Наблюдаемые в реальном явлении отклонения от закономерности, вызываемые совместным действием бесчисленного множества неучтенных факторов, и представляют собой случайные явления.
1. ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЙ
1.1. Случайные явления
Примеры случайных явлений. Человек в своей практической деятельности на каждом шагу встречается со случайными явлениями. Без них не протекает ни один процесс.
1. Простейшим примером случайных явлений служат ошибки измерений.
Мы знаем, что абсолютно точных измерений не существует, и чем точнее измерительный прибор, тем это более заметно.
Измеряя один и тот же параметр предмета, например, взвешивая его на аналитических весах много раз, мы всегда получаем близкие, но различные результаты.
Это объясняется тем, что результат каждого измерения содержит случайную ошибку и результаты разных измерений содержат различные ошибки.
Предвидеть, какова будет ошибка данного конкретного измерения, или даже определить ее после измерения принципиально невозможно.
2. Вторым примером случайных явлений может служить рассеивание снарядов.
Снаряды никогда не ложатся в одну и ту же точку, даже тогда, когда прицеливание производится по одной точке.
Казалось бы, условия одинаковы для всех выстрелов.
Однако снаряды летят но разным траекториям и попадают в различные точки.
Предвидеть заранее, в какую именно точку попадет данный снаряд, принципиально невозможно потому, что мы не можем абсолютно точно знать параметры состояния атмосферы во всех точках траектории, по которой летит снаряд, а от этих параметров зависят аэродинамические силы и их моменты, действующие на снаряд.
3. В качестве третьего примера случайных явлений укажем отказы различных технических устройств.
Как бы совершенна ни была современная техника, иногда происходят отказы тех или иных приборов.
Отказ прибора — случайное явление. Невозможно заранее предвидеть, откажет оп или нет на некотором интервале времени, и если откажет, то в какой момент времени.
1.2. Природа случайных явлений.
Как и всякие явления, случайные явления вызываются вполне определенными причинами.
Все явления окружающего нас мира взаимно связаны и влияют одно на другое (закон всеобщей связи явлений).
Поэтому каждое наблюдаемое явление связано причинной зависимостью с бесчисленным множеством других явлений и течение его зависит от бесчисленного множества факторов.
Проследить все это бесконечное множество связей и определить действие каждой из них принципиально невозможно.
Поэтому, изучая то или иное явление, человек ограничивается лишь основными факторами, определяющими его течение, и пренебрегает огромным количеством второстепенных явлений.
Это дает возможность глубже проникнуть в сущность явления, установить его закономерность. Вместе с тем, поступая так, человек обедняет явление, схематизирует его.
Наблюдаемые в реальном явлении отклонения от закономерности, вызываемые совместным действием бесчисленного множества неучтенных факторов, и представляют собой случайные явления.
При экспериментальном изучении какого-либо явления с целью установления его закономерностей приходится наблюдать его многократно в одинаковых условиях.
При этом под одинаковыми условиями мы понимаем одинаковые значения всех количественных характеристик контролируемых факторов.
Все неконтролируемые факторы будут при этом различными.
Вследствие этого действие контролируемых факторов будет практически одинаковым при разных наблюдениях одного и того же явления. В этом как раз и проявляются законы данного явления.
Случайные же отклонения от закономерности, вызванные действием неконтролируемых факторов, будут различными при разных наблюдениях, причем предвидеть заранее, какими они будут нри данном конкретном наблюдении, принципиально невозможно.
При многократном наблюдении случайных явлений в них самих можно заметить определенные закономерности.
Изучив эти закономерности, человек получает возможность в известной степени управлять случайными явлениями, ограничивать их влияние, предсказывать результаты их действия и даже целенаправленно использовать их в своей практической деятельности.
Так, например, можно проектировать:
· измерительные системы, обладающие максимальной доступной точностью,
· радиоприемные устройства с максимальной помехозащищенностью, обладающие минимальным уровнем шумов,
· системы управления движением летательных аппаратов, обеспечивающие наибольшую возможную точность навигации или наименьшее действие «болтанки» на летательный аппарат.
· технические системы, обладающие заданной надежностью.
1.3. Массовые случайные явления.
Закономерности случайных явлений могут проявляться только при их многократном наблюдении.
Поэтому изучению поддаются только такие случайные явления, которые можно, но крайней мере нринциниально, наблюдать много, практически неограниченное число раз.
Такие случайные явления называются массовыми .
Изучением закономерностей массовых случайных явлений занимается особая математическая наука — теория вероятностей.
