Ос­новные свойства частот событий.

Дата: 2025-05-01; Просмотры: 4

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

1. Частота любого события представляет собой неотрицательное число, не превосходящее 1, причем частота невозможного события равна 0, а частота достоверного события равна 1.

2. Частота появления одного из несовместных событий, безразлич­но какого именно, равна сумме их частот.

Это следует непосредствен­но из того, что число появлений сложного события, представляющего собой появление какого-нибудь из несовместных событий, равно сум­ме чисел появлений этих событий.

3. Частота совместного появления двух событий А и В равна ча­стоте одного из них, умноженной на условную частоту другого.

Для доказательства достаточно заметить, что если при п опытах А появи­лось т раз, а В – k раз, причем l раз вместе с А, а к – l раз без А, то частота совместного появления А и В равна l / п, частота А рав­на m/n, а условная частота В относительно А равна l/т.

Очевидно, что если частота события в данной серии опытов рав­на 0 (или 1), то из этого не следует, что событие невозможно (до­стоверно).

Так, например, если при пяти бросаниях монеты герб не появился ни разу, то из этого не следует, что появление герба невоз­можно.

1.8. Вероятность события.

Экспериментально установлено:

· При малом числе опытов частота события принимает со­вершенно случайно различные значения,

· При неограниченном уве­личении числа опытов она проявляет тенденцию стабилизироваться около некоторого характерного для данного события значения.

Допустим, что некоторый опыт неограниченно повторяется и после каждого опыта вычисляется частота события с учетом всех уже произведенных опытов.

При этом обнаруживается, что вначале, когда число произведенных опытов мало, случайный результат каждого опыта существенно изменяет частоту события.

Однако но мере возрас­тания числа опытов влияние результата каждого нового опыта умень­шается.

Так, например, результат тысячного опыта изменяет частоту меньше, чем на 0,001.

Частота как бы стремится перестать быть слу­чайной и стабилизируется около некоторого значения.

Устойчивость частот событий дает основание считать, что с каж­дым событием связано некоторое число — вероятность этого собы­тия, — около которого стремится стабилизироваться его частота.

Так, например, частота появления герба при бросании монеты, очевидно, должна стабилизироваться около 1/2. Следовательно, вероятность по­явления герба равна 1 /2.

Вероятность события А обозначается Р{А). Это, конечно, не ис­ключает применения сокращенных обозначений, например Р{А) = р и т.п.

Понятие вероятности события является первичным в теории ве­роятностей и поэтому не нуждается в определении.

Вероятность события в данном опыте — его объективная харак­теристика. Она имеет вполне определенное значение независимо от того, собираемся мы производить опыты или нет.

1.9. Выборочное среднее.

Совокупность значений наблюдаемых величин, полученных в ре­зультате опытов, называется выборкой.

Получив выборку, необходимо прежде всего определить положе­ние значений случайной величины на числовой прямой и их рассеи­вание, т.е. размеры занимаемой ими области.

За характеристику положения экспериментальных точек обычно принимают среднее арифметическое значение случайной величины, называемое выборочным средним.

Предположим, что случайная ве­личина X приняла в результате п опытов значения х₁ , … , х_{n .}

Тогда выборочное среднее определяется формулой

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

_n

М(Х)=∑ x_iр_{i =} x₁р₁ + x₂р₂+…+ x_nр_n

i=1

1.10. Выборочные дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

За экспериментальную характеристику рассеивания значений скалярной случайной величины обычно принимают среднее арифметическое значение квадратов отклонений экспериментальных значений случайной величины от выборочного среднего.

Эта харак­теристика называется выборочной дисперсией случайной величины.

Если в результате п опытов случайная величина X приняла зна­чения х₁ , … , х_{n ,} то ее выборочная дисперсия определяется формулой

Или же используя понятие вероятности

Получится, что дисперсия - это средний квадрат отклонений от среднего значения.

(Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от математического ожидания этой случайной величины).

То есть вначале рассчитывается среднее значение, затем берется разница между каждым исходным и средним значением, возводится в квадрат, складывается и затем делится на количество значений в данной совокупности.

Разница между отдельным значением и средней отражает меру отклонения.

В квадрат возводится для того, чтобы все отклонения стали исключительно положительными числами и чтобы избежать взаимоуничтожения положительных и отрицательных отклонений при их суммировании.

Затем, имея квадраты отклонений, мы просто рассчитываем среднюю арифметическую величину квадрата отклонений.

Однако в чистом виде дисперсия не используется.

Это вспомогательный и промежуточный показатель, который используется для других видов статистического анализа.

Недостатком выборочной дисперсии с практической точки зре­ния является отсутствие наглядности — она имеет размерность квад­рата случайной величины.

Поэтому за практическую характери­стику рассеивания значений случайной величины обычно принима­ют выборочное среднее квадратическое отклонение, представляющее собой положительный квадратный корень из выборочной диспер­сии, σ* = Ö d_x^*