7. Прямоугольный треугольник. Основные соотношения ……. 9
Справочник по геометрии 7-9
ОГЛАВЛЕНИЕ
стр.
1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ. АКСИОМЫ ………………………………... 3
2. УГЛЫ. БИССЕКТРИСА УГЛА ……………………………………………….... 4
3. ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ
И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА …………………………………………………... 5
4. ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА. СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ……..………………………………………………………............ 6
5. ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ……………………………………………………………………. 7 6. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ……………………………….. 8
7. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ……. 9
8. СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА. ПРИЗНАКИ
РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ …………………………. 10
9. ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА НЕКОТОРЫХ УГЛОВ. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ ……………………….……………………………………... 11
10. СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА ……………………… 12
11. ПРЯМОУГОЛЬНИК. РОМБ. КВАДРАТ ……………………………………… 13
12. ТРАПЕЦИЯ …………………………………………………………………….. 14
13. ОКРУЖНОСТЬ. ВПИСАННЫЙ УГОЛ ………………………………………. 15
14. СВОЙСТВА ОКРУЖНОСТИ И ЕЕ ЭЛЕМЕНТОВ ………………………….. 16
15. СВОЙСТВА КАСАТЕЛЬНЫХ И СЕКУЩИХ ………………………………… 17
16. ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ ……………………………. 18
17. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ ……………………………………….. 19
18. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ. ВЕКТОРЫ. ……………….. 20
Справочник по геометрии 7-9
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
Прямые а и b пересечены секущей с
1 и 2; 
3 и 4 – накрест лежащие углы
и 8; 3 и 5 - соответственные углы
2 и 7; 4 и 6 - соответственные углы
1 и 3; 2 и 4 - односторонние углы
Признаки параллельности прямых
1= 2  а║b
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
1 = 8  а║ b
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
1 + 3=  а║ b
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны.
а║ b , а║с  с║ b а  с║ b
| Свойства углов при параллельных прямых
а║ b  1 = 2
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
а║ b 1 = 8
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
а║ b 1 + 3= 
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна .
|
НЕКОТОРЫЕ АКСИОМЫ ПЛАНИМЕТРИИ
Через любые две различные точки проходит прямая, и притом только одна.
А |  Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
а║ b А  а
|
УГЛЫ
Острый угол
меньше прямого угла
| Тупой угол
больше прямого угла
| Прямой угол
| Развернутый угол
AOM = 
| |||||||||
| Смежные углы
|
Сумма смежных углов рав
| |||||||||||
|
Вертикальные углы
|
Вертикальные углы равны. | |||||||||||
ab < 
.
БИССЕКТРИСА УГЛА
|
с – биссектриса ab
a с = с b
Луч с делит угол ab пополам
| |||
| Свойство биссектрисы
АМ = ВМ
 Каждая точка биссектрисы
неразвернутого угла равноудалена от сторон угла.
|
ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
| Треугольник | Разносторонний | Равнобедренный | Равносторонний | |||
| Остроугольный (все углы острые) | 
все стороны разной длины
| 
две стороны равны
| 
все стороны равны
| |||
| Прямоугольный (один из углов – прямой) |
| 
|
∠ А=
Р = 3а, где а - сторона, Р- периметр | |||
| Тупоугольный (один из углов – тупой) | 
| 
|
=60 
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА
|
| Сумма углов треугольника равна 180 ̊.