Методы теории вероятностей, называемые вероятностными или статистическими, дают возможность производить расчеты, позволяющие делать определенные практические выводы относительно случайных явлений.
Как и всякая прикладная наука, теория вероятностей нуждается в исходных экспериментальных данных для расчетов.
Раздел теории вероятностей, изучающий методы обработки результатов опытов и получения из них необходимых данных, называется математической статистикой.
Особенность вероятностных методов состоит в том, что они рассматривают исследуемое явление в целом, изучают результаты совокупного действия всех причинных связей, которые невозможно проследить по отдельности.
1.4. Опыт, событие, случайная величина.
Будем называть опытом наблюдение какого-нибудь явления нри выполнении некоторого комплекса условий и действий, которые должны каждый раз строго выполняться при повторении данного опыта.
Наблюдение того же явления при другом комплексе условий и действий будет уже другим опытом.
Результаты опыта можно характеризовать качественно и количественно.
Качественная характеристика опыта состоит в регистрации какого-нибудь факта, т.е. в определении того, обладают результаты опыта каким-либо свойством или нет.
Любой такой фактназываетсясобытием.
При этом говорят, что событие появилось (произошло) или событие не появилось (не произошло) в результате опыта.
Примерами событий могут служить, например:
· отказ прибора в данном интервале времени,
· попадание и промах при выстреле,
· получение т попаданий при п выстрелах.
События обозначаются прописными латинскими буквами, обычно начальными, например
А, Б, С.
Количественная характеристика опыта состоит в определении значений некоторых величин, полученных в результате опыта.
Такие величины, которые могут принимать в результате опыта различные значения, причем до опыта невозможно предвидеть, какими именно они будут, называются случайными величинами.
Примерами случайных величин могут служить:
· ошибки и результаты измерений,
· время безотказной работы прибора или системы
· рост и вес наугад выбранного человека,
· координаты точки попадания (разрыва снаряда) при выстреле,
· число попаданий при п выстрелах.
Будем обозначать случайные величины прописными буквами, преимущественно из конца латинского алфавита, а их конкретные значения — соответствующими малыми буквами. Например, случайные величины будем обозначать
X, У, Z,
а их конкретные значения, получаемые в результате опыта, — соответственно
x, y, z
Эти значения называются возможными значениями или реализациями случайных величин
X, У, Z.
С каждой случайной величиной можно связать различные события.
Типичным событием, связанным со случайной величиной, является событие, состоящее в том, что эта случайная величина примет в результате опыта какое-нибудь значение, принадлежащее данному множеству, безразлично какое именно.
Такое событие коротко называется попаданием случайной величины в данное множество.
1.5. Частота события.
Естественно сравнивать события по тому, как часто каждое из них появляется при повторении данного опыта.
Если при повторении опыта одно событие появляется чаще, чем другое, то говорят, что первое вероятнее второго.
Для сравнения событий необходимо предположить, что данный опыт можно производить сколько угодно раз.
Частотой события называется отношение числа его появлений к числу всех произведенных опытов.
Таким образом, если при п опытах событие А появилось т раз, то его частота в дайной серии опытов равна т/п.
1.6. Условные частоты.
В некоторых случаях частоту события приходится определять при дополнительном условии, что произошло некоторое другое событие.
Чтобы определить частоту события А при условии, что произошло событие В, необходимо учитывать не все произведенные опыты, а только те из них, в которых произошло событие В.
Таким образом, если из п произведенных опытов событие В появилось в т опытах, причем в k: из этих т опытов появилось и событие А, то частота события А при условии, что произошло событие В, равно k /т.
Эта частота, как правило, пе совпадает с частотой события А, вычисленной с учетом всех п произведенных опытов.
Частота события А, вычисленная с учетом только тех из произведенных опытов, в которых появилось событие В, называется условной частотой события А относительно события В.
1.7. Свойства частот.
Событие называется невозможным и обозначается Æ, если оно не может произойти в результате данного опыта.
Событие называется достоверным и обозначается Ώ, если оно
обязательно происходит в результате данного опыта, т.е. не может не произойти.
События А1, А2 ,…, Ап называются несовместными в данном опыте, если в результате этого опыта никакие два из пих пе могут появиться вместе.
Например,
· попадание и промах при одном выстреле,
· выпадение 1 очка, 2 очков и 3 очков нри одном бросании игральной кости.
Два события, несовместные в одном опыте, могут оказаться совместными в другом опыте. Например, попадание и промах несовместны при одном выстреле.
Однако они совместны, если за один опыт считаются два выстрела.