<< < предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 / 13 11 12 13 следующая > >>

Решение антагонистических игр 2×2 в смешанных стратегиях

Дата: 2025-05-01; Просмотры: 2

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Если игра 2×2 имеет седловую точку, то ее решение очевидно.

Пусть игра 2×2 не имеет седловой точки. Требуется найти цену игры v и оптимальные смешанные стратегии обоих игроков:

Чистые стратегии, входящие в оптимальную стратегию с положительными вероятностями, называются активными стратегиями.

Для решения матричных игр 2´2 можно использовать аналитический и геометрический методы.

Аналитический метод

Теорема об активных стратегиях

Пусть v – цена игры, и – оптимальные стратегии игроков. Тогда справедливы следующие утверждения:

– для любой активной стратегии i первого игрока выполняется равенство

E(i, y⁰) = v;

– для любой активной стратегии j второго игрока имеет место равенство

E(x⁰, j) = v.

В игре 2×2 все стратегии игроков являются активными (почему?)

Выигрыш игрока первого игрока, если он применяет оптимальную стратегию х⁰, а второй игрок свою активную стратегию 1 равен

По теореме об активных стратегиях этот выигрыш равен цене игры, т.е.

Аналогично для случая, когда первый игрок применяет оптимальную стратегию х⁰, а второй игрок активную стратегию 2:

Получаем:

(1)

Получили систему уравнений относительно .

Аналогичную систему получим для оптимальных стратегий второго игрока:

(2)

Решая эти системы, найдем неизвестные оптимальные стратегии игроков х⁰, у⁰ и цену игры v.

Цена игры ν общая для обоих игроков, поэтому при решении систем уравнений (1) и (2) должно получиться одинаковое значение ν.

Решение игры 2´2 в общем виде выглядит следующим образом

; х₂ = 1 – х₁;

; у₂ = 1 – у₁; (***)

Геометрический метод

Рассмотрим геометрическую интерпретацию игры 2×2.

Пусть игрок А применяет смешанную стратегию, а игрок В – активную стратегию В₁. Тогда средний выигрыш игрока А будет:

Мы получили уравнение прямой, которую обозначим В₁, т.к. она соответствует активной стратегии В₁ игрока В.

Если игрок В применяет свою активную стратегию В₂, а игрок А стратегию (х, (1 – х)), то выигрыш игрока А равен:

Видно, что какую бы стратегию ни применил В, игрок А гарантирует себе выигрыш не меньше, чем ордината ломаной В₂МВ₁.

Ломанная В₂МВ₁ (на рис. выделена полужирно) определяет минимальные возможные средние выигрыши игрока А при использовании им своих смешанных стратегий. Точка М (самая высокая точка ломанной) – определяет наилучший средний выигрыш игрока А из всех минимальных. Она соответствует оптимальной смешанной стратегии игрока А. При этом: если М имеет координаты (х, у), то р₁ = 1 – х, р₂ = х, ν = y.

Таким образом, задача сводится к нахождению координат точки М, которая является точкой пересечения прямых В₁В₁ и В₂В₂. Для нахождения уравнений прямых В₁В₁ и В₂В₂.можно воспользоваться уравнением прямой, проходящей через две точки:

с учетом того, что прямую В₁В₁ определяют точки (0; a₁₁), (1; а₂₁), а прямую В₂В₂ определяют точки (0; a₁₂), (1; а₂₂).

Для игрока В оптимальная смешанная стратегия находится аналогично, но точка М определяется не самой высокой точкой нижней ломанной, а самой низкой точкой высокой ломанной – полужирная ломанная на рисунке 2.

Пусть В применяет стратегию Y = (у, (1 – у)), а А применяет стратегию А₁. Тогда проигрыш игрока В определяется точками прямой:

Эту прямую обозначим А₁. Если А применяет стратегию А₂, а В стратегию Y, то проигрыш В лежит на прямой А₂:

Из графика видно, что какую бы стратегию ни применял игрок А, игрок В гарантирует себе проигрыш не более, чем ордината ломаной А₁МА₂.

Оптимальной стратегией игрока В будет такая стратегия Y = (у, (1 – у)), при которой ордината ломаной линии А₁МА₂ будет минимальна. Найдя координаты точки М (х, у), как точки пересечения прямых А₁А₁ и А₂А₂, компоненты оптимальной смешанной стратегии игрока В и цену игры: Y*(у₁, у₂), ν можно найти по следующим формулам: