Следующий этап – это определение оптимальных стратегий и выигрышей игроков. Примеры прямоугольной игры
Пример 1.
А = {1, 2, 3}
В = {1, 2, 3, 4}
В
| 1 | 2 | 3 | 4 | ||
| А | 1 | 2 | 1 | 10 | 11 |
| 2 | 0 | –1 | –1 | 2 | |
| 3 | –3 | –5 | –1 | 1 |
В платит А сумму, указанную в матрице. (платежная матрица)
Если А выбирает 1 стратегию, а В – 2 стратегию, то В платит А 1 руб.
Если А выбирает 3 стратегию, а В – 1 стратегию, то А платит В 3 руб.
Пример 2. Двухпальцевая Морра.
Играют 2 человека: Каждый показывает один или два пальца и одновременно называет число пальцев, которые, по его мнению, покажет другой игрок (противник). Если один из игроков указывает правильно, он выигрывает сумму, равную сумме пальцев, показанных им и его противником, в противном случае – ничья.
Составить платежную матрицу.
Очевидно, в этой игре каждый из имеющихся двух участников игры является игроком, так как у них противоположные интересы: получить выигрыш за счет другого участника игры. Поэтому рассматриваемая игра принадлежит к игре двух игроков с нулевой суммой.
Обозначим m – количество пальцев, показанных игроком, n – количество пальцев, угаданных игроком.
Платежная матрица
 А
В
| (1,1) | (1,2) | (2,1) | (2,2) |
| (1,1) | 0 (оба угадали) | 2 | –3 | 0 |
| (1,2) | –2 (угадал Р2) | 0 | 0 | 3 |
| (2,1) | 3 (угадал Р1) | 0 | 0 | –4 |
| (2,2) | 0 (никто не угадал) | –3 | 4 | 0 |
Пример 3.
Два игрока играют в следующую игру. Независимо друг от друга они кладут на стол монету в 1 и 2 руб. Если монеты одинакового достоинства, то выигрывает игрок А, если разного – игрок В. Сумма выигрыша в обоих случаях равна сумме достоинства монет. Построить платежную матрицу игры.
Итак, в этой конфликтной ситуации принимают участие только два человека, у которых прямо противоположные цели – получить максимальный выигрыш за счет второго участника, поэтому каждого участника следует считать игроком. Отсюда следует, что формализованная игра будет игрой двух игроков с нулевой суммой.
Стратегии игрока А: А1 – положить 1 руб.; А2 – положить 2 руб.
Стратегии игрока В: В1 – положить 1 руб.; В2 – положить 2 руб.
| В1 (1 руб.) | В2 (2 руб.) | |
| А1 (1 руб.) | 2 | –3 |
| А2 (2 руб.) | –3 | 4 |
Важнейшим вопросом в случае прямоугольной игры, да и вообще любой игры является вопрос о том, имеется ли оптимальный способ игры, т.е. можно ли доказать, что данный способ игры является наиболее рациональным.
В случае первого примера на этот вопрос ответить легко. Каждый элемент первой строки больше соответствующего элемента 2-й и 3-й строк, следовательно, какой бы выбор ни сделал В, А лучше выбрать 1.
Каждый элемент второго столбца меньше соответствующих элементов 1, 3 и 4 столбцов. Поэтому, чтобы проигрыш В был как можно меньше, оптимальный способ игры для него – выбрать 2.
Прямоугольные игры с седловыми точками.
Решение матричных игр в чистых стратегиях
Главным в исследовании игр является понятие оптимальных стратегий игроков. В это понятие интуитивно вкладывается такой смысл:
Стратегия игрока является оптимальной, если применение этой стратегии обеспечивает ему наибольший гарантированный выигрыш при всевозможных стратегиях другого игрока.
Каждая стратегия игрока i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, ..., n часто называется чистой стратегией.