Система счисления – это правило записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков – цифр.
Людьми использовались различные способы записи чисел, которые можно объединить в несколько групп:
· унарная,
· непозиционные,
· позиционные.
Унарная - это система счисления, в которой для записи чисел используется только один знак – I ("палочка").
Следующее число получается из предыдущего добавлением новой I, их количество (сумма) равно самому числу.
Именно такая система применяется для начального обучения счету детей (можно вспомнить "счетные палочки");
Но, унарная система важна также в теоретическом отношении, поскольку в ней число представляется наиболее простым способом и, следовательно, просты операции с ним.
Кроме того, именно унарная система определяет значение целого числа количеством содержащихся в нем единиц, которое не зависит от формы представления.
Для записи числа в унарной системе в дальнейшем будем использовать обозначение Z1.
Из непозиционных наиболее распространенной можно считать римскую систему счисления. В ней некоторые базовые числа обозначены заглавными латинскими буквами:
· 1 – I,
· 5 – V,
· 10 – X,
· 50 – L,
· 100 – C,
· 500 – D,
· 1000 – M.
Все другие числа строятся комбинаций базовых в соответствии со следующими правилами:
· если цифра меньшего значения стоит справа от большей цифры, то их значения суммируются; если слева – то меньшее значение вычитается из большего;
· цифры I, X, C и M могут следовать подряд не более трех раз каждая;
· цифры V, L и D могут использоваться в записи числа не более одного раза.
Например, запись
· XIX соответствует числу 19,
· MDXLIX – числу 1549.
Запись чисел в такой системе громоздка и неудобна, но еще более неудобным оказывается выполнение в ней даже самых простых арифметических операций.
Отсутствие нуля и знаков для чисел больше M не позволяют римскими цифрами записать любое число (хотя бы натуральное).
По этим причинам теперь римская система используется лишь для нумерации.
В настоящее время для представления чисел применяют, в основном, позиционные системы счисления.
Позиционными называются системы счисления, в которых значение каждой цифры в изображении числа определяется ее положением (позицией) в ряду других цифр.
Наиболее распространенной и привычной является система счисления, в которой для записи чисел используется 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
Число представляет собой краткую запись многочлена, в который входят степени некоторого другого числа – основания системы счисления.
Например,
272,12 = 2·102+7·101+2·100+ 1·10-1+2·10-2
В данном числе цифра 2 встречается трижды, однако, значение этих цифр различно и определяется их положением (позицией) в числе.
Количество цифр для построения чисел, очевидно, равно основанию системы счисления.
Также очевидно, что максимальная цифра на 1 меньше основания.
Причина широкого распространения именно десятичной системы счисления понятна – она происходит от унарной системы с пальцами рук в качестве "палочек".
Однако в истории человечества имеются свидетельства использования и других систем счисления – пятеричной, шестеричной, двенадцатеричной, двадцатеричной и даже шестидесятеричной.
Общим для унарной и римской систем счисления является то, что значение числа в них определяется посредством операций сложения и вычитания базисных цифр, из которых составлено число, независимо от их позиции в числе.
Такие системы получили название аддитивных.