11 Устойчивость круговой бесшарнирной арки под действием радиальной нагрузки.
(1), где
- перемещение по радиальному направлению;
- угловая координата сечения;
M – изгибающий момент;
EI – жесткость сечения при изгибе;
r – радиус очертания оси арки.
Наименьшей критической нагрузке соответствует кососимметричная форма потери устойчивости.
Изгибающий момент в любом сечении арки:
.
ДУ (1) имеет вид:
, где
, 
.(2).
Общее решение ДУ (2):
.
Граничные условия для определения C1, C2, C3:
1) при 
, 
;
2) при 
, 
;
3) при 
, 
.
Получим 
.
Определитель из коэффициентов равен 0.
ДУ изгиба круговой арки
(1)
, 
, 
, 
, 
.
Изгибающий момент в произвольном сечении арки:
.
При потери устойчивости опоры поворачиваются на какой-то угол 
: 
.
Уравнение круговой арки при потери устойчивости:
.
Общее решение:
.
Найдем A, B, C:
C зависит от угла поворота:
.
Граничные условия:
1) 
, 
, 
;
2) , 
;
;
;
;
Сократим на k:
; 
.
1) 
, 
:
При 
потеря устойчивости не произошло, невозможно найти 
.
2) 
, 
, 
,
составим определитель из коэффициентов при неизвестных которые приравниваются к 0:
, 
.
Получаем уравнение устойчивости:
,
решая методом подбора при заданном 
получаем:
.
8 Расчет двухшарнирной арки с затяжкой
Построим эпюры изгибающих моментов в сечении арки. Влиянием продольной и поперечной силы в арке пренебрегаем. Сечение арки постоянно 
сечение затяжки 
. Выбираем основную систему. Для этого разрежем затяжку и приложим в этом месте силу X.
Так как ось арки представляет собой половину окружности, поэтому переходим к полярным координатам.
.
Выражение для изгибающего момента в основной системе отдельно от силы P и отдельно от 
:
.
Переходим к определению перемещений 
и 
. При определении перемещений учитывают деформации арки от изгиба и затяжки от растяжения:
При определении перемещения 
учитываются только деформации арки от изгиба:
.
Усилие в затяжке или распор:.
Значение распора H в арках с затяжкой зависит от жесткости затяжки с увеличением жесткости затяжки распор возрастает. Значение изгибающего момента в арке с затяжкой 
, также зависит от жесткости затяжки. С увеличением жесткости затяжки положительные моменты в арке уменьшаются и наоборот.
Если 
- эпюра в), если 
- эпюра г).