и построение графика.
16. Длина дуги, производная и дифференциал дуги. Кривизна кривой. Радиус кривизны.
17. Понятие неопределенного интеграла, его свойства. Таблица неопределенных интегралов. Замена переменных в неопределенном интеграле, формула интегрирования по частям.
18. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен. Метод неопределенных коэффициентов для интегрирования рациональных дробей.
19. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование иррациональных выражений. Тригонометрические подстановки.
20. Определенный интеграл и его свойства. Приближенные вычисления определенных интегралов. Формула прямоугольников и формула трапеций.
21. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла. Замена пе-ременных и интегрирование по частям в определенном интеграле. Несобственные интегралы.
22. Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление длины дуги.
23. Вычисление объемов (по площадям поперечных сечений; тел вращения). Приложение определенного интервала в механике.
24. Знакопостоянные ряды. Основные понятия и определения. Необходимый признак сходимости, достаточный признак сходимости (Признак Даламбера, Коши).
25. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница. Знакопеременные ряды.
26. Функциональные ряды. Системные ряды. Интервалы и радиус сходимости. Свойства системных рядов.
27. Формула Тейлора. Ряды Тейлора и Макларена. Формула Эйлера. Приложение рядов Тейлора и Макларена.
28. Ряды Фурье на отрезке (- п; п). Ряды Фурье для четных и не четных функций. Разложение в ряд Фурье
непериодической функции.