∠ А+ В+  =180 ̊
Свойство внешнего угла: ∠ АСК = ∠ А + В
|
| Неравенство треугольника а < b +с b < а+с с < а+ b Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. а > b - с, где b >с | |
Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника
b > с  В > С и В > С  b > с
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Против большего угла лежит большая сторона.
| |
Теорема синусов
где  адиус описанной окружности.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
| Теорема косинусов
с² = а² + b ² ― 2а b 
а² = с² + b ² ― 2 b с 
b ² = с² + а²― 2 ас 
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
|
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту к этой стороне: S = | Другие формулы:
S =  ab  =  a с  =  с b 
S =  ,
где  - полупериметр
S =  r ,
где r- радиус вписанной в треугольник окружности
S =  ,
где R – радиус описанной окружности
|
ah СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕНННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
 В равнобедренном треугольнике углы при основании равны
А = С 
АС – основание
АВ и ВС – боковые стороны
|
Биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой
ВК – биссектриса ВК – медиана ВК - высота |
РАВНЫЕ И ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
 =  , значит,
АВ =  СВ =  СА = С1А1
А = А1 В =  С = С1.
|  подобен , значит, А = А1 В = С = С1
 =  = 
| |||||||||||
| ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ | ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ | |||||||||||
 По двум сторонам и углу между ними
АВ = СВ = В =
=
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
| По двум углам
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. | |||||||||||
  По стороне и двум прилежащим углам
АС=  А =  С = 
 =
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
|   По двум сходственным сторонам и углу между ними
=  А = 
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
| |||||||||||
По трем сторонам
АВ =
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. |   По трем сходственным сторонам
= =
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
| |||||||||||
АС= 
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
|
АМ – медиана  АВС
точка М – середина ВС
| ||||||||||||
| Свойство медиан
СО:ОР = АО:ОМ = ВО:ОК = 2:1
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1.
АМ = m 
формула для вычисления медианы
| ||||||||||||
|
АН – высота
АН - перпендикуляр, опущенный из
точки А на прямую ВС
Свойство высот
Высоты треугольника пересекаются в одной точке треугольника.
| ||||||||||||
.
| АЕ – биссектриса
 2 ( САЕ = ВАЕ)
Свойства биссектрисы треугольника
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (центре вписанной окружности).
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
 = 
| ||||||||||||
|
Прямая а – серединный перпендикуляр
О а ОС = ОВ а  ВС
Свойство серединных перпендикуляров
Серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке (центре описанной окружности)
| ||||||||||||
| MN – средняя линия
точка М - середина АВ, N – середина ВС
Свойство средней линии треугольника
MN  АС; MN = АС
Средняя линия параллельна одной из сторон и равна её половине.
| ||||||||||||
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
| Основные соотношения в прямоугольном треугольнике | ||||||||||||||||
|
|
Теорема Пифагора c²=а² + b² Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
|
Пропорциональные отрезки h ² = а² = b² = h | ||||||||||||||
|
с = АВ – гипотенуза а = ВС – катет, противолежащий к α b = АС – катет, прилежащий к углу α | СИНУС Отношение противолежащего катета к гипотенузе
|
| ||||||||||||||
| КОСИНУС Отношение прилежащего катета к гипотенузе |
| |||||||||||||||
| ТАНГЕНС Отношение противолежащего катета к прилежащему |
| |||||||||||||||
| КОТАНГЕНС Отношение прилежащего катета к противолежащему |
| |||||||||||||||
|
Свойства прямоугольного треугольника
| ||||||||||||||||
|
А+ В = 90 ̊
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 ̊
|
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в |
а =
Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 3 |
m =
Медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине и является радиусом описанной окружности
| |||||||||||||
|
Признаки равенства прямоугольных треугольников
| ||||||||||||||||
|
По гипотенузе и катету
а = |
По катету и прилежащему острому углу
|
По катету и противолежащему острому углу
|
| |||||||||||||
= 
а = 
равен половине гипотенузы
А = 
c = R 
с = 
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
|
 +  =1 – основное тригонометрическое тождество
 (90 ̊– α) = 
cos (90 ̊ – α) = cos (180 ̊– α) = –
|
ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА НЕКОТОРЫХ УГЛОВ
| 30 ̊ | 45 ̊ | 60 ̊ |
| 
| 
| 
|
|
|
|
|
|
| 
| 1 |
|
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
АВСD - четырехугольник
  А +  В + С + D = 360°
|
S = 
АС, ВD - диагонали
|
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
|
ABCD- параллелограмм
AB  CD
BC  AD
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.
|
СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
 |
| Свойства параллелограмма | Признаки параллелограмма |
1) AB=CD; BC=AD
A= C; B= D
В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны
2) AC  BD = O, AO = OC, BO = OD
Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
3) А + В = 1800
В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 1800
4)  ² +  ² = a ² + b ² + c ² + d ²
где = AC ;  = BD – диагонали;
a = AD ; b = AB ; c = BC ;
d = CD – стороны
5) P = 2( a + b ) – периметр параллелограмма,
где a = AD; b = AB
| 1) (AB CD; AB = CD)  (ABCD-параллелограмм)
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
2) (AB = CD; BC = AD) (ABCD-параллелограмм)
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм
3) (AO = OC; BO = OD,
где O = AC BD) (ABCD-параллелограмм)
Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм
|
ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
| S = ah , где a = AD – основание h = BH – высота |
S = ab  ,
где а = AD, b = AB,
a = BAD
|
S = 
|
S= 4 
|
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
| Вид | Свойства | Формулы |
ABCD – прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые
 A = B = C= D = 90°
|
=
Диагонали прямоугольника равны.
| S = 
S =  – площадь
P = 2(a + b) - периметр
d1² = a²+b²
где d 1 , d 2 – диагонали,
а, b – стороны прямоугольника
|
ABCD – ромб – это параллелограмм,
у которого все стороны равны
 AB = BC = CD = AD
|
1= 2, 3= 4,
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам
|
S = 
S =  - площадь
Р = 4а – периметр
² + ² = 4 a ²
где d 1 , d 2 - диагонали,
а – сторона ромба,
 – угол ромба
|
ABCD – квадрат - это прямоугольник,
у которого все стороны равны
 AB = BC = CD = AD
|
=
Диагонали квадрата равны,
взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
 A=  B= C= D =90°
| S = a²  – площадь
S = 
S=  ,
где r – радиус вписанной окружности
Р = 4а - периметр
= а 
где d 1 , d 2 - диагонали, а – сторона квадрата
|
ТРАПЕЦИЯ
| ABCD - трапеция
AD = a, BC = b  – основания
AB, CD – боковые стороны
BH = h - высота
AD BC;
S = 
MN – средняя линия трапеции,
где М – середина АВ
N – середина СD
MN BC; MN AD; MN= 
Средняя линия трапеции параллельна
основаниям и равна их полусумме.
|
| Трапеция прямоугольная, если один из углов прямой |
| Трапеция равнобедренная, если ее боковые стороны равны |
| В равнобедренной трапеции: 1) диагонали равны; 2) углы при основании равны; 3) середины сторон являются вершинами ромба. |
| Биссектрисы углов, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны |
ОКРУЖНОСТЬ
Окр. (О; r)
т. О – центр окружности
OK = OB = OA = r – радиус
AB = d – диаметр
b – касательная
AC – хорда
MN - секущая
 - дуга окружности
d = 2 r
 - длина окружности
L  - длина дуги
| 
|
 - дуга окружности
АОВ - центральный угол
АОВ =
Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.
АСВ – вписанный угол
АСВ = 
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается.
АСВ =  , если меньше полуокружности
| 
| |||
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
| Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.
|
ПЛОЩАДЬ
Площадь круга
|  Площадь сектора
|
S = 
| S = 
|
СВОЙСТВА ОКРУЖНОСТИ И ЕЁ ЭЛЕМЕНТОВ
Свойство хорд
AB; CD – хорды
AB  CD = M
AM · MB = CM · MD
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
| 
|
|
Свойство касательной
ОМ – радиус
а – касательная
М – точка касания
ОМ а
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
| 
|
| АТ – касательная АВ; АХ – секущие АТ² = АХ · АY АТ² = АВ · АС | 
|
|
AM, AN – касательные
M, N – точки касания
AM = AN
1 = 2; 3 = 4
Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
| 
|