Смешанной стратегией игрока называется полный набор вероятностей применения его чистых стратегий.

Дата: 2025-05-01; Просмотры: 2

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Таким образом, если первый игрок имеет m чистых стратегий 1, 2, ..., m, то его смешанная стратегия x – это набор чисел (вероятностей) x = (x₁, х₂, ..., x_m), удовлетворяющих соотношениям

x_i ³ 0 (i = 1, …, m), = 1.

Аналогично для второго игрока, который имеет n чистых стратегий, смешанная стратегия y – это набор чисел (вероятностей)

y = (y₁, ..., y_n), y_j ³ 0, (j = 1, …, n), = 1.

Так как каждый раз применение игроком одной чистой стратегии исключает применение другой, то чистые стратегии являются несовместными событиями. Кроме того, они являются единственными возможными событиями.

Чистая стратегия есть частный случай смешанной стратегии. Действительно, если в смешанной стратегии какая-либо i-я чистая стратегия применяется с вероятностью 1, то все остальные чистые стратегии не применяются. И эта i-я чистая стратегия является частным случаем смешанной стратегии. Для соблюдения секретности каждый игрок применяет свои стратегии независимо от выбора другого игрока.

Определение.

Средний выигрыш первого игрока в матричной игре с матрицей А выражается в виде математического ожидания его выигрышей

E (A , x , y) = = x A y^T

Первый игрок имеет целью за счёт изменения своих смешанных стратегий х максимально увеличить свой средний выигрыш Е (А, х, y), а второй – за счёт своих смешанных стратегий стремится сделать Е (А, х, y) минимальным, т.е. для решения игры необходимо найти такие х и y, при которых достигается верхняя цена игры

Е (А, х, y).

С другой стороны, ситуация должна быть аналогичной относительно второго игрока, т.е. нижняя цена игры должна быть

Е (А, х, y).

Подобно играм, имеющим седловые точки в чистых стратегиях, вводится следующее определение:

Оптимальными смешанными стратегиями первого и второго игроков называются такие наборы х^о, у^о соответственно для первого и второго игроков, которые удовлетворяют равенству

Е (А, х, y) = Е (А, х, y) = Е (А, х^о, у^о).

Величина Е (А, х^о, у^о) называется при этом ценой игры и обозначается через v.

Имеется и другое определение оптимальных смешанных стратегий: х^о, у^о называются оптимальными смешанными стратегиями соответственно первого и второго игроков, если они образуют седловую точку:

Е (А, х, у^о) £ Е (А, х^о, у^о) £ Е (А, х^о, у)

Оптимальные смешанные стратегии и цена игры называются решением матричной игры.

Пример.

Рассмотрим прямоугольную игру.

Поскольку матрица не имеет седловой точки, оптимальное поведение для Р₁ и Р₂ нам не известно. Для Р₁ безразлично, что выбрать: 1 или 2, т.к. в обоих случаях он получает 1 или –1 в зависимости от выбора Р₂.

С другой стороны, если Р₂ знает, какой выбор сделал Р₁, Р₂ может поступить так, что Р₁ заплатит ему 1.

Таким образом, для Р₁ очень важно играть так, чтобы Р₂ трудно было угадать, какой выбор сделал Р₁. Одним из способов для Р₁ является случайный выбор.

Допустим, что Р₁ делает выбор, бросая монетку. Выбирает 1, если монетка упала гербом и 2, если решкой. В этом случае Р₁ выбирает 1 с вероятностью ¹/₂ и 2 с такой же вероятностью ¹/₂.

Если Р₂ выбирает 1, то математическое ожидание выигрыша для Р₁ будет:

¹/₂ (1) + ¹/₂ (–1) = ¹/₂ – ¹/₂ = 0

Если Р₂ выбирает 2, математическое ожидание выигрыша для Р₁:

¹/₂ (–1) + ¹/₂ (1) = –¹/₂ + ¹/₂ = 0

Допустим, Р₁ выбирает 1 с вероятностью х и 2 с вероятностью (1 – х). Математическое ожидание выигрыша для Р₁, если Р₂ выбирает 1, будет:

1×х + (–1)(1 – х) = 2х – 1.

Математическое ожидание выигрыша для Р₁, если Р₂ выбирает 2, будет:

(–1)×х + 1×(1 – х) = 1 – 2х.

Если x > ¹/₂, Р₁ будет проигрывать Р₂, если Р₂ будет выбирать 2, т.к.

1 – 2х < 0 при х > ¹/₂.

Если x < ¹/₂, Р₁ будет проигрывать Р₂, если он выбирает 1, т.к.

2х – 1 < 0 при х < ¹/₂.

Отсюда следует, что оптимальный вариант игры Р₁ выбирать 1 и 2 с вероятностью ¹/₂. Для Р₂ оптимальный вариант тот же. Цена игры для Р₁ (т.е. математическое ожидание выигрыша) равна 0.

Пример.

Поскольку матрица не имеет седловой точки, первому и второму игрокам желательно выбирать альтернативы с определенными частотами.

Предположим, первый игрок выбирает стратегию 1 с частотой х, а стратегию 2 с частотой 1 – х, а второй игрок стратегию 1 выбирает с частотой у, а стратегию 2 с частотой 1 – у. Тогда математическое ожидание выигрыша для первого игрока:

Е(х, у) = 1×х×у + 3×х×(1 – у) + 4×(1 – х)×у + 2×(1 – х)(1 – у) =

= –4×х ×у + х + 2×у + 2 = –4×(х – ¹/₂)(у – ¹/₄) + ⁵/₂. (7)

Отсюда видно, что если первый игрок берет х = ¹/₂, то его выигрыш будет по крайней мере ⁵/₂. Более того, он не может обеспечить себе выигрыш более ⁵/₂, т.к. второй игрок, взяв у = ¹/₄ , может гарантировать, что выигрыш первого игрока будет ⁵/₂.

Итак, первый игрок может ставить на ⁵/₂ и получить эту сумму, играя х = ¹/₂. Второй игрок может примириться с тем, что он проиграет ⁵/₂, и, играя у = ¹/₄, проиграть не более ⁵/₂.

Следовательно, для этой игры оптимальный способ для первого игрока выбирать 1 и 2 стратегии одинаково часто, а для второго игрока выбрать стратегию 1 с вероятностью ¹/₄, а стратегию 2 с вероятностью ³/₄, тогда ⁵/₂ можно принять за цену игры.

Из равенства (7) мы находим для всех х и у: