Основные определения теории игр
ТЕОРИЯ ИГР
В практической деятельности людей часто возникают конфликтные ситуации, когда нескольким участникам приходится взаимодействовать при обстоятельствах, в которых каждый из участников старается достичь своей цели своим доступным ему способом, но никто из них полностью не влияет на ход событий, т.е. исход борьбы лишь частично зависит от действий каждого участника. В конфликтной ситуации имеются несколько заинтересованных сторон, каждая из которых старается получить максимальный выигрыш. Такие ситуации возникают во время проведения обычных настольных игр, спортивных состязаний, в военном деле, в торговых отношениях, в экономической, хозяйственной и политической деятельности, в медицинском обслуживании и т. д.
Теория игр – это раздел математики, в котором исследуются и вырабатываются оптимальные правила (стратегии) поведения для каждого из участников конфликтной ситуации.
Теория игр исследует ситуации, в которых принятие решений зависит от нескольких участников.
Теория игр является составной частью предмета исследование операций, изучающей теорию математических моделей принятия оптимальных решений. Задачи исследования операций классифицируются по уровню информации о ситуации, которой располагает субъект, принимающий решение. Наиболее простыми являются детерминированный (когда условия, в которых принимается решение, известны полностью) и стохастический (когда известно множество возможных вариантов условий и их вероятностное распределение). В этих случаях задача сводится к нахождению экстремума функции (или ее математического ожидания).
Наиболее сложной является ситуация неопределенности, т.е. ситуация, когда известно множество возможных вариантов, но без какой-либо информации об их вероятностях.
Теория игр – это теория математических моделей принятия решений в условиях неопределенности. В этих условиях принимающий решение субъект (игрок) располагает информацией о множестве возможных ситуаций, о множестве решений (стратегий), которые он может принять, и о количественной мере того выигрыша, который он мог бы получить, выбрав в данной ситуации данную стратегию.
Неопределенность, с которой мы встречаемся в теории игр, может иметь различное происхождение. Однако, как правило, она является следствием сознательной деятельности другого лица (лиц), отстаивающего свои интересы. В связи с этим под теорией игр часто понимают теорию математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта. Таким образом, моделями теории игр можно в принципе содержательно описывать весьма разнообразные явления: экономические, правовые и классовые конфликты, взаимодействие человека с природой, биологическую борьбу за существование и т.д. Все такие модели в теории игр принято называть играми.
Математическое описание игры сводится к перечислению всех действующих в ней игроков, указанию для каждого игрока всех его стратегий, а также численного выигрыша, который он получит после того, как игроки выберут свои стратегии. В результате игра становится формальным объектом, который поддается математическому анализу.
Основные определения теории игр
Рассмотрим основные элементы и понятия теории игр.
Игра – совокупность правил, определяющих количество участников игры, их возможные действия и распределение выигрышей в зависимости от их поведения и исходов.
Игрок – одна из сторон в игровой ситуации. Игроком принято считать одного участника или группу участников игры, имеющих одни общие для них интересы, не совпадающие с интересами других групп. Поэтому не каждый участник считается игроком. Так, например, если в игре принимают участие четыре человека, и каждый играет только за себя, то в ней имеется четыре игрока, если же четыре человека образовали две коалиции по два участника в каждой, т.е. играют двое на двое, то считается, что в этой игре участвуют два игрока.
Пример 1
Пусть три фирмы, имеющие определенный капитал, хотят использовать его для получения возможности сбыта своей продукции на рынке. Каждая из этих фирм, вкладывая капитал, может сбывать свою продукцию с некоторой выгодой для себя. Эта выгода зависит не только от вклада одной фирмы, а от вкладов, сделанных другими фирмами. Ни одна из фирм не имеет полного влияния на рынок сбыта, т.е. каждая фирма только частично влияет на конечный результат – выгоду, получаемую ею. Рассматривая экономическую ситуацию, возникшую в результате взаимодействия трех фирм, как игру, можно допустить:
1) все три фирмы действуют самостоятельно, добиваясь наибольшей выгоды для себя за счет своих возможностей и учитывая возможные поведения других фирм, тогда это будет игра трех игроков;
2) какие-либо две фирмы объединились в коалицию и действуют совместно с единой целью достигнуть наибольшей выгоды для себя, учитывая возможные поведения третьей фирмы, тогда это будет игра двух игроков.
Пример 2
Две войсковых части, имеющие войсковые подразделения, желают овладеть определенной позицией. Первая часть имеет два подразделения, а вторая – три. Возможные действия частей – это выделение определенного количества подразделений для овладения позицией.
Каждое подразделение может иметь свои локальные цели, но все подразделения одной части имеют одну общую цель – овладение позицией. Поэтому, рассматривая сложившуюся ситуацию как игру, следует считать, что в ней имеется только два игрока – это войсковые части.
Ход – выбор игроком одного из предусмотренных правилами игры действий. Сделать ход – это значит, на определенном этапе игры осуществить сразу весь выбор или его часть в зависимости от возможностей, предусмотренных правилами игры. Каждый игрок на определенном этапе игры делает ход согласно сделанному выбору. Другой игрок, зная или не зная о сделанном выборе первого игрока, также делает ход. Каждый из игроков старается учесть информацию о прошлом развитии игры, если такая возможность разрешается правилами игры.
Ходы бывают личные и случайные. Личный ход – сознательный выбор игроком одного из возможных вариантов действия и его осуществление. случайный ход – выбор, осуществляемый не волевым решением игрока, а каким-либо механизмом случайного выбора (монета, кубик, карты и т.п.)
Партия – определенная совокупность ходов и выборов возможных вариантов действий.
Стратегия – набор правил, которые однозначно указывают игроку, какой выбор он должен сделать при каждом ходе в зависимости от ситуации, сложившейся в результате проведения игры. Стратегия в теории игр означает определенный законченный план действий игрока, показывающий, как надо действовать ему во всех возможных случаях развития игры. Стратегия означает совокупность всех указаний для любого состояния информации, имеющейся у игрока на любом этапе развития игры. Отсюда уже видно, что стратегии могут быть хорошими и плохими, удачными и неудачными и т.д.
При игре в шахматы стратегия должна указывать игроку, какой ход он должен сделать в любом развитии игры. Очевидно, при таком подходе в шахматной игре имеется очень много стратегий, перечислить которые практически не представляется возможным и поэтому при анализе и изучении стратегий в этой игре выделяют главные и ими пользуются. Для разных игроков главными являются разные стратегии, как правило, известные только самому игроку, и поэтому игра в шахматы представляет интеллектуальный интерес, несмотря на то, что в ней нет случайных ходов.
При игре в футбол также имеется очень много стратегий и каждая команда применяет свой набор стратегий для того, чтобы достигнуть цели. В этой игре, конечно, большую роль играет и мастерство, которое также может входить в состав стратегии команд и игроков. В играх, отображающих экономические ситуации, стратегиями могут быть размеры вкладываемых в определенные мероприятия средств. Так, в игре трех фирм каждая из них может внести определенную долю своего капитала – это и есть ее стратегия. Очевидно, таких стратегий у каждой фирмы много. В военных играх в качестве стратегий может быть любое поведение подразделений.
Правилами игры предусматриваются определенные выигрыши для игроков в зависимости от применяемых ими стратегий и исходов игры.
Под выигрышем или платежом подразумевается полезность, которую получает игрок, после того как все игроки выбрали свои стратегии. Выигрыш или проигрыш сторон оценивается численно, другие случаи в теории не рассматриваются. Выигрыш – это мера эффекта для игрока. Он может выражаться в денежных суммах, очках, баллах и т.п. Так, в покере, преферансе и других играх после игры обычно происходит обмен ценностями в виде денег, т.е. эффект от исхода этих игр измеряется в денежных единицах. В правилах игры четко сформулировано, сколько денег выиграет каждый игрок в зависимости от исхода игры.
В таких играх, как шашки, шахматы, исходом игры является выигрыш, ничья, проигрыш. Выигрыши здесь измеряются очками (выигрыш – одно очко, ничья – половина очка, проигрыш – нуль очков). При игре в футбол результат игры измеряется очками: выигрыш – два очка, ничья – одно очко, проигрыш – нуль очков. В играх, отображающих экономические ситуации, выигрыши почти всегда измеряются в стоимостном выражении: прибыль, себестоимость, амортизация и т. д. Так, в описанной выше ситуации трех фирм выигрыш может измеряться той прибылью, которую получит фирма в результате применения стратегий всеми фирмами. В военных играх выигрыш – это победа, взятие позиции, получение определенных преимуществ, получение оружия и т. д.
Бывают реальные ситуации, в которых выигрыш оценивается как чувство удовольствия или морального удовлетворения, а проигрыш как чувство угнетения. Так что не всякий выигрыш может измеряться количественно. В теории игр рассматриваются только такие игры, в которых выигрыш выражается количественно: стоимостью, очками, баллами и т. д. Очевидно, исход игры, а следовательно, и выигрыш игроков зависят от стратегий, которые применяют игроки. Однако выигрыш каждого игрока не полностью зависит от применяемой им стратегии, он зависит и от стратегий, применяемых другими игроками.
В конечном счете, в игре никакой игрок не может полностью контролировать свой выигрыш. Если же в реальной ситуации возникает случай, когда исход для участника полностью зависит от него, то такая ситуация не рассматривается для него как игровая. В дальнейшем будут рассматриваться выигрыши, измеряемые количественно (числами). Проигрыш выражается как отрицательный выигрыш. Поэтому речь в дальнейшем будет идти только о выигрышах.
Исход игры в узком смысле понимается как множество платежей.
Равновесием в игре называется комбинация стратегий игроков, которые являются наилучшими ответами на стратегии друг друга.